On suppose ordinairement que le crépuscule commence et finit, quand le soleil est à dix-huit degrés au-dessous de l'horizon. Il dure plus longtemps dans les solstices que dans les équinoxes, et dans la sphère oblique que dans la sphère droite. On en peut voir la raison dans les inst. astronom. de M. le Monnier, pag. 405. et suiv.
Les crépuscules sont causés par la réfraction que souffrent les rayons du soleil en passant par l'atmosphère, qui réfléchit ensuite ces rayons jusqu'à nos yeux. En effet supposons un observateur en O (Pl. astronomique, fig. 41.), dont l'horizon sensible soit A B, et que le soleil soit au dessous de l'horizon ; le rayon E T du soleil entre d'abord dans l'atmosphère en E, et devrait naturellement continuer sa route suivant E T, en s'éloignant de la terre. Or, comme les couches de l'atmosphère sont d'autant plus denses qu'elles sont plus proches de la terre, les rayons du soleil passent continuellement d'un milieu plus rare dans un plus dense ; ils doivent donc se rompre (voyez REFRACTION) en s'approchant toujours de la perpendiculaire, c'est-à-dire du demi-diamètre C E. Par conséquent ces rayons n'iront point en T, mais viendront toucher la terre en D, pour tomber ensuite sur A en un point de l'horizon sensible ; et de tous les rayons qui sont rompus en E, aucun ne peut arriver en A que le rayon A D. Or, comme les particules de l'atmosphère réfléchissent les rayons du soleil (voyez REFLEXION), et que l'angle D A C est égal à C A O, les rayons réfléchis en A viendront en O, lieu du spectateur ; ainsi le spectateur recevra quelques rayons, et par conséquent commencera à apercevoir la pointe du jour.
On peut expliquer de la même manière le crépuscule du soir par la réfraction et la réflexion des rayons du soleil.
L'abaissement du soleil sous l'horizon, au commencement du crépuscule du matin, ou à la fin du crépuscule du soir, se termine aisément ; savoir, en observant le moment où le jour commence à paraitre le matin, ou bien celui où il finit le soir ; et trouvant ensuite le lieu du soleil pour ce moment, et par conséquent la quantité dont il est abaissé au-dessous de l'horizon.
Alhazen la trouve de dix-neuf degrés, Tycho de dix-sept, Stevin de dix-huit, Cassini de quinze ; Riccioli le matin dans les équinoxes de 16d, le soir de 20d 30', le matin au solstice d'été de 21d 25', et le matin au solstice d'hiver de 17d 25'. Wolf, élements d'Astronomie.
On ne sera point étonné de la différence qui se trouve entre les calculs de tous ces astronomes, si on remarque que la cause du crépuscule est sujette aux changements. En effet, si les exhalaisons répandues dans l'atmosphère sont plus abondantes ou plus hautes qu'à l'ordinaire, le crépuscule du matin commencera plutôt, et celui du soir finira plus tard que de coutume ; car plus les exhalaisons seront abondantes, plus il y aura de rayons réfléchis, par conséquent plus la lumière sera grande ; et plus les exhalaisons seront hautes, plus elles seront éclairées de bonne heure par le soleil. A quoi on peut ajouter que quand l'air est plus dense, la réfraction est plus grande ; et que non-seulement la densité de l'atmosphère est variable, mais aussi sa hauteur par rapport à la terre. Cependant il parait qu'aujourd'hui les Astronomes conviennent assez généralement de prendre dix-huit degrés pour la quantité du moins moyenne de l'abaissement du soleil, à la fin ou au commencement du crépuscule.
De ce que nous venons de dire, il s'ensuit que quand la déclinaison du soleil et l'abaissement de l'équateur sous l'horizon, sont tels que le soleil ne descend pas de 18 degrés au-dessous de l'horizon, le crépuscule doit durer toute la nuit. C'est pour cela que dans nos climats au solstice d'été nous n'avons, pour ainsi dire, point de nuit, et que dans des climats plus septentrionaux il n'y en a point du tout, quoique le soleil soit sous l'horizon. C'est ce qui arrive quand la différence entre l'abaissement de l'équateur et la déclinaison boréale du soleil est plus petite que 18 degrés. Il suffit de faire la figure pour s'en convaincre.
