Courbe, ajoute-t-on ; pris en ce sens, est opposé à ligne droite, dont les points sont tous situés de la même manière les uns par rapport aux autres.

On trouvera peut-être chacune de ces deux définitions peu précise ; et on n'aura pas tort. Cependant elles paraissent s'accorder assez avec l'idée que tout le monde a de la ligne droite et de la ligne courbe : d'ailleurs il est très-difficîle de donner de ces lignes une notion qui soit plus claire à l'esprit que la notion simple qu'excite en nous le seul mot de droit et de courbe. La définition la plus exacte qu'on puisse donner de l'une et de l'autre, est peut-être celle-ci : La ligne droite est le chemin le plus court d'un point à un autre, et la ligne courbe est une ligne menée d'un point à un autre, et qui n'est pas la plus courte. Mais la première de ces définitions renferme plutôt une propriété secondaire que l'essence de la ligne droite ; et la seconde, outre qu'elle ne renferme qu'une propriété négative, convient aussi-bien à un assemblage de lignes droites qui font angle, qu'à ce qu'on appelle proprement courbe, et qu'on peut regarder comme l'assemblage d'une infinité de petites lignes droites contiguës entr'elles à angles infiniment obtus. Voyez plus bas COURBE POLYGONE ; voyez aussi CONVEXE. Peut-être ferait-on mieux de ne point définir la ligne courbe ni la ligne droite, par la difficulté et peut-être l'impossibilité de réduire ces mots à une idée plus élémentaire que celle qu'ils présentent d'eux-mêmes. Voyez DEFINITION.

Les figures terminées par des lignes courbes sont appelées figures curvilignes, pour les distinguer des figures qui sont terminées par des lignes droites, et qu'on appelle figures rectilignes. Voyez RECTILIGNE et FIGURE.

La théorie générale des courbes, des figures qu'elles terminent, et de leurs propriétés, constitue proprement ce qu'on appelle la haute géométrie ou la géométrie transcendante. Voyez GEOMETRIE.

On donne surtout le nom de géométrie transcendante à celle qui, dans l'examen des propriétés des courbes, emploie le calcul différentiel et intégral. Voyez ces mots ; voyez aussi la suite de cet article.

Il ne s'agit point ici, comme on peut bien le croire, des lignes courbes que l'on peut tracer au hasard et irréguliérement sur un papier. Ces lignes n'ayant d'autre loi que la main qui les forme, ne peuvent être l'objet de la Géométrie ; elles peuvent l'être seulement de l'art d'écrire. Un géomètre moderne a pourtant cru que l'on pouvait toujours déterminer la nature d'une courbe tracée sur le papier ; mais il s'est trompé en cela. Nous en donnerons plus bas la preuve.

Nous ne parlerons d'abord ici que des courbes tracées sur un plan et qu'on appelle courbe à simple courbure. On verra dans la suite la raison de cette dénomination. Pour déterminer la nature d'une courbe, on imagine une ligne droite tirée dans son plan à volonté. Par tous les points de cette ligne droite, on imagine des lignes tirées parallèlement et terminées à la courbe. La relation qu'il y a entre chacune de ces lignes parallèles, et la ligne correspondante de l'extrémité de laquelle elle part, étant exprimée par une équation, cette équation s'appelle l'équation de la courbe. Voyez EQUATION.

Dans une courbe, la ligne A D (Pl. de Géométr. fig. 51.) qui divise en deux également les lignes parallèles M M, est ordinairement appelée diamètre. Si le diamètre coupe ces lignes à angles droits, il est appelé axe ; et le point A par où l'axe passe est appelé le sommet de la courbe. Voyez DIAMETRE, AXE et SOMMET.

Les lignes parallèles M M sont appelées ordonnées ou appliquées ; et leurs moitiés P M demi-ordonnées ou ordonnées. Voyez ORDONNEE.

La portion du diamètre A P, comprise entre le sommet ou un autre point fixe, et l'ordonnée est appelée abscisse. Voyez ABSCISSE. Le point de concours des diamètres se nomme centre. V. CENTRE ; voyez aussi les remarques que fait sur ce sujet M. l'abbé de Gua dans la première section de son ouvrage intitulé, Usages de l'analyse de Descartes. Il appelle plus proprement centre d'une courbe un point de son plan, tel que si on mène par ce point une ligne droite quelconque terminée à la courbe par ses deux extrémités, ce point divise la ligne droite en deux parties égales.

Au reste, on donne aujourd'hui en général le nom d'axe à toute ligne tracée dans le plan de la courbe et à laquelle se rapporte l'équation ; on appelle l'axe des Xe ou simplement axe, la ligne sur laquelle se prennent les abscisses ; axe des y, la ligne parallèle aux ordonnées, et passant par le point où x est = 0. Ce point est nommé l'origine des coordonnées ou l'origine de la courbe. Voyez COORDONNEES.

Descartes est le premier qui ait pensé à exprimer les lignes courbes par des équations. Cette idée sur laquelle est fondée l'application de l'Algèbre à la Géométrie (voyez APPLICATION et DECOUVERTE) est très-heureuse et très-féconde.

Il est visible que l'équation d'une courbe étant résolue, donne une ou plusieurs valeurs de l'ordonnée y pour une même abscisse Xe et que par conséquent une courbe tracée n'est autre chose que la solution géométrique d'un problême indéterminé, c'est-à-dire qui a une infinité de solutions : c'est ce que les anciens appelaient lieu géométrique. Car quoiqu'ils n'eussent pas l'idée d'exprimer les courbes par des équations, ils avaient Ve pourtant que les courbes géométriques n'étaient autre chose que le lieu, c'est-à dire la suite d'une infinité de points qui satisfaisaient à la même question ; par exemple, que le cercle était le lieu de tous les points qui désignent les sommets des angles droits, qu'on peut former sur une même base donnée, laquelle base est le diamètre du cercle ; et ainsi des autres.

Les courbes se divisent en algébriques, qu'on appelle souvent avec Descartes courbes géométriques ; et en transcendantes, que le même Descartes nomme mécaniques.

Les courbes algébriques ou géométriques sont celles où la relation des abscisses A P aux ordonnées P M (fig. 52.) est ou peut être exprimé par une équation algébrique. Voyez EQUATION et ALGEBRIQUE.

Supposons, par exemple, que dans un cercle on ait A B = a, A P = Xe P M = y ; on aura P B = a - x : par conséquent, puisque P M2 = A P x P B, on aura y y = a x - x x ; ou bien si on suppose P C = Xe A C = a, P M = y, on aura M C2 - P C2 = P M2, c'est-à-dire a2 - Xe = y2.

Il est visible par cet exemple, qu'une même courbe peut être représentée par différentes équations. Ainsi sans changer les axes dans l'équation précédente, si on prend l'origine des x au sommet du cercle, au lieu de les prendre au centre, on trouve, comme on vient de le voir, y y = a x - x x pour l'équation.

Plusieurs auteurs, après Descartes, n'admettent que les courbes géométriques dans la construction des problêmes, et par conséquent dans la Géométrie ; mais M. Newton, et après lui, MM. Leibnitz et Wolf sont d'un autre sentiment, et prétendent avec raison que dans la construction d'un problême, ce n'est point la simplicité de l'équation d'une courbe qui doit la faire préférer à une autre, mais la simplicité et la facilité de la construction de cette courbe. Voyez CONSTRUCTION, PROBLEME, OMETRIQUEIQUE.

Courbe transcendante ou mécanique est celle qui ne peut être déterminée par une équation algébrique. Voyez TRANSCENDANT.

Descartes exclud ces courbes de la géométrie ; mais Newton et Leibnitz sont d'un avis contraire pour la raison que nous venons de dire. En effet une spirale, par exemple, quoique courbe mécanique, est plus aisée à décrire qu'une parabole cubique.

L'équation d'une courbe mécanique ne peut être exprimée que par une équation différentielle entre les d y et les d Xe Voyez DIFFERENTIEL. Entre ces deux genres de courbes, on peut placer, 1°. les courbes exponentielles dans l'équation desquelles une des inconnues, ou toutes les deux entrent en exposant, comme une courbe dont l'équation serait y = a Xe ou y x = a y etc. Voyez EXPONENTIEL. 2° les courbes interscendantes dans l'équation desquelles les exposans sont des radicaux, comme x = y 2. Ces deux espèces de courbes ne sont proprement ni géométriques ni mécaniques, parce que leur équation est finie sans être algébrique.

Une courbe algébrique est infinie, lorsqu'elle s'étend à l'infini, comme la parabole et l'hyperbole ; finie, quand elle fait des retours sur elle-même comme l'ellipse ; et mixte, quand une de ses parties est infinie, et que d'autres retournent sur elles-mêmes.

Pour se former l'idée d'une courbe par le moyen de son équation, il faut imaginer que l'équation de la courbe soit résolue, c'est-à-dire qu'on ait la valeur de y en Xe Cela posé, on prend toutes les valeurs positives de x depuis o jusqu'à l'infini, et toutes les valeurs négatives depuis o jusqu'à - l'infini. Les ordonnées correspondantes donneront tous les points de la courbe, les ordonnées positives étant prises toutes du même sens, et les négatives du côté opposé. Voilà ce qu'on trouve dans tous les Algébristes et géomètres modernes. Mais aucun n'a donné la raison de cette règle. Nous la donnerons dans la suite de cet article, après avoir parlé auparavant de la transformation des axes d'une courbe.

Il est certain qu'après avoir rapporté l'équation d'une courbe à deux axes quelconques d'abscisses et d'ordonnées, on peut la rapporter à deux autres axes quelconques tirés, comme on voudra, dans le plan de la courbe. De ces deux axes, l'un peut être parallèle ou coïncident à l'axe des Xe et l'autre parallèle ou coïncident à l'axe des y ; ils peuvent aussi n'être point parallèles ni l'un ni l'autre aux deux premiers axes, mais faire avec eux des angles quelconques. Supposons, par exemple, que A P (x) et P M (y) soient (Pl. d'Algeb. fig. 17.) les abscisses et les ordonnées d'une courbe, et qu'on veuille rapporter la courbe aux nouvelles coordonnées quelconques A p et p M ; on tirera A B et B q parallèles à y et à Xe et on nommera les coordonnées nouvelles A p (z) et p M (u). Cela posé, il est visible que l'angle a p M est donné, comme on le suppose, ainsi que l'angle p B q, et l'angle B q m ou son égal A m M, et que a B et A B sont aussi donnés de grandeur et de position. Donc si on nomme a B, a, et A B, b, on aura B p = z - a, B q ou A m = (z - a) m, m exprimant le rapport connu de B q à B p ; P m = y n, n étant de même un coefficient donné, et par conséquent A P ou x = (z - a) m + y n : de plus M m = p M - p m = p M - A B - p q = u - b - z q + a q, q étant de même un coefficient donné, et M P ou y = (u - b - z q + a q) x k : donc on aura y = (u - b - z q + a q) k et x = (z - a) m + n k (u - b - z q + a q) donc si on met à la place de x et de y leurs valeurs qu'on vient de trouver en z et en u, on aura une nouvelle équation par rapport aux coordonnées z et u. Voyez à l'art. TRANSFORMATION DES AXES un plus grand détail.

