S. f. terme de Grammaire ; c'est une figure de construction, ainsi appelée du grec , manquement, omission : on parle par ellipse, lorsque l'on retranche des mots qui seraient nécessaires pour rendre la construction pleine. Ce retranchement est en usage dans la construction usuelle de toutes les langues ; il abrège le discours, et le rend plus vif et plus soutenu : mais il doit être autorisé par l'usage ; ce qui arrive quand le retranchement n'apporte ni équivoque ni obscurité dans le discours, et qu'il ne donne pas à l'esprit la peine de deviner ce qu'on veut dire, et ne l'expose pas à se méprendre. Dans une phrase elliptique, les mots exprimés doivent réveiller l'idée de ceux qui sont sous-entendus, afin que l'esprit puisse par analogie faire la construction de toute la phrase, et apercevoir les divers rapports que les mots ont entr'eux : par exemple, lorsque nous lisons qu'un Romain demandait à un autre, où allez-vous ? et que celui-ci répondait ad castoris, la terminaison de castoris fait voir que ce génitif ne saurait être le complément de la préposition ad, qu'ainsi il y a quelque mot de sous-entendu ; les circonstances font connaitre que ce mot est aedem, et que par conséquent la construction pleine est eo ad aedem Castoris, je vais au temple de Castor.

L'ellipse fait bien voir la vérité de ce que nous avons dit de la pensée au mot DECLINAISON et au mot CONSTRUCTION. La pensée n'a qu'un instant, c'est un point de vue de l'esprit ; mais il faut des mots pour la faire passer dans l'esprit des autres : or on retranche souvent ceux qui peuvent être aisément suppléés, et c'est l'ellipse. Voyez ELLIPTIQUE. (F)

ELLIPSE, s. f. en Géométrie, est une des sections coniques qu'on appelle vulgairement ovale. Voyez CONIQUE et OVALE.

L'ellipse s'engendre dans le cone, en coupant un cone droit par un plan qui traverse ce cone obliquement, c'est-à-dire non parallèlement à la base, qui ne passe point par le sommet, et qui ne rencontre la base qu'étant prolongé hors du cone, ou qui ne fasse tout-au-plus que raser cette base. La condition que le cone soit droit, est nécessaire pour que la courbe formée comme on vient de le dire, soit toujours une ellipse ; car si le cone est oblique, en coupant ce cone obliquement, on peut quelquefois y former un cercle (voyez la fin de l'article CONIQUE, et SOUS-CONTRAIRE ou ANTI-PARALLELE, au mot PARALLELE) ; or la nature de l'ellipse est d'être ovale, c'est-à-dire d'avoir deux axes inégaux.

Ce mot est formé du grec , défaut ; les anciens géomètres grecs ont donné ce nom à cette figure, parce que entr'autres propriétés, elle a celle-ci, que les carrés des ordonnées sont moindres que les rectangles formés sous les paramètres et que les abscisses, ou leur sont inégaux par défaut.

En effet l'équation de l'ellipse, en prenant les abscisses au sommet, est celle-ci y y = (a x - x Xe x b/a, a étant l'axe, et b son paramètre. (voyez PARAMETRE, COURBE, et EQUATION ; voyez aussi la suite de cet article) ; donc y y < b Xe donc, etc. Voyez enfin PARABOLE et HYPERBOLE.

L'ellipse, pour la définir par sa forme, est une ligne courbe, rentrante, continue, régulière, qui renferme un espace plus long que large, et dans laquelle se trouvent deux points également distants des deux extrémités de sa longueur, et tels, que si on tire de ces points deux lignes à un point quelconque de l'ellipse, leur somme est égale à la longueur de l'ellipse. Ces deux points sont éloignés de l'extrémité du petit axe d'une quantité égale à la moitié du grand axe.

Ainsi dans l'ellipse A E B D A (Planche de sect. conique, fig. 21.) les lignes F a et F a, tirées des deux points F, f, également distants des deux points A et B, forment une somme égale à A B ; et la distance des points F, f, au point E, est = C A.

