S. f. en Chronologie, est proprement l'excès du mois solaire sur le mois synodique lunaire, ou de l'année solaire sur l'année lunaire de douze mois synodiques, ou de plusieurs mois solaires sur autant de mois synodiques, et de plusieurs années solaires sur autant de douzaines de mois synodiques.

Les épactes sont donc ou annuelles, ou menstruelles. Les épactes menstruelles sont les excès du mois civil, ou du mois du calendrier sur le mois lunaire. Voyez MOIS.

Supposons par exemple qu'il y ait nouvelle Lune le premier de Janvier ; puisque le mois lunaire est de 29j 12h 44' 3", et que le mois de Janvier contient 31j, l'épacte menstruelle est donc de 1j 11h 15' 57".

Les épactes annuelles sont l'excès de l'année solaire sur la lunaire. Voyez AN.

Ainsi comme l'année julienne est de 365j 6h, et que l'année lunaire est de 354j 8h 48' 38", l'épacte annuelle est de 10j 21h 11' 22", c'est-à-dire de près de 11j ; et par conséquent l'épacte de deux ans sera de 22j ; celle de trois ans de 33j, ou plutôt de trois, puisque trente jours font un mois embolismique ou intercalaire. Voyez EMBOLISMIQUE. Par la même raison l'épacte de quatre ans sera de 14j, et ainsi des autres ; et par conséquent l'épacte de chaque dix-neuvième année deviendra trente ou zéro. D'où il s'ensuit que la vingtième épacte sera encore 11, et qu'ainsi le cycle des épactes expire avec le nombre d'or, ou le cycle lunaire de dix-neuf ans, et recommence encore dans le même temps, comme on le voit dans la table suivante.

De plus comme les mois lunaires reviennent les mêmes tous les 19 ans, c'est-à-dire qu'après cette période ils recommencent aux mêmes jours ; de même la différence entre l'année lunaire et l'année solaire, revient la même après dix-neuf ans ; et comme il faut toujours ajouter cette différence à l'année lunaire, pour la concilier avec l'année solaire, ou la rendre égale à l'année solaire, on appelle ces différences, qui appartiennent respectivement à chaque année du cycle lunaire, épacte annuelle, ou simplement épacte. Ainsi le mot épacte signifie, dans l'usage ordinaire, le nombre qu'il faut ajouter à l'année lunaire, pour la faire correspondre à la solaire.

C'est sur ce rapport mutuel entre le cycle de la Lune et le cycle des épactes, qu'est fondée la règle qui enseigne à trouver l'épacte convenable à une année quelconque du cycle lunaire ; elle consiste à multiplier l'année donnée du cycle lunaire par onze ; et si le produit est moindre que 30, il indique lui-même l'épacte cherchée ; s'il est plus grand que trente, il faudra le diviser par 30, et ce qui reste après la division sera l'épacte. Par exemple je veux connaître l'épacte de l'année 1712 : comme c'est la troisième année du cycle lunaire, il s'ensuit de-là que 3 est l'épacte de cette même année 1712 ; car 11 x 3 = 33 ; et 33 étant divisé par 30, on trouve 3 pour reste de la division, c'est-à-dire pour l'épacte. Il faut remarquer qu'il s'agit ici de l'épacte julienne, le nombre 3, qui multiplie 11 dans le calcul précédent, indique que l'année 1712 est la troisième du cycle lunaire : or nous avons Ve ci-dessus que la première année du cycle lunaire a 11 d'épacte, la seconde 22 ou 2 fois 11, la troisième 33 ou 3 fois 11, et ainsi de suite. Nous enseignerons plus bas à trouver l'épacte grégorienne. Voyez CYCLE.

On peut trouver par le moyen de l'épacte à quel jour d'un mois et d'une année donnée, doit tomber la nouvelle Lune ; on en vient à-bout en cette sorte. On ajoute l'épacte de l'année donnée au nombre de mois, à compter depuis Mars inclusivement ; si la somme est moindre que trente, il faudra la soustraire de 30 ; si elle est plus grande, il la faudra soustraire de 60, et le reste marquera dans les deux cas le jour de la nouvelle Lune.

Si on cherche la nouvelle Lune pour les mois de Janvier et de Mars, alors il ne faudra rien ajouter à l'épacte ; si c'est pour Fevrier ou Avril, il ne faudra ajouter que l'unité.