Il est visible qu'on peut placer non-seulement l'axe des z et l'axe des u, mais aussi l'axe des x et celui des y, par-tout où l'on voudra, sans que la courbe change pour cela de place, et que la position de la courbe est totalement indépendante de la position des axes ; de sorte que les ordonnées u partant de l'axe des z, doivent aboutir aux mêmes points que les ordonnées y, partant de l'axe des Xe Cela est évident par les opérations même que l'on fait pour la transformation des axes. D'ailleurs on doit considérer qu'une courbe n'est autre chose que le lieu d'une infinité de points qui servent à résoudre un problême indéterminé, c'est-à-dire un problême qui a une infinité de solutions. Or la situation de ces points est totalement indépendante de la position des axes auxquels on les rapporte, ces axes pouvant être placés partout où l'on voudra. De ces principes, on peut tirer les conséquentes suivantes sur la position des ordonnées.

1°. Les ordonnées positives doivent être prises d'un même côté ; car soit (fig. 36. n°. 3. analys.) A P l'axe des Xe et qu'on trouve deux valeurs positives pour y ; soit P m la plus grande de ces valeurs, je dis que la plus petite P M doit être prise du même côté. Car soit transposé l'axe A P en a p, en sorte que P p = a, et soit a p = Xe et p m = z ; on aura l'équation rapportée aux axes x et z, en mettant z - a pour y dans l'équation de la courbe ; et on aura chaque valeur de z égale aux valeurs correspondantes de y, augmentées chacune de a ; donc au point p, on aura deux valeurs positives de z, savoir a + P M et a + P m. Or si on ne prenait pas P M du même côté que P m, mais de l'autre côté, l'ordonnée p M, au lieu d'être a + P M, serait a - P M ; la courbe changerait donc ou d'équation ou de figure, en changeant d'axe ; et tandis qu'une de ses parties resterait à la même place, l'autre se promenerait, pour ainsi dire, suivant que l'on changerait l'axe de place. Or ni l'un ni l'autre ne se peut. Donc il faut que P M et P m soient pris du même côté, quand ils sont tous deux positifs.

2°. Si on a deux valeurs, l'une positive P M, l'autre négative P m (fig. 36. n°. 2.), il faudra les prendre de différents côtés. Car sait, par exemple, P M = , et P m = - x : transposant l'axe A P en a p, en sorte que p P = a et mettant z - a pour y, dans l'équation de la courbe, on aura z = a + x et z = a - Xe Si on suppose x < a,ce qui se peut toujours, puisque a est arbitraire, on trouvera z ou p M = a + P M et z ou p m = a - P M. Donc P m doit être égale à P M, et prise dans un sens contraire. Tout cela est aisé à voir avec un peu d'attention.

Lorsque les ordonnées sont positives, elles appartiennent toutes également à la courbe, ce qui est évident, puisqu'il n'y a pas de raison pour préférer l'une à l'autre. Mais lorsqu'elles sont négatives, elles n'appartiennent pas moins à la courbe ; car pour s'en convaincre, il n'y a qu'à reculer l'axe de façon que toutes les ordonnées deviennent positives. Dans cette dernière position de l'axe, toutes les ordonnées appartiendront également à la courbe. Donc il en sera de même dans la première position que l'axe avait.

Donc supposant x positive, toutes les valeurs de y tant positives que négatives, appartiennent à la courbe ; mais au lieu de prendre la ligne des x pour l'axe, on peut prendre la ligne des y, et alors on aura des valeurs tant positives que négatives de Xe lesquelles par la même raison appartiendront aussi à la courbe. Donc la courbe renferme toutes les valeurs des y répondantes à une même Xe et toutes les valeurs de x répondantes à une même y ; ou ce qui revient au même, elle renferme toutes les valeurs positives et négatives de y répondantes, soit aux x positives, soit aux x négatives. En effet, si dans la valeur de y qui repond aux x positives, on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, on aura la valeur de y correspondante aux x négatives ; et cette équation sera évidemment la même qu'on aurait, en résolvant l'équation en x et en y, après avoir changé d'abord dans cette équation les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire. Or je dis que cette dernière équation appartient également à la courbe ; car ordonnons l'équation primitive par rapport à Xe avant d'avoir changé aucun signe, et cherchons les valeurs de x en y ; nous venons de voir que les valeurs, tant positives que négatives de Xe appartiennent à la courbe. Or les valeurs négatives sont les mêmes que l'on aurait avec un signe positif, en changeant dans l'équation primitive les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire ; car on sait que dans une équation ordonnée en Xe si on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, toutes les racines changent de signe sans changer d'ailleurs de valeur. Voyez EQUATION. Donc l'équation en Xe avec le changement des signes indiqué, appartient aussi-bien à la courbe que l'équation en Xe sans changer aucun signe. Donc, etc. Il est donc important de changer les signes de Xe s'il est nécessaire, pour avoir la partie de la courbe qui s'étend du côté des x négatives. En effet sait, par exemple, y y = a a - x x l'équation du cercle, on aura, en prenant x positive, y = + ; et en faisant x négative, on aura de même y = + : ce qui donne le cercle entier. Si on prenait seulement x positive, on n'aurait que le demi-cercle ; et si on ne prenait y que positive, on n'aurait que le quart du cercle.

Voilà donc une démonstration générale de ce que tous les Géomètres n'ont supposé jusqu'à présent que par induction. En effet ils ont vu, par exemple, que si y = a - Xe c'est l'équation d'une ligne droite qui coupe son axe au point où x = a, et qui ensuite passe de l'autre côté. Or quand x > a, on a y négative ; ainsi ont-ils dit, l'ordonnée négative doit être prise du côté opposé à la positive. Ils ont Ve encore que y = ± p x est l'équation de la parabole, et que cette courbe a en effet deux parties égales et semblables, l'une à droite et l'autre à gauche de son axe, ce qui prouve que - p x doit être prise du côté opposé à p Xe Plusieurs autres exemples pris du cercle, des sections coniques rapportées à tel axe qu'on jugera à propos, ont prouvé la règle de la position des ordonnées et la nécessité de prendre x négative, après l'avoir pris positive. On s'en est tenu là, mais ce n'était pas une démonstration rigoureuse.

Les différentes valeurs de y répondantes à x positive et à x négative, donnent les différentes branches de la courbe. Voyez BRANCHE.

Lorsqu'on a ordonné l'équation d'une courbe par rapport à y ou à Xe s'il ne se trouve point dans l'équation de terme constant, la courbe passe par l'origine ; car en faisant x = 0, et y = 0 dans l'équation, tout s'évanouit. Donc la supposition de y = 0 quand x = 0, est légitime. Donc la courbe passe par le point où x = 0.

En général, si on ordonne l'équation d'une courbe par rapport à y, en sorte que le dernier terme ne contienne que x avec des constantes, et qu'on cherche les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme égal à zéro, ces valeurs de x donneront les points où la courbe coupera son axe ; car puisque ces valeurs de x substituées dans le dernier terme le rendront = 0, on prouvera par le même raisonnement que ci-dessus, que dans les points qui répondent à ces valeurs de Xe on a y = 0.

Lorsque la valeur de l'ordonnée y est imaginaire, a courbe manque dans ces endroits-là ; par exemple, lorsque x > a dans l'équation y = + , la valeur d'y est imaginaire : aussi le cercle n'existe point dans les endroits où x > a, de même si dans l'équation y = + , on fait x négative, on trouvera y imaginaire, ce qui prouve que la parabole ne passe point du côté des x négatives.

On verra aux articles EQUATION et IMAGINAIRE que toute quantité imaginaire, ou racine imaginaire d'une équation peut se réduire à A + B , A et B étant des quantités réelles, et que toute équation qui a pour racine A + B , a pour racine aussi A - B . Or quand une ordonnée passe du réel à l'imaginaire, cela vient de ce qu'une quantité comme C, qui était sous un signe radical C, devient négative, en sorte que C = B , B étant une quantité réelle. Or pour que C devienne négative, de positive qu'elle était, il faut qu'elle passe par le zero, ou par l'infini. Voyez MAXIMUM. Donc au point où l'ordonnée passe à l'imaginaire, on a B nul ou infini ; donc les racines A + B et A - B deviennent égales en ce point là. Donc la limite qui sépare les ordonnées réelles des ordonnées imaginaires, renferme deux ou plusieurs ordonnées égales, lesquelles seront = 0, ou finies ou infinies ; égales à zero, si A = 0, et si B est zero ; finies, si A est finie, et B zero ; infinies si A est infinie et B zero, ou si A est finie et B infinie, ou si A et B sont infinies l'une et l'autre.

Par exemple, si x = a, et que l'équation soit y = a - x + , on a y = 0 ; si l'équation est y = a + , y sera = a ; si l'équation est y = a + , ou y = 1/(a - Xe + , y sera infinie ; et si dans tous ces cas on prend x > a, la valeur de y sera imaginaire.

Quand on a l'équation d'une courbe, il faut examiner d'abord si cette équation ne peut pas se diviser en plusieurs équations rationnelles ; car si cela est, l'équation se rapporte, non à une seule et même courbe, mais à des courbes différentes. On en peut voir un exemple à l'article HYPERBOLES CONJUGUEES au mot CONJUGUE. Nous ajouterons ici, 1°. qu'il faut, pour ne point se tromper là-dessus, mettre d'abord tous les termes de l'équation d'un côté, et zero de l'autre, et voir ensuite si l'équation est réductible en d'autres équations rationnelles ; car sait, par exemple ; y y = a a - x Xe on serait tenté de croire d'abord que l'équation peut se changer en ces deux-ci y = a - x et y = a + Xe dont le produit donne y y = a a - x x ; ainsi on pourrait croire que l'équation y y = a a - x x qui appartient réellement au cercle, appartiendrait au système de deux lignes droites, y = a + x et y = a - Xe Or on se tromperait en cela, mais pour connaître son erreur, il n'y a qu'à faire y y - a a + x x = 0, et l'on verra alors facilement que cette équation n'est pas le produit des deux équations y - a + x = 0 et y - a - x = 0 ; en effet, on sent assez que y y = a a - x x ne donne ni y = a - Xe ni y = a + x ; mais si on avait l'équation y y - 2 a y + a a - x x = 0, on trouverait que cette équation viendrait des deux y - a - x = 0 et y - a + x = 0, et qu'ainsi elle représenterait non une courbe, mais un système de deux lignes droites.