L'élevation du pôle (fig. 42.) et la déclinaison du soleil étant donnés, trouver le commencement du crépuscule du matin et la fin du crépuscule du soir. Puisque dans le triangle P S Z, les trois côtés sont donnés : savoir, P Z complément de l'élevation du pôle P R, P S complément de la déclinaison, et S Z somme du quart de cercle Z D, et de l'abaissement D S du soleil, on trouvera l'angle Z P S. Voyez TRIANGLE. Ensuite on convertira en temps le nombre de degrés de cet angle, et l'on aura le temps qui doit s'écouler depuis le commencement du crépuscule du matin jusqu'à midi. Voyez TEMS.
Pour trouver le crépuscule par le moyen du globe artificiel, voyez GLOBE.
Le crépuscule est un des principaux avantages que nous retirons de notre atmosphère ; en effet, si nous n'avions point d'atmosphère autour de nous, la nuit viendrait dès que le soleil se cacherait sous notre horizon, ou le jour naitrait dès que le soleil reparaitrait, et nous passerions ainsi tout d'un coup des ténèbres à la lumière et de la lumière aux ténèbres. L'atmosphère dont nous sommes environnés fait que le jour et la nuit ne viennent que par des degrés insensibles.
Kepler a prétendu expliquer les crépuscules par le moyen d'une matière lumineuse répandue autour du soleil, qui s'élevant près de l'horizon en forme de cercle, forme, selon lui, le crépuscule ; cette matière peut bien y entrer pour quelque chose, mais le crépuscule qui en provient parait d'une bien moindre durée que celui qui est causé par notre atmosphère, lequel ne finit que quand le soleil est à environ 18 degrés au-dessous de l'horizon. Il y a apparence que cette matière qui est autour du soleil est ce qui produit la lumière zodiacale. Voyez LUMIERE ZODIACALE et AURORE BOREALE.
Les crépuscules d'hiver sont moins longs que ceux d'été ; parce qu'en hiver l'air étant plus condensé doit avoir moins de hauteur, et par conséquent les crépuscules finissent plutôt ; c'est le contraire en été. De plus les crépuscules du matin sont plus courts que ceux du soir ; car l'air est plus dense et plus bas le matin que le soir, parce que la chaleur du jour le dilate et le raréfie, et par conséquent augmente son volume et sa hauteur. Le commencement du crépuscule arrive lorsque les étoiles de la sixième grandeur disparaissent le matin ; mais il finit quand elles commencent à paraitre sur le soir, la lumière du soleil dont l'air est pénétré étant le seul obstacle qui les empêchait de paraitre. En été vers les solstices, le crépuscule s'est trouvé quelquefois durer trois heures quatre minutes, et celui du soir presque la moitié de la nuit. Voyez inst. astron. de M. le Monnier.
De tout ce que nous avons dit, il s'ensuit que le commencement du crépuscule du matin ou la sin de celui du soir étant donnés, on trouvera facilement l'élevation de l'air qui réfléchit la lumière. Car la sin du crépuscule arrive lorsque les rayons S D (fig. 41.) qui partent du soleil, rasent la terre et se réfléchissent vers l'oeil de l'observateur par les parties les plus élevées A de l'atmosphère ; de sorte que menant du point O un rayon O A tangent de la terre, qui soit réfléchi en A D, et qui rase la terre en D, il faut que la hauteur A N de l'atmosphère soit telle, que ce rayon A D fasse avec l'horizon A B un angle de 18 degrés ; parce que le crépuscule commence ou finit lorsque le soleil est à 18 degrés au dessous de l'horizon. M. de la Hire a fait ce calcul dans les mémoires de l'académie des Sciences de Paris pour l'année 1713, en ayant égard à quelques autres circonstances dont nous ne faisons point mention ici, et qu'on peut voir dans son mémoire et dans les inst. astron. pag. 403 ; il a trouvé la hauteur A N de l'atmosphère d'environ 15 1/3 lieues.
Dans la sphère droite, c'est-à-dire pour les habitants de l'équateur, les crépuscules sont plus courts que par-tout ailleurs, parce que le soleil descend perpendiculairement au-dessous de l'horizon, et que par conséquent il est moins de temps à s'abaisser sous l'horizon de la valeur de 18 degrés. Plus on s'éloigne de l'équateur, plus les crépuscules sont longs ; et enfin proche des pôles ils doivent être de plusieurs mois.