Souvent les Géomètres prennent l'ellipse pour l'espace contenu ou renfermé dans cette courbe. Elle a, comme on vient de le dire, deux axes inégaux A B et E D. Le grand axe A B s'appelle quelquefois axe ou diamètre transverse, et le petit axe D E s'appelle quelquefois l'axe conjugué ou second axe. Mais on appelle en général diamètres conjugués ceux dont l'un est parallèle à la tangente menée à l'extrémité de l'autre, et réciproquement, soit que leurs angles soient droits, ou non. Les deux axes se coupent toujours à angles droits. Voyez AXE.

Les deux axes sont le plus grand et le moindre des diamètres de l'ellipse ; mais l'ellipse a une infinité d'autres diamètres différents. Voyez DIAMETRE &c.

Le centre d'une ellipse est le point C dans lequel se coupent les deux axes. Voyez CENTRE.

Les deux points F, f, pris dans le grand axe, également distants de ses deux extrémités A et B, et distants chacun du point D de la valeur de A C, sont nommés foyers de l'ellipse, ou en latin umbilici. Voyez FOYER.

Mais l'ellipse considérée comme une section conique, c'est-à-dire comme une courbe provenant de la section d'un cone, se définit encore mieux par sa génération dans ce solide, que par la manière dont elle peut être produite sur un plan. C'est la ligne courbe D Q E qu'on forme en coupant le cone droit A B C (fig. 21. n. 2.) de la manière expliquée ci-dessus.

Ou en la définissant par une de ses propriétés supposée connue, c'est une ligne courbe dans laquelle le carré de la demi-ordonnée P M (fig. 21.) est au rectangle des segments A P, et B P de l'axe, comme le paramètre est à l'axe ; ainsi supposant A B = a, le paramètre = b, P M = y, A P = Xe on aura b : a : : y y : a x - x Xe et par conséquent a y y = a b x - b x Xe

Nous ne donnons point la démonstration de cette propriété, parce qu'elle se trouve par-tout. Nous avons exposé les différentes définitions qu'on peut donner de l'ellipse, et cette dernière propriété peut être regardée, si l'on veut, comme une des définitions qu'on peut en donner ; auquel cas la démonstration en serait superflue. Mais la meilleure manière de traiter de l'ellipse et de toutes les sections coniques géométriquement, est de les considérer d'abord dans le cone, d'en déduire leur équation, et de les transporter de-là sur le plan, pour considérer plus facilement leurs propriétés, et pour trouver, si l'on veut, la manière de les décrire par un mouvement continu, ou par plusieurs points. Ainsi des propriétés de l'ellipse transportée et considérée sur le plan, résulte la description de l'ellipse telle que nous l'avons donnée au mot CONIQUE.

J'ai dit que la meilleure manière de traiter géométriquement les sections coniques, et en particulier l'ellipse, était de les faire naitre dans le cone ; car si on veut les considérer algébriquement par la nature et les différences de leurs équations, la meilleure manière est celle dont j'ai parlé au mot CONIQUE. Voyez aussi les articles COURBE et CONSTRUCTION.

Si on prenait les abscisses x au centre C, on trouverait y y = (aa /4 - x Xe X b/a. Quelquefois cette équation est plus commode que a y y = a b x - b x Xe

De cette dernière équation il s'ensuit, 1°. que y y = b x - (b x x)/a, c'est-à-dire que le carré de la demi-ordonnée est égal au rectangle du paramètre par l'abscisse, moins un autre rectangle formé par la même abscisse, une quatrième proportionnelle à l'axe, au paramètre, et à l'abscisse.

2°. Le paramètre, l'abscisse, et la demi-ordonnée d'une ellipse, étant donnés, on trouvera l'axe en faisant ces proportions b : y : : y : (y y)/b, et x - (y y)/b : x : : x : a. Voyez CONSTRUCTION.

3° L'abscisse A P, l'axe A B, et l'ordonnée P M, étant donnés, on trouve le paramètre en faisant b = (a y y)/(a x - x x), et construisant ensuite cette valeur de b suivant les règles expliquées au mot CONSTRUCTION.