2°. Les équations dans lesquelles l'équation apparente d'une courbe se divise, n'en seraient pas moins rationnelles, quand elles renfermeraient des radicaux, pourvu que la variable x ne se trouvât pas sous ces radicaux ; par exemple, une équation qui serait formée de ces deux-ci, y - a a + b b - x = 0 et y - a a + b b + x = 0, représenterait toujours le système de deux lignes droites. Il faut seulement remarquer que l'équation y y - 2 y + a a + b b - x x = 0 qui résulte de ces deux-là, se change, en faisant évanouir tout à fait le signe radical, en celle-ci (y y + a a + b b - xx)2 - 4 y y aa + bb) = 0, qui est du quatrième degré, et qui renferme le système de 4 lignes droites y - - x = 0, y - + x = 0, y + - x = 0, y + + x = 0.

3°. Les équations sont encore rationnelles quand même x se trouverait sous le signe radical ; pourvu qu'on puisse l'en dégager : par exemple, y - = 0 et y - = 0 se changent en y = + x , et y = +

, qui est le système des quatre lignes droites, où l'on voit que les deux équations radicales en ont fourni chacune deux autres, parce que la racine de x x est également + x et - Xe Je m'étends sur ces différents objets, parce qu'ils ne sont point traités ailleurs, ou qu'ils le sont trop succinctement, ou qu'ils le sont mal.

Ceci nous conduit à parler d'une autre manière d'envisager l'équation des courbes, c'est de déterminer une courbe par l'équation, non entre x et y, mais entre les y qui répondent à une même abscisse.

Exemple. On demande une courbe, dans laquelle la somme de deux ordonnées correspondantes à une même x soit toujours égale à une quantité constante 2 a, je dis que l'équation de cette courbe sera y = a + X, X désignant une quantité radicale quelconque, composée de x et de constantes. En effet, les deux ordonnées y = a + X et y = a - X ajoutées ensemble, donnent une somme = 2 a ; mais il faut bien remarquer que X doit être une quantité irrationnelle ; car, par exemple, y = a + x3/ b2 et y = a - x3/ b2 ne satisferaient pas au problème, parce que ces deux équations ne désigneraient pas le système d'une seule et même courbe. De même si on demande une courbe, dans laquelle le produit des deux ordonnées correspondantes à x soit une quantité Q, qui contienne x avec des constantes, ou qui soit une constante, on fera y = P + , P étant une quantité quelconque qui contienne x avec des constantes, ou qui soit une constante ; car le produit des deux valeurs P + et P - donnera Q. Voyez sur tout cela les journaux de Leipsic de 1697, les mémoires de l'académie des Sciences de 1734, et l'introductio ad analysim infinitorum, par M. Euler, c. XIVe

Cours d'une courbe. Pour déterminer le cours d'une courbe, on doit d'abord résoudre l'équation de cette courbe, et trouver la valeur de y en x ; ensuite on prend différentes valeurs de Xe et on cherche les valeurs de y correspondantes ; on voit par-là les endroits où la courbe coupe son axe, savoir les points où la valeur de y = 0 ; les endroits où la courbe a une asymptote, c'est-à-dire les points où y est infinie, x restant, ou bien où y est infinie, et a un rapport fini avec x supposée aussi infinie ; les points où y est imaginaire, et où par conséquent la courbe ne passe pas, etc. Ensuite on fait les mêmes opérations, en prenant x négative. Par exemple, soit (y - a a/a - x)2 = x x + a a l'équation d'une courbe, on aura donc y = a a/a - x + . Ce qui fait voir 1°. que chaque valeur de x donne deux valeurs de y, à cause du double signe ± ; 2°. que si x = 0, on a y = a ± a, c'est-à-dire y = 0 et y = 2 a ; 3°. que si x = a, y = à l'infini, et que par conséquent la courbe a une asymptote au point où x = a ; 4°. que si x = à l'infini, on a y = ± x ; ce qui prouve que la courbe a des asymptotes qui font avec son axe un angle de 45 degrés ; en faisant x négative, on trouve y = a a/a + x + , équation sur laquelle on fera des raisonnements semblables. Il en est de même des autres cas. Si l'équation avait , on trouverait qu'au point où x = 0, l'ordonnée devient imaginaire, etc.

On peut tracer à peu-près une courbe par plusieurs points, en prenant plusieurs valeurs de x assez près l'une de l'autre, et cherchant les valeurs de y. Ces méthodes de décrire une courbe par plusieurs points sont plus commodes et en un sens plus exactes que celles de les décrire par un mouvement continu. Voyez COMPAS ELLIPTIQUE.

Les anciens n'ont guère connu d'autres courbes que le cercle, les sections coniques, la conchoïde, et la cissoïde. Voyez ces mots. La raison en est toute simple, c'est qu'on ne peut guère traiter des courbes sans le secours de l'Algèbre, et que l'Algèbre parait avoir été peu connue des anciens. Depuis ce temps on y a ajouté les paraboles et hyperboles cubiques, et le trident ou parabole de Descartes ; voilà où on en est resté, jusqu'au traité des lignes du troisième ordre de M. Newton, dont nous parlerons plus bas. Voyez PARABOLE, HYPERBOLE, TRIDENT, etc.

Nous avons dit ci-dessus que les courbes mécaniques sont celles dont l'équation entre les coordonnées n'est et ne peut être algébrique, c'est-à-dire finie. Nous disons ne peut être ; car si l'équation différentielle d'une courbe avait une intégrale finie, cette courbe qui paraitrait d'abord mécanique, serait réellement géométrique. Par exemple, si d y = , la courbe est géométrique parce que l'intégrale est y = + A ; ce qui représente une parabole. Mais l'équation d y = est l'équation d'une courbe mécanique, parce que l'on ne saurait trouver l'intégrale de cette équation différentielle. Voyez DIFFERENTIEL, INTEGRAL et QUADRATURE.

Les anciens ont fait très-peu d'usage des courbes mécaniques, nous ne leur en connaissons guère que deux, la spirale d'Archimède et la quadratrice de Dinostrate. Voyez ces mots. Ils se servaient de ces courbes pour parvenir d'une manière plus aisée à la quadrature du cercle. Les modernes ont multiplié à l'infini le nombre des courbes mécaniques ; le calcul différentiel a facilité extrêmement cette multiplication, et les avantages qu'on pouvait en tirer. Voyez MECHANIQUE. Revenons aux courbes algébriques ou géométriques, qui sont celles dont il sera principalement mention dans cet article, parce que le caractère de leurs équations qui consiste à être exprimées en termes finis, nous met à portée d'établir sur ces courbes des propositions générales, qui n'ont pas lieu dans les courbes mécaniques. C'est principalement la Géométrie des courbes mécaniques, qu'on appelle Géométrie transcendante, parce qu'elle emploie nécessairement le calcul infinitésimal ; au lieu que la Géométrie des courbes algébriques n'emploie point, du moins nécessairement, ce calcul pour la découverte des propriétés de ces courbes, si on en excepte leurs rectifications et leurs quadratures ; car on peut déterminer, par exemple, leurs tangentes, leurs asymptotes, leurs branches, etc. et toutes les autres propriétés de cette espèce, par le secours du seul calcul algébrique ordinaire. Voyez les ouvrages de MM. Euler et de Gua, déjà cités, et l'ouvrage de M. Cramer, qui a pour titre introduction à l'analyse des lignes courbes, Genev. 1750. in-4°.

Nous avons Ve ci-dessus comment on transforme les axes x et y d'une courbe par les équations x = A z + B u + C, y = D z + E u + F ; c'est-là la transformation la plus générale, et si on veut faire des transformations plus simples, on n'a qu'à supposer un des coefficiens A, B, C, D. etc. ou plusieurs égaux à zéro, pourvu qu'on ne suppose pas, par exemple, A et B ensemble égaux à zéro, ni D et E ensemble égaux à zéro, car on aurait x = C, et y = F ; ce qui ne se peut, puisque x et y qui sont des indéterminées ne peuvent être égales à des constantes. On ne doit point non plus supposer en même temps B et E = 0, ni A et D = 0 ; car substituant les valeurs de x et de y, on n'aurait plus dans l'équation de la courbe qu'une seule indéterminée u. Or il faut qu'il y en ait toujours deux.

Il est visible que si on substitue à la place de x et de y les valeurs ci-dessus dans l'équation de la courbe, l'équation n'augmentera pas de dimension ; car on détermine la dimension et le degré de l'équation d'une courbe, par la plus haute dimension à laquelle se trouve l'une ou l'autre des inconnues Xe y, ou le produit des inconnues ; par exemple, l'équation d'une courbe est du troisième degré, lorsqu'elle contient le cube y3, ou le cube x3, ou le produit x y y ou x x y, ou toutes ces quantités à la fais, ou quelques-unes seulement. Or comme dans les équations x = A z + B u + C, y = D z + E u + F, z et u ne montent qu'au premier degré, il est évident que si on substitue ces valeurs dans l'équation en x et en y, la dimension de l'équation et son degré n'augmentera pas. Il est évident par la même raison, qu'elle ne diminuera pas ; car si elle diminuait, c'est-à-dire si l'équation en z et en u était de moindre dimension que l'équation en x et en y, alors substituant pour z et pour u leurs valeurs en x et en y, lesquelles sont d'une seule dimension, comme il est aisé de le voir, on retrouverait l'équation en x et en y, et par conséquent on parviendrait à une équation d'une dimension plus élevée que l'équation en z et en u ; ce qui est contre la première proposition.

Donc en général, quelque transformation d'axe que l'on fasse, l'équation de la courbe ne change point de dimension. On peut voir dans l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, et dans l'introduction à l'analyse des lignes courbes par M. Cramer, les manières abrégées de faire le calcul pour la transformation des axes. Mais ce n'est pas de quoi il s'agit ici, cette abréviation de calcul étant indifférente en elle même aux propriétés de la courbe. Voyez aussi TRANSFORMATION des axes.

Courbes algébriques du même genre ou du même ordre ou du même degré, sont celles dont l'équation monte à la même dimension. Voyez ORDRE et DEGRE.

Les courbes géométriques étant une fois déterminées par la relation des ordonnées aux abscisses, on les distingue en différents genres ou ordres ; ainsi les lignes droites sont les lignes du premier ordre, les lignes du second ordre sont les sections coniques.

Il faut observer qu'une courbe du premier genre est la même qu'une ligne du second ordre, parce que les lignes droites ne sont point comptées parmi les courbes, et qu'une ligne du troisième ordre est la même chose qu'une courbe du second genre. Les courbes du premier genre sont donc celles dont l'équation monte à deux dimensions ; dans celle du second genre, l'équation monte à trois dimensions ; à quatre dans celle du troisième genre, etc.

Par exemple, l'équation d'un cercle est y2 = 2 a x - x x ou y 2 = a2 - Xe ; le cercle est donc une courbe du premier genre et une ligne du second ordre.

