Pour concevoir la nature de cette courbe, supposons une ligne pesante et flexible (Voyez Pl. de Géométrie, fig. 25 n°. 2.) dont les extrémités soient fixées aux points G, H, elle se fléchira par son propre poids en une courbe G A H, qu'on nomme la chaînette ou catenaria.

Voici comment le père Reyneau, dans son Analyse démontrée, trouve l'équation de cette courbe. Sait A le sommet de la courbe, ou son point le plus bas ; que B D et b d soient parallèles à l'horizon, f D perpendiculaire à B D, B D, perpendiculaire à A B ; et soient les points B, b, et les lignes B D, b d, infiniment près l'un de l'autre ; les lois de la mécanique nous apprennent que trois puissances qui se font mutuellement équilibre, sont entr'elles comme des parallèles aux lignes de leurs directions, terminées par leur concours mutuel ; par conséquent les lignes D f et d f seront entr'elles comme les forces verticales et horizontales, qui tendent à mettre la particule D d dans la situation D d : or la première de ces forces est le poids de la portion A D de la chaîne, et elle est représentée par A D. L'autre force est une force constante, n'étant autre chose que la résistance du point A : nommant donc A B, Xe B D, y, l'arc A D ou son point c, et la force constante a, on aura d x . d y : : c . a, et d y = a d x/c . Donc d y/d x = a/( (d Xe + d y2)), et (d Xe + d y2) = a d (d x/d y).

Il semble que cette solution, quoiqu'assez simple, laisse encore de l'obscurité dans l'esprit ; mais ce même problème a été résolu de différentes manières : les plus élégantes sont celles que l'on trouve dans l'essai de M. Bernoulli sur la manœuvre des vaisseaux, imprimé à Bâle, 1714 ; et dans un écrit de M. Daniel Bernoulli le fils, tome III. des mémoires de l'académie de Petersbourg.

Pour parvenir à l'équation de la chaînette, il faut d'abord décomposer toutes les puissances qui agissent sur un point quelconque, en deux autres, tout au plus, dont l'une soit parallèle à l'axe, et l'autre perpendiculaire à cet axe ; ce qui est toujours possible, puisqu'il n'y a point de puissance qui ne puisse se réduire à deux autres de position donnée ; ensuite on regardera la chaînette comme un polygone d'une infinité de côtés ; et supposant chaque puissance appliquée au point de concours des deux côtés, on décomposera, ce qui est toujours possible, chaque puissance en deux autres, qui soient dans la direction de deux côtés contigus : de cette manière on trouvera que chaque côté de la courbe est tiré à chacune de ses extrémités en sens contraire, par deux puissances qui agissent suivant la direction de ce côté. Or pour qu'il y ait équilibre, il faut que les deux puissances soient égales : égalant donc ces deux puissances ensemble, on aura l'équation de la chaînette. Voyez un plus long détail dans les ouvrages cités. Il nous suffit ici d'avoir exposé le principe. Si une courbe est pressée en chaque point par une puissance qui soit perpendiculaire à la courbe, on trouvera par ce principe que pour qu'il y ait équilibre, il faut que chaque puissance soit en raison inverse du rayon de la développée de la courbe, au point où la puissance agit.

Plusieurs auteurs ont trouvé qu'une voute, pour être en équilibre, devait avoir la même figure que la chaînette. En effet, imaginons cette voute en équilibre, comme composée de petites sphères solides qui se touchent, et joignons les centres de ces sphères par des lignes droites ; imaginons ensuite que la direction de la pesanteur de ces sphères change tout-à-coup, et se fasse en sens contraire ; et que les sphères soient liées ensemble par des fils ou autrement, de manière qu'elles ne puissent pas obéir à l'impulsion verticale de la pesanteur : il est visible que l'équilibre ne sera point troublé, puisque des puissances qui sont en équilibre continuent d'y être, lorsque sans changer ces puissances, on ne fait que leur donner à toutes des directions contraires. Il est visible de plus que dans ce cas la voute deviendra une chaînette dont les pieds droits de la voute seront les points fixes, et qu'il n'y aura d'autre différence que dans le renversement de la figure : donc la courbe de la chaînette est la même que celle de la voute. Voyez VOUTE. (O)