Il y a pour chaque endroit du monde un jour dans l'année où le crépuscule est le plus court qu'il est possible. On trouve dans l'analyse des infiniment petits à la fin de la troisième section, un problème où il s'agit de trouver ce jour du plus petit crépuscule, l'élevation du pôle étant donnée. On trouve aussi une solution de la même question dans les inst. astr. de M. le Monnier, pag. 407. Ce problème est résolu très-élégamment dans les deux ouvrages, et ne présente aucune difficulté considérable ; cependant M. Jean Bernouilli dit dans le recueil de ses œuvres, tome I. page 64. qu'il en a été occupé cinq ans sans en pouvoir venir à bout. Cela vient apparemment de ce qu'il avait d'abord résolu le problème analytiquement, au lieu d'employer l'espèce de synthèse qu'on trouve dans l'analyse des infiniment petits et dans les inst. astr. synthèse qui rend la solution bien plus simple. En effet, si on résoud ce problème analytiquement, on tombe dans une équation du quatrième degré, dont il faut d'abord trouver les quatre racines, et ensuite déterminer celle ou celles de ces racines qui résolvent la question. Comme cette matière n'a été traitée dans aucun ouvrage, que je sache, avec assez de détail, je vais la développer ici suivant le plan que je me suis fait d'éclaircir dans l'Encyclopédie ce qu'on ne trouve point suffisamment expliqué ailleurs.
Sait (fig. 41. n°. 2. astron.) P le pôle, Z le zenith, H O l'horizon, E C le rayon de l'équateur, E e la déclinaison cherchée du soleil le jour du plus petit crépuscule ; h o le cercle crépusculaire parallèle à l'horizon, lequel cercle est abaissé au-dessous de l'horizon de 18 degrés, suivant les observations. Sait l'inconnue C c sinus de la déclinaison du soleil = s, et soient les données C Z = 1, C Q sinus de 18 degrés = k, P N sinus de la hauteur du pôle = h, on trouvera c T = ; T S = ; et par conséquent c S = ; or c e ou , s étant prise pour sinus total, c S est le sinus de l'angle horaire depuis le moment de six heures jusqu'à la fin du crépuscule, et c T le sinus de l'angle horaire depuis le moment de six heures jusqu'à l'instant où le soleil atteint l'horizon. Donc est le sinus du premier angle, et est le sinus du 2d ; or la différence de ces deux angles est proportionnelle au temps du crépuscule. Donc nommant le premier sinus u, et le second u', on aura - un minimum, et par conséquent = ; substituant pour u et u' leurs valeurs, en ne faisant varier que s, on parviendra à une équation de cette forme - = 0 ; c'est-à-dire s4 + (2 h s3)/ k - s s + s s h h - (2 h s)/k - h h = 0.
Cette équation peut être regardée comme le produit de ces deux-ci s s - 1 = 0 ; s s + (2 h s)/k + h h = 0 (Voyez EQUATION ; d'où l'on tire les quatre valeurs suivantes de s ; s = 1, s = - 1 ; s = - h/k + = - h/k + h/k et s = - h/k - h/k . Or de ces quatre valeurs, il est d'abord évident qu'il faut rejeter les deux premières ; car l'une donnerait la déclinaison boréale du soleil = 1, l'autre la déclinaison australe = 1, et cela ne se peut pour deux raisons : 1° parce que la déclinaison du soleil n'est jamais égale à 90 degrés : 2°. parce que s = 1, donnerait les sinus des deux angles horaires égaux à l'infini, comme il est aisé de le voir : ce qui ne se peut ; car tout sinus réel d'un angle réel ne saurait être plus grand que l'unité. Il ne reste donc que les deux valeurs - et - . J'examine d'abord la seconde de ces deux valeurs, et je vois qu'elle est négative, ce qui indique que la déclinaison donnée par cette valeur est australe et non boréale, comme nous l'avons supposé dans la solution.
D'ailleurs il faut que soit plus petit que le sinus total, et jamais plus grand que le sinus e de 23d 1/2, qui est la plus grande déclinaison du soleil ; ce qui donne h + h < ou = k e, et par conséquent h = ou < ; de plus si on cherche la tangente de la moitié de l'angle dont le sinus est k, c'est-à-dire de la moitié de l'arc crépusculaire de 18 degrés, et par conséquent la tangente de neuf degrés, on trouvera que cette tangente est ; car 1°. la tangente de l'angle dont le sinus est k, est (voyez TANGENTE) ; 2°. si on divise cet angle en deux parties égales, et qu'on nomme x la tangente de la moitié de l'angle, on aura cette proportion x : - x : : 1 : ; car on sait que dans un triangle dont l'angle du sommet est divisé en deux parties égales, les parties de la base sont comme les côtés adjacens. Donc x = donc au lieu de s = - h on peut mettre s = - h/x ; donc on dira, comme la tangente x de neuf degrés est au sinus de l'élevation du pôle, ainsi le sinus total est au sinus de la déclinaison australe. Il faut donc pour que s soit = h/x, que l'élevation du pôle soit très-petite, puisque x est déjà une quantité très-petite, et que h/x ne saurait être > e ; ainsi cette racine s = - h/x ne servira de rien dans les cas où + h/x sera > e. Nous verrons dans la suite ce qu'elle indique lorsque h/x est < e.