De même la courbe, dont l'équation est a x = y 2, est une courbe du premier genre ; et celle qui a pour équation a2 x = y3, est courbe du second genre et ligne du troisième ordre.

Sur les différentes courbes du premier genre et leurs propriétés, voyez SECTIONS CONIQUES au mot CONIQUE.

On a Ve à cet article CONIQUE, quelle est l'équation la plus générale des lignes du second ordre, et on trouve que cette équation a 3 + 2 + 1 termes ; on trouvera de même que l'équation la plus générale des lignes du troisième ordre est y3 + a x y2 + b x x y + c Xe + e y2 + f x y + g x x + h x + i y + l = 0, et qu'elle a 4 + 3 + 2 + 1 termes, c'est-à-dire 10 ; en général, l'équation la plus composée de l'ordre n, aura un nombre de termes = (n + 2) x (n + 1)/2, c'est-à-dire, à la somme d'une progression arithmétique, dont n + 1 est le premier terme et 1 le dernier. Voyez PROGRESSION ARITHMETIQUE.

Il est clair qu'une droite ne peut jamais rencontrer une ligne du ne ordre qu'en n points tout au plus ; car quelque transformation qu'on donne aux axes, l'ordonnée n'aura jamais que n valeurs réelles tout au plus, puisque l'équation ne peut être que du degré n. On peut voir dans l'ouvrage de M. Cramer, déjà cité, plusieurs autres propositions, auxquelles nous renvoyons, sur le nombre des points, où les lignes de différents ordres ou du même ordre peuvent se couper. Nous dirons seulement que l'équation d'une courbe du degré n étant ordonnée, par exemple, par rapport à y, en sorte que y n n'ait pour coefficient que l'unité, cette équation aura autant de coefficiens qu'il y a de termes, moins un, c'est-à-dire, (n n + 3 n)/2. Donc si on donne un pareil nombre de points, la courbe du ne ordre qui doit passer par ces points sera facilement déterminable ; car en prenant un axe quelconque à volonté, et menant des points donnés des ordonnées à cet axe, on aura (n n + 3 n)/2 ordonnées connues, ainsi que les abscisses correspondantes, et par conséquent on pourra former autant d'équations, dont les inconnues seront les coefficiens de l'équation générale. Ces équations ne donneront jamais que des valeurs linéaires pour les coefficiens, qu'on pourra par conséquent trouver toujours facilement.

Au reste il peut arriver que quelques-uns des coefficiens soient indéterminés, auquel cas on pourra faire passer plusieurs lignes du même ordre par les points donnés ; ou que les points donnés soient tels que la courbe n'y puisse passer, pour lors l'équation sera réductible en plusieurs autres rationnelles. Par exemple, qu'on propose de faire passer une section conique par cinq points donnés (car n étant = 2, (n n + 3 n)/2 est = 5) : il est visible que si trois de ces points sont en ligne droite, la section n'y pourra passer ; car une section conique ne peut jamais être coupée qu'en deux points par une ligne droite, puisque son équation n'est jamais que de deux dimensions. Qu'arrivera-t-il donc ? l'équation sera réductible en deux du premier degré, qui représenteront non une section conique, mais le système de deux lignes droites, et ainsi des autres.

On peut remarquer aussi que si quelques coefficiens se trouvent infinis, l'équation se simplifie ; car les autres coefficiens sont nuls par rapport à ceux-là, et on doit par conséquent effacer les termes où se trouvent ces coefficiens nuls.

M. Newton a fait sur les courbes du second genre un traité intitulé, enumeratio linearum tertii ordinis. Les démonstrations des différentes propositions de ce traité se trouvent pour la plupart dans les ouvrages de MM. Stirling et Maclaurin sur les courbes, et dans les autres ouvrages dont nous avons déjà parlé. Nous allons rapporter sommairement quelques-uns des principaux articles de l'ouvrage de M. Newton. Cet auteur remarque que les courbes du second genre et des genres plus élevés, ont des propriétés analogues à celles des courbes du premier genre : par exemple, les sections coniques ont des diamètres et des axes ; les lignes que ces diamètres coupent en deux parties égales sont appelées ordonnées ; et le point de la courbe où passe le diamètre est nommé sommet ; de même si dans une courbe du second genre, on tire deux lignes droites parallèles qui rencontrent la courbe en trois points, une ligne droite qui coupera ces parallèles, de manière que la somme des deux parties comprises entre la sécante et la courbe d'un même côté, soit égale à l'autre partie comprise entre la sécante et la courbe, elle coupera, suivant la même loi, toutes les autres lignes qu'on pourra mener parallèlement aux deux premières, et qui seront terminées à la courbe, c'est-à-dire, les coupera de manière que la somme des deux parties d'un même côté sera égale à l'autre partie.

En effet, ayant ordonné l'équation de manière que y3 sans coefficient soit au premier terme, le second terme sera y2 (a + b x), et ce second terme contiendra la somme des racines, c'est-à-dire des valeurs de y. Voyez EQUATION. Or par l'hypothèse, il y a deux valeurs de x qui rendent ce second terme = 0, puisqu'il y a deux valeurs de x (hyp.) qui donnent la somme des ordonnées positives égale à la somme des négatives. Donc il y a deux valeurs de Xe savoir A et B, qui donnent a + b A = 0, a + B b = 0. Or cela ne peut être, à moins qu'en général on n'ait a = 0, b = 0. Donc a + b x = 0, quelque valeur qu'on suppose à Xe Donc le second terme manque dans l'équation. Donc la somme des ordonnées positives est par-tout égale à la somme des ordonnées négatives.

On peut étendre ce théoreme aux degrés plus élevés. Par exemple, dans le quatrième ordre, le 2d terme étant y3 (a + b x), c'est encore la même chose, et si deux valeurs de x donnent la somme des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la donneront.

Outre cela, comme dans les sections coniques non paraboliques, le carré d'une ordonnée, c'est-à-dire le rectangle des ordonnées situées de deux différents côtés du diamètre, est au rectangle des parties du diamètre terminées aux sommets de l'ellipse ou de l'hyperbole, comme une ligne donnée appelée latus rectum ou paramètre, est à la partie du diamètre comprise entre les sommets, et appelée latus transversum ; de même dans les courbes du second genre non parabolique, le parallelépipede sous trois ordonnées est au parallelépipede sous les trois parties du diamètre terminées par les sommets et par la rencontre des ordonnées, dans un rapport constant.

Cela est fondé sur ce que le dernier terme de l'équation, savoir h Xe + l Xe + m x + n, est le produit de toutes les racines ; que ce dernier terme est outre cela le produit de A x + B par D x + E, et par F x + G, et que, aux points où y = 0, c'est-à-dire où le diamètre coupe la courbe, points que l'on appelle ici sommets, on a x = - A/B, x = - E/D, x = - G/F : avec ces propositions on trouvera facilement la démonstration dont il s'agit, ainsi que celle des théorèmes suivants, qui sont aussi tirés de M. Newton.

Comme dans la parabole conique qui n'a qu'un sommet sur un seul et même diamètre, le rectangle des ordonnées est égal au produit de la partie du diamètre comprise entre le sommet et l'ordonnée, par une ligne constante appelée latus rectum ; de même dans celle des courbes du second genre qui n'ont que deux sommets sur un même et unique diamètre, le parallelépipede sous trois ordonnées est égal au parallelépipede sous les deux parties du diamètre, comprise entre les sommets et la rencontre de l'ordonnée, et sous une troisième ligne constante, que l'on peut par conséquent nommer latus rectum. Voyez PARABOLE.

De plus, dans les sections coniques, si deux lignes parallèles et terminées à la section, sont coupées par deux autres lignes parallèles et terminées à la section, la première par la troisième, et la seconde par la quatrième, le rectangle des parties de la première est au rectangle de la partie de la troisième, comme le rectangle des parties de la seconde est au rectangle des parties de la quatrième ; de même aussi, si on tire dans une courbe du second genre deux lignes parallèles, terminées à la courbe en trois points, et coupées par deux autres parallèles terminées à la même courbe, chacune en trois points, le parallelépipede des trois parties de la première ligne sera à celui des trois parties de la troisième, comme le parallelépipede des trois parties de la seconde est à celui des trois parties de la quatrième.

Enfin les branches infinies des courbes du premier et du second genre et des genres plus élevés, sont ou du genre hyperbolique ou du genre parabolique : une branche hyperbolique est celle qui a une asymptote, c'est-à-dire qui s'approche continuellement de quelque ligne droite ; une branche parabolique est celle qui n'a point d'asymptote. Voyez ASYMPTOTE et BRANCHE.

Ces branches se peuvent distinguer encore mieux par leurs tangentes. En effet, si le point de contact d'une tangente est supposé infiniment éloigné, la tangente de ce point se confond avec l'asymptote dans une branche hyperbolique ; et dans une branche parabolique, elle s'éloigne à l'infini, et disparait. On peut donc trouver l'asymptote d'une branche, en cherchant sa tangente à un point infiniment éloigné, et on trouve la direction de cette branche, en cherchant la position d'une ligne droite parallèle à la tangente, lorsque la point de contact est infiniment éloigné ; car la direction de la branche infinie à son extrémité est parallèle à celle de cette ligne droite.

Les lignes d'un ordre impair, par exemple du troisième, du cinquième, ont nécessairement quelques branches infinies ; car on peut toujours par une transformation d'axes, s'il est nécessaire, préparer l'équation, en sorte que l'une au moins des coordonnées se trouve élevée à une puissance impaire dans l'équation ; elle aura donc toujours au moins une valeur réelle, quelque valeur qu'on suppose à l'autre coordonnée. Donc, etc.

Nous avons dit plus haut que dans une ligne courbe d'un genre quelconque, on peut toujours imaginer l'axe tellement placé, que la somme des ordonnées d'une part soit égale à la somme des ordonnées de l'autre. L'axe en ce cas s'appelle ordinairement diamètre. Il est évident que toute courbe en a une infinité ; car ayant transformé les axes d'une manière quelconque, on peut toujours supposer cette transformation telle que le second terme de la transformée manque, et en ce cas l'un des axes sera diamètre.

On appelle diamètre absolu celui qui divise les ordonnées en deux également ; tels sont ceux des sections coniques.

M. de Bragelongne appelle contre-diamètre un axe des abscisses, tel que les abscisses opposées égales aient des ordonnées opposées égales ; c'est-à-dire, tel que x négative donne y négative, sans changer d'ailleurs de valeur.

