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Catégorie : Astronomie
adj. (Géométrie et Astronomie) se dit en général de tout ce qui a rapport à la sphère, ou qui lui appartient. Un angle sphérique est l'inclinaison mutuelle de deux plans qui coupent une sphère. Voyez PLAN et ANGLE.

Ainsi l'inclinaison des deux plans C A F et C E F, Pl. de Trigonométrie, fig. 21. forme l'angle sphérique A C E. Voyez SPHERE.

La mesure d'un angle sphérique A C E est un arc de grand cercle A E, décrit du sommet C, comme pôle, et compris entre les côtés C A et C E.

D'où il s'ensuit que puisque l'inclinaison du plan C E F au plan C A F est par-tout la même, les angles qui sont aux intersections opposées C et F sont égaux.

Si un cercle de la sphère A E B F coupe un autre cercle C E D F, fig. 19. les angles adjacens A E C et A E D sont égaux à deux droits ; et les angles opposés A E C et D E B sont égaux entr'eux. Ainsi tous les angles sphériques comme A E C, A E D, D E B, BEC, etc. faits autour du même point E, sont égaux pris ensemble à quatre angles droits.

Un triangle sphérique est un triangle compris entre trois arcs de grands cercles d'une sphère qui se coupent l'un l'autre. Voyez TRIANGLE.

Propriétés des triangles sphériques. 1°. Si dans deux triangles sphériques, Pl. de Trigonomét. fig. 10. et 11. A B C et abc, l'angle A = a, B A = b a, et C A = c a ; les angles B b, et les côtés qui renferment les angles, seront respectivement égaux ; et par conséquent les triangles entiers seront égaux ; c'est-à-dire B C = b c, B = b, et C = c.

De plus, si dans deux triangles sphériques A = a, C = c, et A C = a c, alors B = b, A B = a b, et b c = B C. Enfin si dans deux triangles sphériques A B = a b, A C = a c, et B C = b c ; donc A sera égal a, B = b et C = c : les démonstrations de ces propriétés sont les mêmes que celles des propriétés semblables qui se rencontrent dans les triangles plans ; car les propositions sur l'égalité des triangles rectilignes s'étendent à tous les autres, etc. pourvu que leurs côtés soient semblables. Voyez TRIANGLE sphérique isocele.

2°. Dans un triangle A B C, fig. 11. les angles à la base B et C sont égaux ; et si dans un triangle sphérique les angles B et C à la base B C sont égaux, le triangle est isocele.

3°. Dans tout triangle sphérique chaque côté est moindre qu'un demi-cercle ; deux côtés quelconques pris ensemble sont plus grands que le troisième ; tous les trois côtés pris ensemble sont moindres que la circonférence d'un grand cercle, le plus grand côté est toujours opposé au plus grand angle, et le moindre côté au moindre angle.

4°. Si dans un triangle sphérique B A C, fig. 13. deux côtés A B et B C pris ensemble sont égaux à un demi-cercle, la base A C étant continuée en D, l'angle externe B C D sera égal à l'angle interne opposé B A C.

Si deux côtés pris ensemble sont moindres ou plus grands qu'un demi-cercle, l'angle externe B C D sera moindre ou plus grand que l'angle interne opposé A, et la converse de toutes ces propositions est vraie ; savoir, si l'angle B C D est égal ou plus grand, ou moindre que A, les côtés A B et B C sont égaux, ou plus grands, ou moindres qu'un demi-cercle.

5°. Si dans un triangle sphérique A B C, fig. 12. deux côtés A B et B C sont égaux à un demi-cercle, les angles à la base A et C sont égaux à deux angles droits ; si les côtés sont plus grands qu'un demi-cercle, les angles sont plus grands que deux droits ; et si les côtés sont moindres, les angles sont moindres, et réciproquement.

6°. Dans tout triangle sphérique chaque angle est moindre que deux droits ; et les trois ensemble sont moindres que six angles droits, et plus grands que deux.

7°. Si dans un triangle sphérique B A C, les côtés A B et B C sont des quarts de cercle, les angles à la base B et C seront des angles droits ; si l'angle A compris entre les côtés A B et A C est un angle droit, B C sera un quart de cercle ; si A est un angle obtus, B C sera plus grand qu'un quart de cercle ; et s'il est aigu, B C sera moindre, et réciproquement.

8°. Si dans un triangle sphérique rectangle, le côté B C, fig. 14. adjacent à l'angle droit B, est un quart de cercle, l'angle A sera un angle droit ; si B E est plus grand qu'un quart de cercle, l'angle A sera obtus ; et si B D est moindre qu'un quart de cercle, l'angle A sera aigu, et réciproquement.