A l'égard de l'autre valeur s = - , elle est évidemment négative aussi, puisque 1 est > ; ce qui donne encore la déclinaison du soleil australe ; et comme on a = (ce qui est aisé de voir en multipliant en croix les deux membres) il s'ensuit que cette seconde valeur est = - h x ; donc on dira, comme le rayon est à la tangente de neuf degrés, ainsi le sinus de la hauteur du pôle est à la déclinaison australe cherchée : c'est l'analogie que M. Jean Bernoulli et M. de l'Hopital ont donnée pour la solution de ce problème ; et la racine s = - h x résout par conséquent la question, parce que h x est toujours plus petit que e ; car la tangente x de 9 degrés est plus petite que le sinus e de 23d 1/2. Mais l'autre racine s = - h/x résout-elle aussi le problème ? Voilà où est la difficulté.
Pour la résoudre, nous n'avons qu'à supposer dans la solution primitive que la déclinaison soit australe au lieu d'être boréale, et faire le calcul comme dessus, nous trouverons . pour le sinus d'un des angles horaires, et pour l'autre ; nous verrons de plus que c'est alors la somme de ces angles, et non leur différence, qui est le temps du crépuscule, comme il est aisé de le prouver en considérant la figure, le point e se trouvant de l'autre côté de E ; car le point c se trouvera alors entre les points T et S, et T S sera égale, non à la différence, mais à la somme de c S et de c T. Achevant donc le calcul, on trouvera une équation qui ne différera de l'équation du quatrième degré en s trouvée ci-dessus, que par les signes des termes impairs, c'est-à-dire des termes où sont s3 et s. Cette équation sera le produit de s s - 1 par s s - (2 h s)/k + h h, et l'on aura deux valeurs positives de s, savoir s =
Enfin, si on suppose s4 - (2 h s3)/ k etc. > 0, et s > , on trouvera que ces conditions donnent - s4 + (2 h s3)/ k etc. < 0,& par conséquent (à cause que h - s k est ici positif) (h - s k) < h et h + (s k - h) > 0 ; donc la différence de la somme des deux arcs est = 0, lorsque s = ; et est positive, lorsque s est plus grand. Donc cette somme est un véritable minimum, lorsque s = , et par conséquent cette valeur de s est la seule qui résolve véritablement le problème du plus court crépuscule : je dis du plus court, et non pas du plus long. Car l'équation du plus long crépuscule serait la même que celle du plus court, en faisant la différente = 0 ; parce que la règle pour les maxima et pour les minima est la même ; ainsi il pouvait encore rester ici de l'équivoque ; mais elle est levée entièrement, lorsque l'on considère que s > h/k - h donne la différence positive, ce qui indique le minimum. Si - k k/k la différence était négative, alors le temps du crépuscule serait un maximum. Mais, dira-t-on, quel sera le jour du plus long crépuscule ? Car il y en aura un. Je réponds que le plus long crépuscule ne se trouve pas en faisant la différence de la somme des arcs égale à zéro, mais en prenant le crépuscule du jour de la plus grande déclinaison boréale du soleil, et celui du jour de la plus grande déclinaison australe, et en cherchant lequel de ces deux crépuscules est le plus grand. Car il n'y a qu'un seul crépuscule qui soit le plus court, puisqu'il n'y a qu'une valeur de s pour le plus court crépuscule ; donc c'est un des deux crépuscules extrêmes qui est le plus long. V. sur tout cela les art. MAXIMUM et MINIMUM, où nous ferons plusieurs remarques sur les quantités plus grandes et plus petites.
M. de Maupertuis dans la première édition de son Astronomie nautique, s'est proposé la même question que nous venons de discuter ; il l'a résolue en très-grande partie, et nous devons ici lui en faire honneur ; cependant il y restait encore quelque chose à discuter ; et c'est apparemment pour cette raison qu'il a supprimé cette solution dans la seconde édition de son ouvrage, pour n'être pas obligé, en la donnant tout au long, d'entrer dans un détail que son plan ne comportait pas. Nous avons tâché d'y suppléer ici, et de remplir un objet que M. de Maupertuis aurait sans-doute rempli aisément lui-même, s'il l'avait jugé à propos. (O)