Ceci nous conduit naturellement à parler des centres, dont nous avons déjà dit un mot plus haut. Pour qu'une courbe ait un centre, il faut qu'en supposant l'origine placée dans ce centre, et prenant deux x opposées et égales, les y correspondantes soient aussi opposées et égales ; c'est-à-dire il faut que faisant x négative dans l'équation, on trouve pour y la même valeur, mais négative. L'équation doit donc être telle par rapport à x et à y, qu'en changeant les signes de x et de y, elle demeure absolument la même ; donc cette équation ne doit contenir que des puissances ou des dimensions impaires de x et de y, sans terme constant, ou des puissances et des dimensions paires de x et de y, avec ou sans terme constant. Car dans le premier cas, tous les signes changeront, en faisant x et y négatives, ce qui est la même chose que si aucun signe ne changeait ; et dans le second cas aucun signe ne changera. Voulez-vous donc savoir si une courbe a un centre ? L'équation étant ordonnée par rapport à x et à y, imaginez que l'origine soit transportée dans ce centre, en sorte que l'on ait x + a = z, y + b = u ; et déterminez a et b à être telles, qu'il ne reste plus dans la transformée que des dimensions paires, ou des dimensions impaires sans terme constant ; si la courbe a un centre possible, vous trouverez pour a et b des valeurs réelles. Dans l'extrait du livre de M. l'abbé de Gua, journal des savants, Mai 1740, extrait dont je suis l'auteur, on a remarqué que l'énoncé de la méthode de cet habîle géomètre pour déterminer les centres, était un peu trop générale.

Nous ne nous étendrons pas ici sur les manières de déterminer les différentes branches des courbes ; nous renverrons sur ce sujet au livre de M. Cramer, qui a pour titre, introduction à l'analyse des lignes courbes. Nous dirons seulement ici que ce problème depend de la connaissance des séries et de la règle du parallélogramme, dont nous parlerons en leur lieu. Voyez PARALLELOGRAMME, SERIE, etc.

Division des courbes en différents ordres. Nous avons Ve à l'article CONIQUE, comment l'équation générale des sections coniques ou ligne du second ordre donne trois courbes différentes. Voyez le troisième vol. p. 878, col. 1re ; nous remarquerons seulement ici, 1°. qu'il faut - D u u au lieu de D u u ; c'est une faute d'impression : 2°. que lorsque D est négatif, et par conséquent - D u u positif, alors l'équation primitive et générale y y + p x y + b x x + q y + c x + a = 0 est telle que la portion y y + p x y + b x x a ses deux facteurs imaginaires, c'est-à-dire que cette portion y y + p x y + b x x supposée égale à zéro, ne donnerait aucune racine réelle. On peut aisément s'en assurer par le calcul ; car en ce cas on trouvera (p p)/4 < b, et la quantité A dans la transformée z z + A x x + B x + C = 0 sera positive, et par conséquent - D positive : 3°. dans l'équation z z - D u u + F u + G = 0, on peut réduire les trois termes - D u u + F u + G à deux + K t t + H, lorsque D n'est pas = 0, par la même méthode qu'on emploie pour faire évanouir le second terme d'une équation du second degré ; c'est-à-dire en faisant u - F /(2 D) = t, et alors l'équation sera z z + K t t + H = 0 ; équation à l'ellipse, si K est positif ; et à l'hyperbole, si K est négatif : 4°. si D = 0, en ce cas on fera F u + G = k t, et l'équation sera z z + k t = 0, qui est à la parabole : 5°. dans le cas où D = 0, y y + p x y + b x x a ses deux facteurs égaux ; et dans le cas où D est positif, c'est-à-dire où - D u u est négatif, y y + p x y + b x x a ses deux facteurs réels et inégaux, et l'équation appartient à l'hyperbole, car en ce cas (p p)/4 > b, et A est négative. Voyez sur cela, si vous le jugez à propos, le septième livre des sections coniques de M. de l'Hopital, qui traite des lieux géométriques ; vous y verrez comment l'équation générale des sections coniques se transforme en équation à la parabole, à l'ellipse ou à l'hyperbole, suivant que y y + p x y + b x x est un carré, ou une quantité composée de facteurs imaginaires, ou de facteurs réels inégaux. Passons maintenant aux lignes du troisième ordre ou courbes du second genre.

Réduction des courbes du second genre. M. Newton réduit toutes les courbes du second genre à quatre espèces principales représentées par quatre équations. Dans la première, le rapport des ordonnées y aux abscisses Xe est représenté par l'équation x y y + e y = a Xe + b Xe + c x + d ; dans la seconde, l'équation a cette forme x y = a Xe + b x x + c x + d ; dans la troisième, l'équation est yy = a Xe + b Xe + c x + d : enfin la quatrième a pour équation y = a Xe + b Xe + c x + d.

Pour arriver à ces quatre équations, il faut d'abord prendre l'équation générale la plus composée des lignes du troisième ordre, et l'écrire ainsi.

On remarquera que le plus haut rang z3 + b z u2 + c u z2 + c u3 étant du troisième degré, il aura au moins un facteur réel ; les deux autres étant, ou égaux entr'eux et inégaux au premier facteur, ou réels et inégaux, tant entr'eux qu'avec le premier facteur, ou imaginaires, ou enfin égaux au premier. Sait z + A u ce facteur réel, et faisons d'abord abstraction du cas où les trois facteurs sont égaux ; soit supposé z + A u = t, on aura une transformée qui contiendra t3, t2, t, t u u, u t t, t u, u u et u, avec un terme constant ; or on fera d'abord disparaitre le terme u u, en supposant t + F = s ; ensuite en faisant u = N s + p + Q (les grandes lettres désignent ici des coefficiens), on fera disparaitre les termes u t t et u t, et il ne restera plus que des termes qui représenteront la première équation x y y + e y = a Xe + b x x + c x + d = 0.

En second lieu, si les trois facteurs du plus haut rang sont égaux, on n'aura dans l'équation transformée, en faisant z + Au = t, que les termes t3, t2, t, u, t u, u u, et un terme constant. Or on peut faire disparaitre les termes t u et u, en supposant u + R t + K = s, et l'on aura une équation de la forme y y = a Xe + b Xe + c x + d. Traisième forme de M. Newton. Nous remarquerons même que cette équation pourrait encore se simplifier ; car en supposant x = R + q, on ferait évanouir les termes b x x ou d, et quelquefois le terme c Xe

3°. Si les trois facteurs du premier rang sont égaux, et que de plus un de ces facteurs soit aussi facteur du second rang f z z + g z u + h u u, alors la transformée aura des termes de cette forme t3, t, t u, t t, u, et un terme constant. Or faisant t + R = q, on fera disparaitre le terme u, et on aura une équation de cette forme x y = a x 3 + b x 2 + c x + d. Seconde forme de M. Newton. Cependant on pourrait encore simplifier cette équation, et faire disparaitre les deux termes b x 2 + c Xe en supposant x = Q p, et y = N p + R z + M.

4°. Enfin si les trois facteurs du premier rang étant égaux, ceux du second sont les mêmes, l'équation alors n'aura que des termes de cette forme t3, t t, u et t, avec un terme constant, et elle sera de la quatrième forme de M. Newton y = a Xe + b Xe + c x + d, de laquelle on peut encore faire disparaitre les termes b Xe + c x + d, en supposant x = p + R, et y + N x + Q = z. En ce cas l'équation sera de la forme y = A x3, et représentera la première parabole cubique. Voyez les usages de l'analyse de Descartes, par M. l'abbé de Gua, pag. 437 et suiv.

On voit par ce détail sur quoi est fondée la division générale des lignes du troisième ordre qu'a donné M. Newton ; on voit de plus que les équations qu'il a données auraient pu encore recevoir toutes une forme plus simple, à l'exception de la première.

Enumération des courbes du second genre. L'auteur subdivise ensuite ces quatre espèces principales en un grand nombre d'autres particulières, à qui il donne différents noms.

Le premier cas qui est celui de x y y + e x = a Xe + b Xe + c x + d = 0, est celui qui donne le plus grand nombre de subdivisions ; les trois subdivisions principales sont que les deux autres racines du plus haut rang soient ou réelles et inégales, ou imaginaires, ou réelles et égales ; et chacune de ces subdivisions en produit encore d'autres. Voyez l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, page 440. et suiv.

Lorsqu'une hyperbole est toute entière au-dedans de ses asymptotes comme l'hyperbole conique, M. Newton l'appelle hyperbole inscrite : lorsqu'elle coupe chacune de ses asymptotes, pour venir se placer extérieurement par rapport à chacune des parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite ; enfin lorsqu'une de ses branches est inscrite à son asymptote, et l'autre circonscrite à la sienne, il l'appelle hyperbole ambigène : celle dont les branches tendent du même côté, il la nomme hyperbole convergente : celle dont les branches ont des directions contraires, hyperbole divergente : celle dont les branches tournent leur convexité de différents côtés, hyperbole à branches contraires : celle qui a un sommet concave vers l'asymptote, et des branches divergentes, hyperbole conchoïdale : celle qui coupe son asymptote avec des points d'inflexion, et qui s'étend vers deux côtés opposés, hyperbole anguinée ou serpentante : celle qui coupe la branche conjuguée, cruciforme : celle qui retourne sur elle-même et se coupe, hyperbole à nœud : celle dont les deux parties concourent en un angle de contact et s'y terminent, hyperbole à pointe ou à rebroussement : celle dont la conjuguée est une ovale infiniment petite, c'est-à-dire un point, hyperbole pointée ou à point conjugué : celle qui par l'impossibilité de deux racines n'a ni ovale, ni point conjugué, ni point de rebroussement, hyperbole pure ; l'auteur se sert dans le même sens des dénominations de parabole convergente, divergente, cruciforme, etc. Lorsque le nombre des branches hyperboliques surpasse celui des branches de l'hyperbole conique, il appelle l'hyperbole redundante.

M. Newton compte jusqu'à soixante-douze espèces inférieures de courbes du second genre : de ces courbes il y en a neuf qui sont des hyperboles redundantes sans diamètre, dont les trois asymptotes forment un triangle. De ces hyperboles, la première en renferme trois, une inscrite, une circonscrite, et une ambigène, avec une ovale ; la seconde est à nœud, la troisième à pointe, la quatrième pointée, la cinquième et la sixième pures, la septième et la huitième cruciformes, la neuvième anguinée.

Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui n'ont qu'un diamètre : la première a une ovale, la seconde est à nœud, la troisième à pointe, la quatrième pointée ; la cinquième, sixième, septième et huitième, pures ; la neuvième et la dixième cruciformes, la onzième et la douzième conchoïdales. Il y a deux hyperboles redundantes qui ont trois diamètres.

Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont les trois asymptotes convergent en un point commun : la première est formée de la cinquième et de la sixième hyperbole redundantes, dont les asymptotes renferment un triangle ; la seconde de la septième et de la huitième, la troisième et la quatrième de la neuvième ; la cinquième est formée de la huitième et de la septième des hyperboles redundantes, qui n'ont qu'un diamètre ; la sixième de la sixième et de la septième, la septième de la huitième et de la neuvième, la huitième de la dixième et de la onzième, la neuvième de la douzième et de la treizième. Tous ces changements se font en réduisant en un point le triangle compris par les asymptotes.