9°. Si dans un triangle sphérique rectangle chaque côté est plus grand ou plus petit qu'un quart de cercle, l'hypothénuse sera moindre qu'un quart de cercle, et réciproquement.

10°. Si dans un triangle sphérique A B C, fig. 15. rectangle seulement en B, un côté C B est plus grand qu'un quart de cercle, et l'autre côté A B moindre, l'hypothénuse A B sera plus grande qu'un quart de cercle, et réciproquement.

11°. Si dans un triangle sphérique obliquangle ABC, fig. 16. les deux angles à la base A et B, sont obtus ou aigus, la perpendiculaire C D qu'on laissera tomber du troisième angle C sur le côté opposé A B, tombera dans le triangle ; si l'un d'eux A est obtus, et l'autre B aigu, la perpendiculaire tombera hors du triangle.

12°. Si dans un triangle sphérique A B C tous les angles A, B, et C sont aigus, les côtés sont chacun moindres qu'un quart de cercle. Ainsi, si dans un triangle sphérique obliquangle un côté est plus grand qu'un quart de cercle, il y a un angle obtus, savoir celui qui est opposé à ce côté.

13°. Si dans un triangle sphérique A C B, deux angles A et B sont obtus, et le troisième C aigu, les côtés A C et C B opposés aux côtés obtus sont plus grands qu'un quart de cercle ; ainsi si les deux côtés sont moindres qu'un quart de cercle, les deux angles sont aigus.

14°. Si dans un triangle sphérique tous les côtés sont plus grands qu'un quart de cercle, ou - bien s'il y en a deux plus grands, et un qui soit égal à un quart de cercle, tous les angles sont obtus.

15°. Si dans un triangle sphérique obliquangle deux côtés sont moindres qu'un quart de cercle, et le troisième plus grand, l'angle opposé au plus grand sera obtus et les autres aigus. Wolf et Chambers.

Sur la résolution des triangles sphériques, voyez TRIANGLE.

Les propriétés des triangles sphériques sont démontrées avec beaucoup d'élégance et de simplicité dans un petit traité qui est imprimé à la fin de l'introductio ad veram Astronomiam, de M. Keill. M. Deparcieux, de l'académie royale des Sciences de Paris et de celle de Berlin, a donné au public en 1741, un traité de Trigonométrie sphérique, in -4°. imprimé à Paris chez Guérin ; l'auteur démontre dans cet ouvrage les propriétés des triangles sphériques, en regardant leurs angles comme les angles formés par les plans qui se coupent au centre de la sphère, et les côtés des triangles sphériques comme les angles que forment entr'elles les lignes tirées du centre de la sphère aux extrémités du triangle ; c'est - à - dire qu'il substitue aux triangles sphériques des pyramides qui ont leur sommet au centre de la sphère. L'académie royale des Sciences ayant fait examiner cet ouvrage par des commissaires qu'elle nomma à cet effet, a jugé que quoique l'idée de M. Déparcieux ne soit pas absolument nouvelle, et qu'elle l'ait obligé de charger quelques-unes de ses démonstrations d'un assez grand détail, elle lui avait donné moyen d'en éclaircir et d'en simplifier un plus grand nombre d'autres, et que cet ouvrage ne pouvait manquer d'être fort utile. (O)

L'astronomie sphérique est la partie de l'Astronomie qui considère l'univers dans l'état où l'oeil l'aperçoit. Voyez ASTRONOMIE.

L'astronomie sphérique comprend tous les phénomènes et les apparences des cieux et des corps célestes, telles que nous les apercevons, sans en chercher les raisons et la théorie. En quoi elle est distinguée d'avec l'astronomie théorique, qui considère la structure réelle de l'univers, et les causes de ses phénomènes.

Dans l'astronomie sphérique on conçoit le monde comme une surface sphérique concave, au centre de laquelle est la terre, autour de laquelle le monde visible tourne avec les étoiles et les planètes, qui sont regardées comme attachées à sa circonférence ; et c'est sur cette supposition qu'on détermine tous les autres phénomènes.

L'astronomie théorique nous apprend par les lois de l'optique, etc. à corriger ces apparences, et à réduire le tout à un système plus exact.

Compas sphérique, voyez COMPAS.

Géométrie sphérique est la doctrine de la sphère et particulièrement des cercles qui sont décrits sur sa surface, avec la méthode de les tracer sur un plan, et d'en mesurer les arcs et les angles quand on les a tracés.

La Trigonométrie sphérique est l'art de résoudre les triangles sphériques, c'est-à-dire, trois choses étant données dans un triangle sphérique, trouver tout le reste : par exemple, deux côtés et un angle étant donnés, trouver les deux autres angles, et le troisième côté. Voyez TRIANGLE et TRIGONOMETRIE. Chambers.