4° Si du grand axe A B comme diamètre (figure 22.), on décrit un cercle A C B, et que par le foyer F on mène F C ordonnée à l'axe, F C sera la moitié du petit axe, et F D la moitié du paramètre du grand axe. Car l'abscisse G F = (F E2 - G E2) = (aa/4 - p a/4), p a étant le carré du petit axe. Voyez PARAMETRE et FOYER. Or C F2 = (a a) /4 - G F2, par la propriété du cercle ; donc C F = = la moitié du petit axe. Or C F2 est à D F2, comme la moitié du grand axe est au demi-paramètre, c'est-à-dire comme le carré de la moitié du petit axe est au carré de la moitié du paramètre ; donc D F = la moitié du paramètre. Le cercle qui a pour diamètre le grand axe de l'ellipse, est appelé circonscrit à l'ellipse ; le cercle qui a pour diamètre le petit axe, est appelé cercle inscrit : en effet le premier de ces cercles est extérieur, le second intérieur à l'ellipse.

5°. Le paramètre et l'axe A B étant donnés, on trouvera facilement l'axe conjugué, puisque c'est une moyenne proportionnelle entre l'axe et le paramètre ; à quoi il faut ajouter que le carré du demi-axe conjugué est égal au rectangle formé sur B f et f A (fig. 21.) ou sur A F et B F.

6°. Dans une ellipse quelconque, les carrés des demi-ordonnées P M, p m, etc. sont entr'eux comme les rectangles formés sur les segments de l'axe : d'où il s'ensuit que D C2 : P M2 : : C B2 : A P x B P, et par conséquent D C2 : B C2 : : P M2 : A P x B P ; c'est-à-dire que le carré du petit axe est au carré du grand, comme le carré de la demi-ordonnée est au rectangle formé sur les segments de l'axe.

7°. La droite F D (fig. 24.) tirée du foyer F à l'extrémité du demi-axe conjugué, étant égale à la moitié de l'axe transverse A C, il s'ensuit que les axes conjugués étant donnés, on peut aisément déterminer les foyers. Pour cela on coupera le grand axe A B en deux parties égales en C, on élevera du point C la perpendiculaire C D égale au demi-axe conjugué ; enfin du point D pris pour centre, et de l'intervalle C A, on décrira un arc de cercle, il déterminera les foyers F et f par ses intersections avec le grand axe.

8°. Comme la somme des deux droites F M et f M, tirées des deux points F et f, au même point de la circonférence M, est toujours égale au grand axe A B, il s'ensuit de-là que les axes conjugués d'une ellipse étant donnés, on peut facilement décrire l'ellipse. Voyez CONIQUE.

9°. Le rectangle formé sur les segments de l'axe conjugué est au carré de la demi-ordonnée, comme le carré de l'axe conjugué est au carré du grand axe ; d'où il s'ensuit que les coordonnées à l'axe conjugué ont entr'elles un rapport analogue à celui qui règne entre les coordonnées au grand axe.

10°. Pour déterminer la soutangente P T (figure 23.) et la sounormale P R dans une ellipse quelconque, on fera : comme le premier axe est au paramètre, ainsi la distance de la demi-ordonnée au centre est à la sounormale. Voyez SOUNORMALE.

11°. Le rectangle sous les segments de l'axe est égal au rectangle formé de la distance de la demi-ordonnée au centre et de la soutangente. Voyez SOUTANGENTE.

12°. Le rectangle fait de la soutangente et de la distance de l'ordonnée au centre, est égal à la différence du carré de cette distance et du carré du demi-axe transverse.

13°. Dans toute ellipse le carré de la demi-ordonnée à un diamètre quelconque, est au carré du demi-diamètre conjugué, comme le rectangle fait sous les segments du diamètre est au carré du diamètre ; et par conséquent le rapport des demi-ordonnées des diamètres est le même que celui des ordonnées des axes ; le paramètre d'un diamètre quelconque est aussi une troisième proportionnelle à ce diamètre et à son conjugué.