Il y a encore six hyperboles défectives sans diamètre : la première a une ovale, la seconde est à nœud, la troisième à pointe, la quatrième pointée, la cinquième pure, etc.

Il y a sept hyperboles défectives qui ont des diamètres : la première et la seconde sont conchoïdales avec une ovale, la troisième est à nœud, la quatrième à pointe : c'est la cissoïde des anciens ; la cinquième et la sixième sont pointées, la septième pure.

Il y a sept hyperboles paraboliques qui ont des diamètres : la première ovale, la seconde à nœud, la troisième à pointe, la quatrième pointée, la cinquième pure, la sixième cruciforme, la septième anguinée.

Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hyperbolismes de l'hyperbole, trois hyperbolismes de l'ellipse, deux hyperbolismes de la parabole.

Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes : la première a une ovale, la seconde est à nœud, la troisième pointée ; la quatrième est à pointe (cette dernière est la parabole de Neil, appelée communément seconde parabole cubique) ; la cinquième est pure, Enfin il y a une dernière courbe appelée communément première parabole cubique. Remarquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. Newton dans son énumération avait oublié quatre espèces particulières, ce qui fait monter le nombre des courbes du second genre jusqu'à soixante-seize, et que M. l'abbé de Gua y en a encore ajouté deux autres, observant de plus que la division des lignes du troisième ordre en espèces pourrait être beaucoup plus nombreuse ; si on assignait à ces différentes espèces des caractères distinctifs, autres que ceux que M. Newton leur donne.

On peut voir dans l'ouvrage de M. Newton, et dans l'endroit cité du livre de M. l'abbé de Gua, ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions détaillées des courbes du troisième ordre, qu'il serait trop long et inutîle de donner dans un Dictionnaire. Mais nous ne pouvons nous dispenser de remarquer que les principes sur lesquels ces divisions sont fondées, sont assez arbitraires ; et qu'en suivant un autre plan, ou pourrait former d'autres divisions des lignes du troisième ordre. On pourrait, par exemple, comme MM. Euler et Cramer, distinguer d'abord quatre cas généraux : celui où le plus haut rang n'a qu'une racine réelle, celui où elles sont toutes trois réelles et inégales, celui où deux sont égales, celui où trois sont égales, et subdiviser ensuite ces cas. Cette division générale parait d'autant plus juste et plus naturelle, qu'elle serait parfaitement analogue à celle des lignes du second ordre ou sections coniques, dans laquelle on trouve l'ellipse pour le cas où le plus haut rang a ses deux racines imaginaires ; l'hyperbole, pour le cas où le plus haut rang a ses racines réelles et inégales, et la parabole pour le cas où elles sont égales. Au reste il faut encore remarquer que toutes les subdivisions de ces quatre cas, et même la division générale, auront toujours de l'arbitraire. Cela se voit même dans la division des lignes du second ordre. Car on pourrait à la rigueur, par exemple, regarder la parabole comme une espèce d'ellipse dont l'axe est infini (voyez PARABOLE), et ne faire que deux divisions pour les sections coniques ; et on pourrait même n'en faire qu'une, en regardant l'hyperbole comme une ellipse, telle que dans l'équation yy = aa - xx, le carré de l'abscisse x x ait le signe +. Il semble qu'en Géometrie comme en Physique, la division en genres et en espèces ait toujours nécessairement quelque chose d'arbitraire ; c'est que dans l'une et dans l'autre il n'y a réellement que des individus, et que les genres n'existent que par abstraction de l'esprit.

M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans le troisième ordre, et M. Euler seize, ce qui prouve encore l'arbitraire des subdivisions.

On peut par une méthode semblable faire la division des courbes d'un genre supérieur. Voyez ce que M. Cramer a fait par rapport aux lignes du quatrième ordre dans le chap. IXe de son ouvrage.

Pour rappeler à l'une des quatre formes de M. Newton une ligne quelconque du troisième ordre, dont l'équation est donnée en z et en u, on transformera d'abord les axes de la manière la plus générale, en supposant a = A z + B u + C, et y = D z + E u + F ; substituant ensuite ces valeurs, on déterminera les coefficiens A, B, etc. à être tels que l'équation en x et en y ait une des quatre formes susdites.

Points singuliers et multiples des courbes. On appelle point multiple d'une courbe celui qui est commun à plusieurs branches qui se coupent en ce point, et par opposition point simple celui qui n'appartient qu'à une branche. Il est visible qu'au point multiple l'ordonnée y a plusieurs valeurs égales répondantes à un même Xe C'est-là une propriété du point multiple ; mais il ne faut pas croire que le point soit multiple, toutes les fois que l'ordonnée a plusieurs valeurs égales. Car, si une ordonnée touche la courbe, par exemple, il est aisé de voir que l'ordonnée a dans ce point deux valeurs égales, sans que le point soit double. Voyez TANGENTE. La propriété du point multiple, c'est que l'ordonnée y a plusieurs valeurs égales, quelque situation qu'on lui donne ; au lieu que dans le point simple l'ordonnée qui peut avoir plusieurs valeurs égales dans une certaine situation, n'en a plus qu'une dès que cette situation change, ce qui est évident par la seule inspection d'un point multiple et d'un point simple. Voyez POINT.

De-là il s'ensuit que si on transporte l'origine en un point supposé multiple, en faisant z + A = Xe u + B = y, il faut qu'en supposant z infiniment petit, on ait plusieurs valeurs nulles de u, quelque direction qu'on lui donne. Ainsi pour trouver les points multiples, il n'y a qu'à, après avoir transporté l'origine dans le point supposé, donner une direction quelconque à l'ordonnée, et voir si dans cette direction quelconque l'ordonnée aura plusieurs valeurs égales à zéro. Voyez M. l'abbé de Gua, p. 88. et M. Cramer, page 409.

On prouvera par ces principes, que les sections coniques ne peuvent avoir de points multiples, ce qu'on savait d'ailleurs. On prouvera aussi que les courbes du troisième ordre ne peuvent avoir de points triples, etc. Mais cette proposition se peut encore prouver d'une manière plus simple en cette sorte. Imaginons que l'ordonnée soit tangente d'une des branches, elle rencontrera cette branche en deux points. Or si le point est un point double, par exemple, l'ordonnée rencontrerait donc la courbe en trois points, ce qui ne peut être dans une section conique ; car jamais une droite ne peut la rencontrer qu'en deux points, puisque son équation ne passe jamais le second degré ; et qu'ainsi quelque position qu'on donne à l'ordonnée, elle ne peut avoir jamais plus de deux valeurs. On prouvera de même qu'une courbe du second genre, ou ligne du troisième ordre, ne peut avoir de point triple, parce que la courbe ne peut jamais être coupée qu'en trois points par une ligne droite.

A l'égard des points doubles des courbes, nous avons déjà remarqué que les courbes du second genre peuvent être coupées en trois points par une ligne droite. Or deux de ces points se confondent quelquefois, comme il arrive, par exemple, quand la ligne droite passe par une ovale infiniment petite ; ou par le point de concours de deux parties d'une courbe qui se rencontrent, et s'unissent en une pointe. Quelquefois les lignes droites ne coupent la courbe qu'en un point, comme il arrive aux ordonnées de la parabole de Descartes, et de la première parabole cubique ; en ce cas il faut concevoir que ces lignes droites passent par deux autres points de la courbe placés à une distance infinie ou imaginaire. Deux de ces intersections coïncidentes, faites à une distance infinie, ou même imaginaire, constituent une espèce de point double.

On appelle points singuliers les points simples qui ont quelque propriété particulière, comme les points conjugués, les points d'inflexion, les points de serpentement, etc. Voyez POINT, CONJUGUE, INFLEXION, SERPENTEMENT, etc. Voyez aussi REBROUSSEMENT, NOEUD, etc. Sur les tangentes des courbes en général, et sur les tangentes des points multiples, voyez TANGENTE.

Description organique des courbes. 1°. Si deux angles de grandeur donnée, P A D, P B D (Pl. de Géomet. fig. 53.) tournent autour de deux pôles A et B, donnés de position, et que le point de concours P des côtés A P, B P, décrive une ligne droite, le point de concours D des deux autres côtés décrira une section conique qui passera par les pôles A et B, à moins que la ligne ne vienne à passer par l'un ou l'autre des pôles A et B, ou que les angles B A D et A B D ne s'évanouissent à la fais, auquel cas le point de concours décrira une ligne droite.

2°. Si le point de concours P des côtés A P, B P, décrit une section conique passant par l'un des pôles A, le point de concours D des deux autres côtés A D, B D, décrira une courbe du second genre qui passera par l'autre pôle B, et qui aura un point double dans le premier pôle A, à moins que les angles B A D, A B D, ne s'évanouissent à la fais, auquel cas le point D décrira une autre section conique qui passera par le pôle A.

3°. Si la section conique décrite par le point P ne passe, ni par A ni par B, le point D décrira une courbe du second ou du troisième genre, qui aura un point double ; et ce point double se trouvera dans le concours des côtés décrivants A D, B D, quand les deux angles B A P, A B P, s'évanouissent à la fais. La courbe décrite sera du second genre, quand les angles B A D, A B D, s'évanouiront à la fais, sinon elle sera du troisième genre, et aura deux points doubles en A et en B.

Les démonstrations de ces propositions, qu'il serait trop long de donner ici, se trouveront dans l'ouvrage de M. Maclaurin, qui a pour titre, Geometria organica, où il donne des méthodes pour tracer des courbes géométriques par un mouvement continu. Voyez aussi le VIII. livre des sections coniques de M. de l'Hopital.

Génération des courbes du second genre par les ombres. Si les ombres des courbes de différents genres sont projetées sur un plan infini, éclairé par un point lumineux, les ombres des sections coniques seront des sections coniques ; celles des courbes du second genre seront des courbes du second genre ; celles des courbes du troisième genre seront des courbes du troisième genre, etc.

Et comme la projection du cercle engendre toutes les sections coniques, de même la projection des cinq paraboles divergentes engendre toutes les autres courbes du second genre ; et il peut y avoir de même dans chaque autre genre une suite de courbes simples, dont la projection sur un plan éclairé par un point lumineux, engendre toutes les autres courbes du même genre. MM. Nicole et Clairaut, dans les mémoires de l'acad. de 1731, ont démontré la propriété des cinq paraboles divergentes dont nous venons de parler ; propriété que M. Newton n'avait fait qu'énoncer sans démonstration. Voyez aussi sur cette proposition l'ouvrage cité de M. l'abbé de Gua, page 198. et suiv. Voyez aussi OMBRE.

Usage des courbes pour la construction des équations. L'usage principal des courbes dans la Géométrie, est de donner par leur point d'intersection la solution des problêmes. Voyez CONSTRUCTION.