SPHERIQUES, (Géométrie) c'est proprement la doctrine des propriétés de la sphère, considérée comme un corps géométrique, et particulièrement des différents cercles qui sont décrits sur sa surface. Voyez SPHERE.

C'est sur cette matière que le mathématicien Théodose a écrit les livres qui nous restent encore de lui, et qu'on appelle les sphériques de Théodose.

Voici les principales propositions, ou les principaux théorèmes des sphériques.

1°. Si on coupe une sphère de quelque manière que ce sait, le plan de la section sera un cercle dont le centre est dans un diamètre de la sphère.

D'où il suit, 1°. que le diamètre H I (Planche de Trigonom. fig. 17.) d'un cercle qui passe par le centre C, est égal au diamètre A B du cercle générateur de la sphère, et le diamètre d'un cercle, comme F E, qui ne passe pas le centre, est égal à quelque corde du cercle générateur.

2°. Que comme le diamètre est la plus grande de toutes les cordes, un cercle qui passe par le centre est un grand cercle de la sphère, et tous les autres sont plus petits.

3°. Que tous les grands cercles de la sphère sont égaux les uns aux autres.

4°. Que si un grand cercle de la sphère passe par quelque point donné de la sphère, comme A ; il doit passer aussi par le point diamétralement opposé, comme B.

5°. Que si deux grands cercles se coupent mutuellement l'un l'autre, la ligne de section est un diamètre de la sphère ; et que par conséquent deux grands cercles se coupent l'un l'autre dans des points diamétralement opposés.

6°. Qu'un grand cercle de la sphère la divise en deux parties, ou hémisphères égaux.

2°. Tous les grands cercles de la sphère se coupent l'un l'autre en deux parties égales et réciproquement tous les cercles qui se coupent en deux parties égales, sont de grands cercles de la sphère.

3°. Un arc d'un grand cercle de la sphère compris entre un autre arc, H I L (fig. 18.) et ses pôles A et B, est un quart de cercle.

Celui qui est compris entre un moindre cercle D E F, et un de ses pôles A, est plus grand qu'un quart de cercle ; et celui qui est compris entre le même, et l'autre pôle B, est plus petit qu'un quart de cercle.

4°. Si un grand cercle d'une sphère passe par les pôles d'un autre, cet autre passe par les pôles de celui-ci ; et si un grand cercle passe par les pôles d'un autre, ils se coupent l'un l'autre à angles droits, et réciproquement.

5°. Si un grand cercle A F B D passe par les pôles A et B d'un plus petit cercle D E F, il le divise en parties égales, et le coupe à angles droits.

6°. Si deux grands cercles A E B F, et C E D F, (fig. 19.) se coupent l'un l'autre aux pôles E et F, d'un autre grand cercle A C B D, cet autre passera par les pôles H et h, I et i des cercles A E B F, et C E D F.

7°. Si deux grands cercles A E B F, et C E D F, en coupent chacun un autre mutuellement, l'angle d'obliquitté A E E sera égal à la distance des pôles H I.

8°. Tous cercles de la sphère, comme G E, et L K, (fig. 20.) également distants de son centre C, sont égaux : et plus ils sont éloignés du centre, plus ils sont petits ; ainsi, comme de toutes les cordes parallèles il n'y en a que deux qui soient également éloignées du centre, de tous les cercles parallèles au même grand cercle, il n'y en a que deux qui soient égaux.

9°. Si les arcs E H et K H, G I et I L, compris entre un grand cercle I H M, et les cercles plus petits G N E, et L O K sont égaux, les cercles sont égaux.

10°. Si les arcs E H et G I, du même grand cercle A I B H, compris entre deux cercles G N E, et I M H, sont égaux, les cercles sont parallèles.

11°. Un arc d'un cercle parallèle I G, (fig. 21.) est semblable à un arc d'un grand cercle A E, si chacun d'eux est compris entre les mêmes grands cercles C A F, et C E F.

Ainsi, les arcs A E et I G, ont la même raison à leur circonférence ; et par conséquent contiennent le même nombre de degrés ; et l'arc I G, est plus petit que l'arc A E.

12°. L'arc d'un grand cercle est la ligne la plus courte qu'on puisse tirer d'un point de la surface d'une sphère à un autre point de la même surface.

De-là il s'ensuit que la vraie distance de deux lieux sur la surface de la terre, est un arc d'un grand cercle compris entre ces lieux. Voyez NAVIGATION et CARTE. Wolf et Chambers. (E)




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