Nous avons rapporté ces propriétés de l'ellipse la plupart sans démonstration, pour deux raisons : la première, afin que le lecteur ait sous les yeux dans un assez petit espace les principales propriétés de l'ellipse, auxquelles il peut joindre celles dont on a déjà fait mention à l'article CONIQUE. La seconde raison est de donner au lecteur l'occasion de s'exercer en cherchant la démonstration de ces propriétés. Toutes celles que nous venons d'énoncer se déduisent aisément de l'équation y y = (a x - x Xe b/a ou ((a a) /4 - x Xe b/a, selon qu'on prendra les abscisses au centre ou au sommet, pour démontrer plus simplement ces propriétés. Pour démontrer les propriétés des foyers, on nommera C F (fig. 21.) f ; et on remarquera que si e est le second axe, on aura (a a) /4 ff = (e e) /4 = (p a) /4. En voilà plus qu'il n'en faut pour mettre le lecteur sur la voie. On peut remarquer ici en passant que le cercle est un espèce d'ellipse dans laquelle les foyers coïncident avec le centre.

Pour trouver les tangentes de l'ellipse, rien n'est plus simple et plus commode que d'employer la méthode du calcul différentiel ; on a y y = b x - (b x x)/a ; donc 2 y d y = b d x - (2 b x d x)/a ; donc la soutangente y d x/d y = . Voyez les articles SOUTANGENTE et TANGENTE. A l'egard de la souperpendiculaire ou sounormale, elle est (y d y)/(d Xe ou y b/2 y - 2 b x y/2 a y = b/2 - b x/a. En voilà assez pour démontrer les propositions énoncées ci-dessus au sujet des tangentes de l'ellipse.

Nous avons déjà Ve au mot CONIQUE, et nous prouverons encore au mot QUADRATURE, que la quadrature de l'ellipse dépend de celle du cercle, puisque l'ellipse est au cercle circonscrit en raison du petit axe au grand. A l'égard de la rectification de l'ellipse, c'est un problème d'un genre supérieur à celui de la quadrature du cercle, ou du moins tout à fait indépendant de cette quadrature. Voyez RECTIFICATION ; voyez aussi dans les mémoires que j'ai donnés à l'académie de Berlin pour l'année 1746, et dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, les différentielles qui se rapportent à la rectification de l'ellipse.

Au lieu de rapporter l'ellipse à des coordonnées rectangles ou à des ordonnées parallèles, on peut considérer son équation par rapport à l'angle que font avec l'axe les lignes menées du foyer. Cette considération est utile dans l'Astronomie, parce que les planètes, comme l'on sait, décrivent des ellipses dont le soleil est le foyer. Or si on nomme a la moitié du grand axe d'une ellipse, f la distance du foyer au centre, q le cosinus de l'angle qu'une ligne menée du foyer à l'ellipse, fait avec l'axe, r la longueur de cette ligne ; on aura r = (aa - ff)/(a - f q), si on rapporte l'équation au foyer le plus éloigné, et r = (a a - f f)/(a + f q), si on la rapporte au foyer le plus proche. De-là on peut tirer la solution de plusieurs problèmes astronomiques, comme de décrire une ellipse dans laquelle trois distances au foyer sont données, etc. Voyez les mémoires de l'académ. de Berlin pour l'année 1747, et plusieurs autres ouvrages d'Astronomie.

Mais la manière la plus générale de considérer l'ellipse en Géométrie, est de la considérer par l'équation aux ordonnées parallèles. Nous allons entrer dans quelques considérations sur ce sujet, qui pourront être utiles aux commençans, peut-être même aux géomètres plus avancés.