Supposons, par exemple, qu'on ait à construire une équation de neuf dimensions, comme Xe + b Xe c Xe + d Xe + e Xe + (m + f) Xe + g Xe + h x + k = 0, dans laquelle b, c, d, etc. signifient des quantités quelconques données, affectées des signes + ou - ; on prendra l'équation à la parabole cubique Xe = y, et mettant y pour Xe dans la première équation, elle se changera en y3 + b x y2 + c y2 + d Xe y + e x y + m y + f Xe + g Xe + h x + k = 0, équation à une autre courbe du second genre dans laquelle m ou f peuvent être supposés = 0. Si on décrit chacune de ces courbes, leurs points d'intersection donneront les racines de l'équation proposée. Il suffit de décrire une fois la parabole cubique. Si l'équation à construire se réduit à 7 dimensions par le manquement des termes h x et k, l'autre courbe aura, en effaçant m, un point double à l'origine des abscisses, et pourra être décrite par différentes méthodes. Si l'équation est réduite à six dimensions par le manquement des trois termes g Xe + h x + k, l'autre courbe, en effaçant f, deviendra une section conique ; et si par le manquement des six derniers termes l'équation est réduite à trois dimensions, on retombera dans la construction que Wallis en a donnée par le moyen d'une parabole cubique et d'une ligne droite. Voyez CONSTRUCTION, et l'ouvrage de M. Cramer, chap. IVe

COURBE POLYGONE. On appelle ainsi une courbe considérée non comme rigoureusement courbe, mais comme un polygone d'une infinité de côtés. C'est ainsi que dans la géométrie de l'infini on considère les courbes ; ce qui ne signifie autre chose, rigoureusement parlant, sinon qu'une courbe est la limite des polygones, tant inscrits que circonscrits. Voyez LIMITE, EXHAUSTION, INFINI, DIFFERENTIEL, etc. et POLYGONE.

Il faut distinguer, quand on traite une courbe comme polygone ou comme rigoureuse ; cette attention est surtout nécessaire dans la théorie des forces centrales et centrifuges ; car quand on traite la courbe comme polygone, l'effet de la force centrale, c'est-à-dire la petite ligne qu'elle fait parcourir, est égale à la base de l'angle extérieur de la courbe ; et quand on traite la courbe comme rigoureuse, l'effet de la force centrale est égale à la petite ligne, qui est la base de l'angle curviligne formé par la courbe et par sa tangente. Or il est aisé de voir que cette petite ligne n'est que la moitié de la première, parce que la tangente rigoureuse de la courbe divise en deux également, l'angle extérieur que le petit côté prolongé fait avec le côté suivant. La première de ces lignes est égale au carré du petit côté divisé par le rayon du cercle osculateur, voyez OSCULATEUR et DEVELOPPEE ; la seconde au carré du petit côté divisé par le diamètre du même cercle. La première est censée parcourue d'un mouvement uniforme, la seconde d'un mouvement uniformément accéléré : dans la première, la force centrale est supposée n'agir que par une impulsion unique, mais grande ; dans la seconde, elle est supposée agir, comme la pesanteur, par une somme de petits corps égaux ; et ces deux suppositions reviennent à une même ; car l'on sait qu'un corps mu d'un mouvement accéléré parcourait uniformément avec sa vitesse finale, le double de l'espace qu'il a parcouru d'un mouvement uniformément accéléré, pour acquérir cette vitesse. Voyez les articles ACCELERATION, CENTRAL, et DESCENTE. Voyez aussi l'hist. de l'acad. 1722. et mon traité de Dynamique, page 20. article 20. et page 30. article 26.

Rectification d'une courbe, est une opération qui consiste à trouver une ligne droite égale en longueur à cette courbe. Voyez RECTIFICATION.

Inflexion d'une courbe. Voyez INFLEXION.

Quadrature d'une courbe, est une opération qui consiste à trouver l'aire ou l'espace renfermé par cette courbe, c'est-à-dire à assigner un carré dont la surface soit égale à un espace curviligne. Voyez QUADRATURE.

Famille de courbes, est un assemblage de plusieurs courbes de différents genres, représentées toutes par la même équation d'un degré indéterminé, mais différent, selon la diversité du genre des courbes. Voyez FAMILLE.

Par exemple, supposons qu'on ait l'équation d'un degré indéterminé a(m -1) x = ym : si m = 2, on aura a x = y2 ; si m = 3, on aura a2 x = y3 ; si m = 4, a3 x = y4. Toutes les courbes auxquelles ces équations appartiennent sont dites de la même famille par quelques géomètres.

Les équations qui représentent des familles de courbes, ne doivent pas être confondues avec les équations exponentielles ; car quoique l'exposant soit indéterminé, par rapport à toute une famille de courbes, il est déterminé et constant par rapport à chacune des courbes qui la composent ; au lieu que dans les équations exponentielles l'exposant est variable et indéterminé pour une seule et même courbe. Voyez EXPONENTIEL.

Toutes les courbes algébriques composent, pour ainsi dire, une certaine famille, qui se subdivise en une infinité d'autres, dont chacune contient une infinité de genres. En effet dans les équations par lesquelles les courbes sont déterminées, il n'entre que des produits, soit des puissances des abscisses et des ordonnées par des coefficiens constants, soit des puissances des abscisses par des puissances des ordonnées, soit de quantités constantes pures et simples, les unes par les autres. De plus chaque équation d'une courbe peut toujours avoir zéro pour un de ses membres, par exemple, a x = y2 se change en a x - y2 = 0. Donc l'équation générale qui représentera toutes les courbes algébriques sera

Nous devons remarquer ici que le P. Reyneau s'est trompé dans le second volume de son analyse démontrée, lorsque voulant déterminer les tangentes de toutes les courbes géométriques en général, il prend pour l'équation générale de toutes ces courbes ym + b Xe yq + c Xe = 0, équation qui n'a que trois termes. Il est visible que cette équation est insuffisante, et qu'on doit lui substituer celle que nous venons de donner.

Courbe caustique. Voyez CAUSTIQUE.

Courbe diacaustique. Voyez DIACAUSTIQUE.

Les meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s'instruire de la théorie des courbes, sont, 1° l'enumeratio linearum tertii ordinis de M. Newton, d'où une partie de cet article COURBE est tirée : 2° l'ouvrage de M. Stirling sur le même sujet, et Geometria organica de M. Maclaurin, dont nous avons parlé : 3° les usages de l'analyse de Descartes par M. l'abbé de Gua, déjà cités ; ouvrage original et plein d'excellentes choses, mais qu'il faut lire avec précaution (Voyez BRANCHE et REBROUSSEMENT) : 4° l'introduction à l'analyse des lignes courbes, par M. Cramer ; ouvrage très-complet, très-clair et très-instructif, et dans lequel on trouve d'ailleurs plusieurs méthodes nouvelles : 5° l'ouvrage de M. Euler, qui a pour titre, introductio in analys. infinitorum, Lausan. 1748.

Sur les propriétés, la génération, etc. des différentes courbes mécaniques particulières ; par exemple, de la cycloïde, de la logarithmique, de la spirale, de la quadratrice, etc. Voyez les articles CYCLOÏDE, LOGARITHMIQUE, etc.

On peut voir aussi la dernière section de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, de M. Guisnée, où l'on trouvera quelques principes généraux sur les courbes mécaniques. Voyez aussi MECHANIQUE et TRANSCENDANT.

On peut faire passer une courbe géométrique et régulière, par tant de points qu'on voudra d'une courbe quelconque irrégulière, tracée sur le papier ; car ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne droite quelconque, qu'on prendra pour la ligne des abscisses, et ayant abaissé des points donnés de la courbe irrégulière des perpendiculaires à la ligne des Xe on nommera a la première ordonnée, et b l'abscisse qui lui répond ; c la seconde ordonnée, et e l'abscisse correspondante ; f la troisième ordonnée, et g l'abscisse correspondante. Ensuite on supposera une courbe dont l'équation soit y = A + B x + C Xe + D Xe + etc. et faisant successivement y = a, x = b ; y = c, x = e ; y = f, x = g, etc. on déterminera les coefficiens A, B, C, etc. en tel nombre qu'on voudra ; et la courbe régulière dont l'équation est y = A + B x + C x2, etc. passera par tous les points donnés. S'il y a n points donnés, il faudra supposer n coefficiens A, B, C, D, etc. On peut donc faire approcher aussi près qu'on voudra une courbe irrégulière d'une courbe régulière, mais jamais on ne parviendra à faire coïncider l'un avec l'autre ; et il ne faut pas s'imaginer qu'on puisse jamais, à la vue simple, déterminer l'équation d'une courbe, comme l'a cru le géomètre dont nous avons parlé au commencement de cet article.

Les courbes dont l'équation y = A + B x + C Xe etc. s'appellent courbes de genre parabolique. Voyez PARABOLIQUE. Elles servent à rendre une courbe quelconque irrégulière ou mécanique, le plus géométrique qu'il est possible. Elles servent aussi à l'équarrer par approximation. Voyez QUADRATURE. Au reste, il y a des courbes, par exemple, les courbes ovales ou rentrant en elles-mêmes, par lesquelles on ne peut jamais faire passer une courbe de genre parabolique ; parce que dans cette dernière courbe l'ordonnée n'a jamais qu'une valeur, et que dans les courbes ovales, elle en a toujours au moins deux. Mais on pourrait, par exemple, rapporter ces courbes, lorsqu'elles ont un axe qui les divise en deux également, à l'équation y y = A + B x + C Xe + etc. Voyez METHODE DIFFERENTIELLE.

Courbe à double courbure. On appelle ainsi une courbe dont tous les points ne sauraient être supposés dans un même plan, et qui par conséquent est doublement courbe, et par elle-même, et par la surface sur laquelle on peut la supposer appliquée. On distingue par cette dénomination les courbes dont il s'agit, d'avec les courbes à simple courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces courbes à double courbure ; c'est le premier ouvrage qu'il ait publié.

Une courbe quelconque a double courbure étant supposée tracée ; on peut projeter cette courbe sur deux plans différents perpendiculaires l'un à l'autre, et les projections seront deux courbes ordinaires qui auront un axe commun et des ordonnées différentes. L'équation d'une de ces courbes sera, par exemple, en x et en y, l'autre en x et en z. Ainsi l'équation d'une courbe à double courbure sera composée de deux équations à deux variables chacune, qui ont chacune une même variable commune. Il est à remarquer que quand on a l'équation en x et en y, et l'équation en x et en z, on peut avoir par les règles connues (Voyez EQUATION et DIVISION) une autre équation en y et en z ; et ce sera l'équation d'une troisième courbe, qui est la projection de la courbe à double courbure sur un troisième plan perpendiculaire aux deux premiers.