* CHAINETTE se dit, chez les Bourreliers, d'une partie du harnais des chevaux de carrosse, qui consiste en une bande de cuir double, assez étroite, dont on joint les deux extrémités ensemble par une boucle. La chaînette se passe dans le poitrail, et est assujettie au timon : elle a trois usages, le premier est de servir à reculer le carrosse, le second est d'empêcher les chevaux de s'écarter du timon, et le troisième est de soutenir le timon. Voyez A, figure première du Bourrelier. Voyez HARNOIS, POITRAIL, TIMON.

* CHAINETTE, (point de) en terme de Brodeur, soit à l'aiguille, soit au métier, est une espèce d'ornement courant, qui forme une sorte de lac continu, et s'exécute de la manière suivante. 1°. Au métier (voyez Pl. du Chaînetier) : fichez votre aiguille de la main droite de dessous en-dessus en a ; arrêtez en-dessus avec les doigts de la main gauche une longueur quelconque a b du fil ; refichez votre aiguille dans le même point a de dessus en-dessous, et ramenez-la de dessous en-dessus au point c, entre les deux côtés et en-dedans de la boucle b a b, et vous aurez fait un premier point de chaînette au métier. Vous ferez le second précisément de la même manière. Arrêtez en-dessus avec les doigts de la main gauche, une portion b d du fil égale à la portion a b ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au point c ; ramenez-la de dessous en-dessus au point e, de manière que la distance c e soit égale à la distance a c, et que le point e soit entre les deux côtés et en-dedans de la boucle d c d, et vous aurez un second point de chaînette. Arrêtez avec les doigts de la main gauche une portion d f du fil égale à la portion b d ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au point e ; ramenez-la de dessous en-dessus au point g, de manière que la distance e g soit égale à la distance c e, et que le point g soit entre les deux côtés et en-dedans de la boucle f e f, et vous aurez un troisième point de chaînette ; et ainsi de suite.

2°. A l'aiguille. Le point de chaînette ne se fait guère autrement à l'aiguille. Tenez votre étoffe ou toîle de la main gauche ; fichez de la droite votre aiguille en a de dessous en-dessus ; arrêtez avec le pouce de la main gauche une portion a b du fil, et la tenez serrée contre l'étoffe ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous au même point a ; ramenez-la de dessous en-dessus au point c, entre les côtés et en-dedans de la boucle a b c d e, et vous aurez un premier point. Arrêtez avec le pouce contre votre étoffe une portion c e du fil ; fichez votre aiguille de dessus en-dessous, soit au point c, soit au point d, un peu au-dessus du point c, mais pareillement entre les côtés et en-dedans de la boucle a b c d a, et ramenez-la de dessous en-dessus au point f, de manière que c f soit égal à c a entre les côtés et en-dedans de la boucle c a f d, et ainsi de suite, vous aurez un second point, un troisième, etc.

Nous avons fait nos points très-grands dans la figure, afin qu'on conçut distinctement la manière dont ils s'exécutent ; mais en broderie ils sont très-petits. La beauté du point de chaînette, le seul presque qui se pratique dans la broderie en laine, consiste à faire ses boucles a b c b, c d e d, e f g f, etc. bien égales, et ni trop lâches ou grandes, ni trop serrées ou petites. Il faut proportionner son travail au dessein qu'on exécute, et à la matière qu'on emploie. Ce point se fait en laine, en soie, en fil, en fils d'argent et d'or, et on en conduit la suite à discrétion.

* CHAINETTE, en terme d'Eperonnier, se dit des petites chaînes qu'on place au nombre de deux dans le bas d'un mords pour en contenir les branches, et les empêcher de s'écarter l'une de l'autre. Voyez I, fig. 22. Planche de l'Eperonnier.

CHAINETTE, terme de Rubanier ; c'est une espèce de petit tissu de soie qu'on fait courir sur toute la tête de la frange. Voyez les dictionn. de Commerce et de Trévoux.

CHAINETTE