L'équation d'une ellipse rapportée aux axes, les coordonnées étant prises au centre, est y y = k - g x Xe k exprimant un carré ou rectangle connu, et g un nombre constant et connu ; cela résulte de ce qu'on a Ve ci-dessus. Transformons les axes de cette courbe, de manière qu'ils ne soient plus rectangles, si on veut, mais qu'ils aient la même origine, et servons-nous pour cela des règles expliquées aux articles COURBE et TRANSFORMATION, on verra qu'en supposant un des axes dans une position quelconque, il sera possible de donner une telle position à l'autre, que l'équation transformée soit de cette forme u u = m - n z z, m et n marquant aussi des constantes déterminées. En effet supposons que l'angle des premiers axes soit droit, que E soit l'angle du nouvel axe avec l'un des axes primitifs, et F l'angle que l'axe cherché fait avec l'axe conjugué à l'axe primitif ; soit sinus E = e, cosinus E = , on aura sinus 90 + E = , cosin. 90 + E = - e ; soit sinus F = f, et cosinus F = , on trouvera + (x - ) sin. E/sinus 90 + E - F = u, et (x - = z. Or sinus 90 + E - F = sin. 90 + e x - f cosin. 90 + E (voyez SINUS) = x + f e. Substituant ces valeurs, et chassant x et y, on aura une équation en z et en u, qui sera la transformée de l'équation y y = k - g x x ; et supposant dans cette transformée que les termes où se trouve u z se détruisent, on aura la valeur de f en e convenable pour cela, et l'équation u u = m - n z z. Cela posé,

Il est visible que pour chaque z, u a toujours deux valeurs égales, l'une positive, l'autre négative ; que lorsque z = m/n, on a u = 0 dans chacune de ces deux valeurs, et qu'ainsi la tangente à l'extrémité d'un des deux axes est parallèle à l'autre axe, et réciproquement ; car la tangente est une ordonnée qui coupe la courbe en deux points coïncidents. Voyez TANGENTE et COURBE. On verra de plus que f = 0 rend e = 0 ; que f = 1 rend e = 1, 1 représentant le sinus total ; que f = - 1 rend e = - 1, et qu'ainsi il n'y a que deux axes dans l'ellipse qui se coupent à angles droits ; mais que f = ± r, r étant moindre que 1, donne deux valeurs de e aussi égales entr'elles, et qu'ainsi il y a toujours deux diamètres différents qui font avec leur conjugué le même angle, si cet angle est moindre qu'un droit. On peut aussi déduire des valeurs de f en e, et de celles de m et n, que le rectangle des deux axes est égal au parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués, et que le carré des deux axes est égal au carré des deux diamètres. Mais ces propositions peuvent encore se démontrer de la manière suivante, qui est bien plus simple.

Pour démontrer que les parallélogrammes formés autour des deux diamètres conjugués sont égaux, imaginez un diamètre infiniment proche d'un des conjugués, et ensuite imaginez le conjugué à ce diamètre infiniment proche. Achevez les deux parallélogrammes, ou plutôt le quart de ces parallélogrammes, vous verrez à l'instant, et pour ainsi dire à l'oeil, par le parallélisme des tangentes aux diamètres conjugués, que ces deux parallélogrammes infiniment proches sont égaux ; leur différence, s'il y en avait, ne pouvant être qu'infiniment petite du second ordre par rapport à eux. Donc, etc.

Pour démontrer maintenant que la somme des carrés des diamètres conjugués est constante, conservez la même figure, appelez a un des demi-diamètres, b son conjugué, a + d a, le demi-diamètre infiniment proche de a, b - d b le demi-diamètre conjugué ; il faut donc prouver que a a + b b = a a + 2 a d a + b b - 2 b d b (voyez DIFFERENTIEL) ou que a d a = b d b. Or traçant du centre de l'ellipse et des rayons a, b, deux petits arcs de cercle Xe z, on verra d'abord évidemment que les deux quarts d'ellipse renfermés entre les demi-diamètres conjugués, sont égaux, et qu'ainsi a x = b z. Or x est à d a et z est à d b, comme le sinus de l'angle des diamètres est au cosinus du même angle ; donc x : d a : : z : d b ; donc puisque a x = b z, on aura a d a = b d b.

On objectera peut-être que ces deux démonstrations sont tirées de la considération des quantités infiniment petites, c'est-à-dire d'une géométrie transcendante supérieure à celle des sections coniques. Je réponds que les principes de cette géométrie sont simples et clairs, et qu'ils doivent être préférés dès qu'ils fournissent le moyen de démontrer plus aisément. Voyez INFINI et DIFFERENTIEL. En effet, pourquoi ne mettra-t-on pas à la tête d'un traité des sections coniques des principes de calcul différentiel, lorsque ces principes simplifieront et abregeront les démonstrations ? J'ose dire que l'opinion contraire ne serait qu'un préjugé mal fondé. Il y a cent raisons pour la détruire, et pas une pour la soutenir. Les principes de la géométrie de l'infini étant applicables à tout, on ne saurait les donner trop tôt ; et il est bien aisé de les expliquer nettement. On doit traiter le problème des tangentes d'une courbe par le calcul différentiel, celui de la quadrature et de sa rectification par le calcul intégral, et ainsi du reste, parce que ces méthodes sont les plus simples et les plus aisées à retenir. Voyez ELEMENS et MATHEMATIQUES.