On peut regarder, si l'on veut, une des courbes de projection, par exemple, celle qui a pour coordonnées x et y, comme l'axe curviligne de la courbe à double courbure. Si on veut avoir la tangente de cette dernière courbe en un point quelconque, on menera d'abord la tangente de la courbe de projection au point correspondant, c'est-à-dire au point qui est la projection de celui dont on demande la tangente ; et sur cette tangente prolongée autant qu'il sera nécessaire, on prendra une partie = (z d s)/(d z), d s exprimant le petit arc de la courbe de projection : on a le rapport de d s à d x par l'équation de la courbe en x et en y (Voyez TANGENTE et DIFFERENTIEL) ; on a celui de d x à d z par l'équation de la courbe en x et en z. Donc z d s/d z pourra toujours être exprimé par une quantité finie, d'où les différentielles disparaitront. Une courbe à double courbure est algébrique, quand les deux courbes de projection le sont : elle est mécanique, quand l'une des courbes de projection est mécanique, ou quand elles le sont toutes deux. Mais dans ce dernier cas on n'en trouvera pas moins les tangentes ; car par l'équation différentielle des courbes de projection, on aura toujours la valeur de d s en d x et celle de d z en d Xe

Surfaces courbes. Une surface courbe est représentée en Géométrie par une équation à trois variables, par exemple, Xe y et z. En effet, si on prend une ligne quelconque au-dedans ou au-dehors de la surface courbe pour la ligne des Xe et qu'on imagine à cette ligne une infinité de plans perpendiculaires qui coupent la surface courbe, ces plans formeront autant de courbes, dont l'équation sera en y et en z, et dont le paramètre sera la distance variable x du plan coupant à l'origine des Xe Ainsi, z z = x x - y y, est l'équation d'un cone droit et rectangle, dont l'axe est la ligne des Xe M. Descartes est le premier qui ait déterminé les surfaces courbes par des équations à trois variables, comme les lignes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométrique, quand son équation est algébrique et exprimée en termes finis. Elle est mécanique, quand son équation est différentielle et non algébrique ; dans ce cas on peut représenter l'équation de la surface courbe par d z = d x + d y, et étant des fonctions de Xe de y et de z. Il semble d'abord qu'on aura cette surface courbe, en menant à chaque point de la ligne des x un plan perpendiculaire à cette ligne, et en traçant ensuite sur ce plan la courbe dont l'équation est d z = d y, x étant regardée comme un paramètre constant, et d x étant supposée = 0. Cette construction donnerait à la vérité une surface courbe ; mais il faut que la surface courbe satisfasse encore à l'équation d z = d Xe y étant regardé comme constant ; c'est-à-dire il faut que les sections de la surface courbe, par un plan parallèle à la ligne des Xe soient représentées par l'équation d z = d Xe Or cela ne peut avoir lieu que lorsqu'il y a une certaine condition entre les quantités et ; condition que M. Fontaine, de l'académie des Sciences, a découvert le premier. On trouvera aussi dans les mémoires de l'académie de Petersbourg, tome III. des recherches sur la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une surface courbe entre deux points donnés. Sur une surface plane, la ligne la plus courte est une ligne droite. Sur une surface sphérique, la ligne la plus courte est un arc de grand cercle passant par les deux points donnés. Et en effet il est aisé de voir, par les principes de la Géométrie ordinaire, que cet arc est plus petit que tout autre ayant la même corde ; car, à cordes égales, les plus petits arcs sont ceux qui ont un plus grand rayon. Voyez aussi les œuvres de Bernoulli, tome IV. page 108. La ligne dont il s'agit a cette propriété, que tout plan passant par trois points infiniment proches, ou deux côtés contigus de la courbe, doit être perpendiculaire au plan qui touche la courbe en cet endroit. En voici la preuve. Toute courbe qui passe par deux points infiniment proches d'une surface sphérique, et qu'on peut toujours regarder comme un arc de cercle, est évidemment la ligne la plus courte, lorsqu'elle est un arc de grand cercle ; et cet arc de grand cercle est perpendiculaire au plan touchant, comme on peut le démontrer aisément par les éléments de Géométrie. Or toute portion de surface courbe infiniment petite peut être regardée comme une portion de surface sphérique, et toute partie de courbe infiniment petite comme un arc de cercle. Donc, etc. La perpendiculaire à la méridienne de la France tracée par M. Cassini, est une courbe à double courbure, et est la plus courte qu'on puisse tracer sur la surface de la terre regardée comme un sphéroïde aplati. Voyez les mémoires de l'acad. de 1732 et 1733. Voilà tout ce que nous pouvons dire sur cette matière, dans un ouvrage de l'espèce de celui-ci.

Des courbes mécaniques, et de leur usage pour la construction des équations différentielles. Nous avons expliqué plus haut ce que c'est que ces courbes. Il ne s'agit que d'expliquer ici comment on les construit, ou en général comment on construit une équation différentielle. Sait, par exemple, d y = une équation à construire, on aura y = + C, C étant une constante qu'on ajoute, parce que est supposée = 0 lorsque x = 0, et qu'on suppose que x = 0 rend y = C. Voyez CONSTANTE. On construira d'abord une courbe géométrique dont les ordonnées soient les abscisses étant Xe l'aire de cette courbe (Voyez QUADRATURE) sera ; ainsi en supposant cette courbe quarrable, si on fait un carré z z = , on aura y = z z/a + C, et on construira la courbe dont l'ordonnée est y.

Cette méthode suppose, comme on voit, que les indéterminées soient séparées dans l'équation différentielle (Voyez CALCUL INTEGRAL) ; elle suppose de plus les quadratures, sans cela elle ne pourrait réussir.

Sait en général X d x = Y d y, X étant une fonction de x (Voyez FONCTION), et Y une fonction de y. On construira d'abord par la méthode précédente une courbe dont les abscisses soient Xe et dont les ordonnées z soient = X d x divisé par une constante convenable, c'est-à-dire par une constante m qui ait autant de dimensions qu'il y en a dans X ; en sorte que X d x/m soit d'une dimension, pour pouvoir être égale à une ligne z. Ensuite on construira de même une courbe dont les abscisses soient y, et dont les ordonnées u soient = Y d y/m ; prenant ensuite u dans la dernière courbe = z dans l'autre, on aura l'x et l'y correspondantes ; et ces x et y joints à angles droits, si les coordonnées doivent faire un angle droit, donneront la courbe qu'on cherche.

Voyez dans la dernière section de l'application de l'Algèbre à la géométrie de M. Guisnée, et dans l'analyse des infiniment petits de M. de l'Hopital, plusieurs exemples de construction des équations différentielles par des courbes mécaniques. (O)

COURBE DES ARCS, voyez TROCHOÏDE.

COURBE DES SINUS, voyez SINUS.

COURBES, s. f. (Marine) Ce sont des pièces de bois beaucoup plus fortes et plus grosses que les courbatons, dont elles ont la figure : leur usage est de lier les membres des côtés du vaisseau aux baux, et de gros membres à d'autres. Voyez COURBATONS.

Sur chaque bout des baux on met une courbe ou courbaton, pour le soutenir et lier le vaisseau. Pour former une courbe on prend ordinairement un pied d'arbre, au haut duquel il y a deux branches qui fourchent, et l'on coupe ce pied en deux, y laissant une branche fourchue de chaque côté. Aux grands gabarits et sous toute l'embelle, où le vaisseau a le plus à souffrir, on ne peut mettre les courbes trop fortes ; mais comme de si grosses pièces de bois diminuent l'espace pour l'arimage, on fait quelquefois des courbes de fer de trois à quatre pouces de large, et d'un quart de pouce d'épais, qu'on applique sur les côtés des courbes qui sont les plus faibles, et la branche supérieure s'applique aux baux avec des clous et des chevilles de fer. Voyez Marine, Pl. V. fig. 1. n°. 121. les courbes de fer du second pont, et Pl. IV. fig. 1. même n°. 121. et celles du premier pont, mêmes Planches n°. 70.

A l'égard des courbes ou courbatons qui se posent en-travers dans les angles de l'avant et de l'arrière du vaisseau, on leur laisse toujours toute la grosseur que le bois peut fournir, et l'on tâche d'en avoir d'un pied d'arbre entier où il n'y ait qu'une fourche, et qui n'ait point été scié, parce que celles qui sont sciées sont bien plus faibles ; et pour le mieux on tâche que les courbes qui se posent en travers, aient à l'endroit de bas des serrebauquières, autant d'épaisseur que le bau auquel elles sont jointes.

Courbes d'arcasse, ce sont des pièces de liaison assemblées dans chacun des angles de la poupe, d'un bout contre la lisse de hourdi, et de l'autre contre les membres du vaisseau. Voyez leur figure, Marine, Pl. VI. n°. 69.

Courbe de contre-arcasse ou contre-lisses ; ce sont des pièces de bois posées en fond de cale, arcboutées par en-haut contre l'arcasse, et attachées du bout d'en-bas sur les membres du vaisseau.

Courbe d'étambord, c'est une pièce de bois courbe, qui pose sur la quille du vaisseau d'un côté, et de l'autre contre l'étambord. Voyez Marine, Pl. IV. fig. 1. n°. 8.

Courbes du premier pont, doivent avoir les deux tiers de l'épaisseur de l'étrave. Voyez leur fig. Marine, Pl. VI. n°. 68.

Courbe de la poulaine, c'est une pièce de bois située entre la gorgère ou taille-mer, l'étrave et l'aiguille de l'éperon. Voyez Pl. IV. fig. 1. cette courbe cotée 194. la gorgère, cotée 193. l'étrave, n°. 3. et l'aiguille de l'éperon, 184. (Z)

COURBE, se dit en Charpenterie et Menuiserie, de toute pièce de bois ceintrée.

COURBE D'ESCALIER (Charpentier) c'est celle qui forme le quartier tournant, autrement dit le noyau recreusé. Voyez Pl. I. fig. 2. du Charpentier.

Courbes rallongées, sont celles dont les parties ceintrées ont différents points de centres.

COURBE, (Maréchallerie) Les Maréchaux appellent ainsi une tumeur dure et calleuse qui vient en longueur au-dedans du jarret du cheval ; c'est-à-dire à la partie du jarret opposée à l'une des jambes, de côté. (V)

COURBE, se dit dans l'écriture, des rondeurs supérieures et inférieures des lettres o, c, d, &c.

COURBE, terme de Rivière, pièce de bois arrondie, placée des deux côtés d'un bateau foncet, tant derrière que devant, sur lesquelles, on ferme les cordes du bateau : il y en a quatre dans un bateau. Voyez FONCET. Dans le pays d'amont on l'appelle la courbe bouletant.

On appelle encore sur les rivières courbes de chevaux, deux chevaux accouplés qui tirent les bateaux avec une corde pour les remonter. Il faut quelquefois jusqu'à douze courbes de chevaux, que l'on nomme rhum.

CURVE