La manière dont nous venons de démontrer l'égalité des parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, a donné occasion à M. Euler de chercher les courbes qui peuvent avoir une propriété semblable. Voyez les mém. de Berlin, année 1745.

Au lieu de considérer d'abord l'ellipse par rapport à ses axes, on peut la considérer, comme nous avons fait dans l'article CONIQUE, par rapport à son équation envisagée de la manière la plus générale. Cette équation, comme on le peut voir à l'article cité, se réduira toujours à l'équation des diamètres u u = m - n z z, ne faisant même changer de position qu'une des coordonnées. Voyez COURBE, etc.

Le sphéroïde formé par une ellipse autour de son axe, est à la sphère qui a cet axe pour diamètre, comme le carré de l'axe est au carré de son conjugué ; c'est une suite du rapport des ordonnées correspondantes de l'ellipse et du cercle qui a le même axe. Voyez SPHEROÏDE ; voyez aussi les articles COEUR (Géométrie) et CONOÏDE.

Nous avons dit ci-dessus et au mot CONIQUE, comment on décrit l'ellipse par un mouvement continu ; cette manière de la décrire est la plus simple qu'on puisse employer sur le terrain, et même sur le papier : mais toutes les descriptions organiques de courbes sur le papier sont incommodes. Voyez COMPAS ELLIPTIQUE. La description par plusieurs points doit être préférée. Voyez DESCRIPTION et COURBE. On peut décrire l'ellipse par plusieurs points, en divisant en raison du petit axe au grand les ordonnées du cercle circonscrit. Voyez à la fin du II. livre des sections coniques de M. de l'Hopital, plusieurs autres méthodes très-simples de décrire l'ellipse par plusieurs points. Il y a des géomètres qui enseignent à décrire l'ellipse sur le papier par un mouvement continu, suivant la méthode qui sera expliquée à l'article OVALE : mais cette méthode est fautive : ce n'est point une ellipse qu'on décrit, c'est un composé d'arcs de cercle qui forment une ovale à la vue, et qui n'est pas même proprement une courbe géométrique. Aucune portion d'ellipse n'est un arc de cercle. La preuve en est, que le rayon de la développée de cette courbe n'est constant en aucun endroit. On peut le démontrer d'une infinité d'autres manières. Voyez DEVELOPPEE et OSCULATEUR.

On a déjà dit un mot de l'usage de l'ellipse dans l'Astronomie, et on a Ve ci-dessus que z étant l'anomalie vraie, a la distance moyenne, et f l'excentricité (Voyez ANOMALIE et EXCENTRICITE), on a la distance r de la planète au foyer = (a a - f f)/(a - f cos. z) ; or supposant f très-petite par rapport à a, on peut aisément réduire en série cette valeur de r. Voyez BINOME, DEVELOPPEMENT, et SERIE ; de plus l'élément du secteur qui représente l'anomalie moyenne (Voyez LOI DE KEPLER et ANOMALIE) est proportionnel à d z (a a - f f)2/(a - f cos. z)2 ; d'où il est aisé de conclure par les séries et le calcul intégral, que si est l'anomalie moyenne, on aura = z + 2 f sin. z + 3 f f/4 sin. 3 z + f3/3 sin. 3 z, etc. et par la méthode du retour des suites (Voyez SUITE et RETOUR), on aura z = - 2 f sin. + (5 f2/4) sin. 2 - (13 f3/12) sin. 3 - (f3 sin. )/4, etc. ainsi on a également la valeur de l'anomalie moyenne par la vraie, ou celle de la vraie par la moyenne, ce qui donne la solution du problème de Kepler développé au mot ANOMALIE. J'ai mis ici ces formules, afin que les Astronomes puissent s'en servir au besoin. Voyez EQUATION DU CENTRE.

Si l'ellipse est peu excentrique, et qu'une des lignes menées au foyer soit a + z, l'autre sera a - z, z étant une très-petite quantité ; donc le produit aa - z z de ces deux lignes peut être regardé comme constant et égal à a a, à cause de la petitesse de z z. Or si des deux extrémités d'un arc infiniment petit d'ellipse on mène des lignes à chaque foyer, on trouvera, après avoir décrit de petits arcs du foyer comme centre et des rayons a + z, a - z, que ces petits arcs sont égaux ; nommant donc chacun de ces petits arcs, on trouvera que le secteur qui a a + z pour rayon, est (a + z)/2, et que l'angle qui a a - z pour rayon, est / (a - z) ; donc le rapport du secteur à l'angle est (a a - z z) /2 ; donc il peut être censé constant, sur quoi voyez l'article suivant ELLIPSE de M. Cassini.

De ce que la somme des lignes menées aux foyers est constante, il s'ensuit, comme il est aisé de le voir, que menant deux lignes d'un même point aux deux foyers, la différentielle de l'une est égale à la différentielle de l'autre prise négativement. Or on conclura de-là très-aisément, et par la plus simple géométrie élémentaire, que les deux lignes dont il s'agit font des angles égaux avec la tangente qui passe par le point d'où elles partent. Donc un corps partant du foyer d'une ellipse et choquant la surface, sera renvoyé à l'autre foyer. Voyez REFLEXION. De-là l'usage de cette propriété dans l'Acoustique et dans l'Optique. Voyez MIROIR, ECHO, CABINETS SECRETS. Voilà encore une propriété de l'ellipse que le calcul différentiel, ou plutôt le simple principe de ce calcul démontre très-élégamment et très-simplement. Si les deux foyers d'une ellipse s'éloignent jusqu'à arriver aux extrémités du grand axe, l'ellipse devient alors une ligne droite ; et si un des foyers restant en place, l'autre s'en éloigne à l'infini, elle devient parabole. Voyez PARABOLE.

Ellipses à l'infini ou de tous les genres, ce sont celles qui sont désignées par les équations générales a ym + n = b Xe X n, et que quelques-uns appellent elliptoïdes. Voyez ELLIPTOÏDE. Mais ces mots ou façons de parler sont peu en usage.

L'ellipse ordinaire est nommée ellipse apollonienne ou d'Apollonius, quand on la compare à celles-ci, ou qu'on veut l'en distinguer. Voyez APOLLONIEN. (O)

ELLIPSE de M. Cassini, autrement nommée cassinoïde, est une courbe que feu M. Jean Dominique Cassini avait imaginée pour expliquer les mouvements des planètes ; cette courbe a deux foyers F, f (fig. 24.), dont la propriété est telle que le produit F M x M f de deux lignes quelconques menées de ces foyers à un point quelconque M de la courbe, est toujours égal à une quantité constante ; au lieu que dans l'ellipse ordinaire ou d'Appollonius, c'est la somme de ces lignes, et non leur produit, qui est égale à une quantité constante. M. l'abbé de Gua dans ses usages de l'analyse de Descartes, a déterminé les principales propriétés de cette courbe. Il y examine les différentes figures qu'elle peut avoir, et dont nous avons rapporté quelques-unes à l'article CONJUGUE, et il conclud que cette courbe n'a pas été bien connue par ceux qui en ont parlé avant lui, si on en excepte cependant l'illustre M. Grégory. Voyez astron. physiq. et géométr. élément. page 331. édit. de Geneve, 1726, ou les trants. phil. Sept. 1704.

Pour avoir une idée des propriétés de cette courbe, soit a son demi-axe, f la distance d'un des foyers au centre, x l'abscisse prise depuis le centre, y l'ordonnée, on aura, comme il est aisé de le prouver par le calcul (x x - 2 f x + ff + yy) (x x + 2 f x + f f + y y) = (a a - f f)2, par la propriété de cette courbe, ou (y y + f f + x x)2 - 4 f f x x = (a a - f f)2, ou enfin y = + (- f f - x x + ) ; donc, 1°. cette équation ne donnera jamais que deux valeurs réelles tout au plus pour y, l'une positive, l'autre négative, et égale à la positive ; car les deux valeurs qu'on aurait en mettant le signe - devant seraient imaginaires, puisque y serait la racine d'une quantité négative. 2°. En supposant même le signe + devant cette dernière quantité, il est visible que la valeur de y ne sera réelle que quand (a a - f f)2 + 4 ff x x sera > ou = (f f + x x)2, c'est-à-dire quand a4 - 2 f f a a + 2 f f x x - Xe sera > ou = 0. Donc si (a a - f f)2 est > (x x - f f)2 ou (f f - x x)2, l'ordonnée sera réelle, sinon elle sera imaginaire.

Donc si a a = 2 ff, l'ordonnée sera nulle au centre, et la courbe aura la figure d'un 8 de chiffre ou lemniscate (Voyez LEMNISCATE) ; car on aura alors x x = ou > 2 f f - a a, condition pour que l'ordonnées soit nulle ou réelle. Si 2 ff > a a, les ordonnées réelles ne commenceront qu'au point où x = + , et elles finiront au point où x = a ; car (a a - f f)2 doit aussi être > ou = (x x - f f)2. Ainsi dans ce cas la courbe sera composée de deux courbes conjuguées et isolées, distantes l'une de l'autre de la quantité 2 ; et si dans cette supposition on a de plus a = ou f = a, la courbe se réduira à deux points conjugués uniques. Si f > a, la courbe sera totalement imaginaire. Enfin si 2 ff < a a,la courbe sera continue, et aura toutes ses ordonnées réelles, égales et de signe contraire, depuis x = 0 jusqu'à x = a.

Cette courbe que M. Cassini avait voulu introduire dans l'astronomie, n'est plus qu'une courbe purement géométrique et de simple curiosité ; car on sait que les planètes décrivent des ellipses apolloniennes ou ordinaires. On demandera peut-être par quelle raison M. Cassini avait substitué cette ellipse à celle de Kepler. Voici ma conjecture sur ce sujet. On sait que la plupart des planètes décrivent des ellipses peu excentriques. On sait aussi, et on peut le conclure de l'article ellipse qui précède, que dans une ellipse peu excentrique les secteurs faits par les rayons vecteurs à un foyer, sont proportionnels à très-peu-près aux angles correspondants faits à l'autre foyer ; et c'est sur cette propriété que Ward ou Sethus Wardus a établi sa solution approchée du problème qui consiste à trouver l'anomalie vraie d'une planète, l'anomalie moyenne étant donnée. Voyez ELLIPSE et ANOMALIE. Voyez aussi les instit. astronomiq. de M. le Monnier, page 506, et suiv. Le rapport du secteur infiniment petit à l'angle correspondant, est comme le rectangle des deux lignes menées au foyer, et dans une ellipse peu excentrique, ce rectangle est à-peu-près constant : voilà le principe de Ward. Or M. Cassini parait avoir raisonné ainsi : Puisque le rapport des secteurs élementaires aux angles correspondants est comme ce rectangle, il sera constant dans une courbe où le rectangle serait constant ; il a en conséquence imaginé sa Cassinoïde.

Mais 1°. quand la Cassinoïde aurait cette propriété de la proportionnalité des secteurs aux angles ; ce ne serait pas une raison pour l'introduire dans l'Astronomie à la place de l'ellipse conique que les planètes décrivent en effet ; que gagne-t-on à simplifier un problème, lorsqu'on change l'état de la question ? 2°. Si dans l'ellipse conique le rapport des secteurs aux angles est comme le rectangle des deux lignes menées aux foyers, c'est que la somme de ces deux lignes est constante (Voyez ELLIPSE) ; sans cela la proportion n'a plus lieu. Ainsi même dans l'ellipse cassinienne les secteurs ne sont pas comme les angles. J'ai cru cette remarque assez importante pour ne la pas négliger ici. (O)