Par exemple je veux connaître à quel jour de Décembre est tombée la nouvelle Lune en l'année 1711, dont l'épacte était 22 ; je trouve par les règles précédentes que ce doit avoir été le 28 Decembre, car 22 + 10 = 32, et 60 - 32 = 28. Voyez LUNE.

La raison de cette pratique est évidente. L'épacte étant 22 par l'hypothèse, la Lune a 22 jours au premier de Mars, à-peu-près 23 au premier d'Avril, 24 au premier de Mai, etc. car puisque l'épacte croit de 11 jours par an, on peut supposer qu'elle croit à-peu-près d'un jour par mois depuis Mars jusqu'en Décembre. Donc au premier Decembre la Lune a 32 jours, c'est-à-dire la nouvelle Lune a 2 jours. Donc pour avoir la nouvelle Lune de Decembre, il faut de 30 ôter 2, ou ce qui est la même chose, 32 de 60.

Ayant ainsi trouvé le jour auquel tombe la nouvelle Lune, il est aisé de conclure de-là quel est l'âge de la Lune pour un jour donné. Voyez LUNE et AGE.

Il y a d'ailleurs pour cela une autre règle particulière, et que voici.

Il faut ajouter ensemble l'épacte de l'année, le nombre de mois depuis Mars inclusivement, et le jour donné dans le mois. Si le total est moins que 30, il marquera l'âge de la Lune ; s'il est plus grand que 30, il faudra le diviser par 30, et le reste de la division montrera l'âge de la Lune, c'est-à-dire combien il s'est écoulé de jours depuis la nouvelle Lune. Cette méthode ne peut jamais être sujette à un seul jour d'erreur.

Par exemple si l'on demande quel était l'âge de la Lune le 31 Decembre de l'année 1711, on trouvera par cette règle que la Lune avait trois jours, c'est-à-dire qu'il s'était écoulé trois jours depuis la nouvelle Lune ; car 22 + 10 + 31 = 63, et 63 étant divisé par 30, il reste 3 ; ce qui convient exactement avec la règle précédente, par laquelle on a trouvé que la nouvelle Lune était arrivée la même année le 28 Decembre.

On peut encore abréger cette pratique par le moyen d'une table, où l'on marquera les épactes, et qui fera voir tout d'un coup le jour de la nouvelle Lune. Voici comment cette table est formée. On écrit de suite tous les mois, chacun avec le nombre des jours qu'ils contiennent ; on met au premier Janvier le nombre 30 ou *, au second du même mois le nombre 29, au troisième le nombre 28, et ainsi de suite jusqu'à 1 inclusivement : après quoi on recommence le même ordre, et on forme de cette manière une suite de douze mois lunaires et de quelques jours, avec cette précaution qu'on met les nombres 25 et 24 au même jour dans les mois pairs lunaires.

La raison de cette pratique est que les mois lunaires sont alternativement de 30 et de 29 jours. Par le moyen de cette table, on trouvera facilement la nouvelle Lune de chaque mois ; car il n'y aura qu'à chercher le jour du mois auquel est jointe l'épacte de l'année proposée. Cependant il y a encore une précaution à prendre ; car il faut distinguer entre l'épacte julienne et la grégorienne : la différence de ces deux épactes vient de ce que l'année julienne commence plus tard que l'année grégorienne de 11 jours ; c'est pourquoi après avoir trouvé, comme nous l'avons enseigné, l'épacte julienne, on ôtera 11 de cette épacte, qu'on augmentera de 30 jours s'il est nécessaire, et on aura l'épacte grégorienne. Ainsi on trouvera que l'épacte grégorienne de 1712 est 22 ; et les nouvelles Lunes dans l'année 1712, nouveau style, se trouveront 11 jours plus tard dans chaque mois, que dans l'année julienne, comme cela doit être en effet. Nous ne mettrons point ici cette table, qu'on peut voir dans un grand nombre d'ouvrages, entre autres dans les éléments de Chronologie de Wolf, dans le traité du calendrier de M. Rivard, etc.

Il se trouve par un hasard heureux, que le nombre des jours dont l'année grégorienne différe de l'année julienne, est précisément le même que le nombre des jours dont l'année solaire surpasse l'année lunaire : car il arrive par-là que l'épacte grégorienne pour une année, est la même que l'épacte julienne de l'année précédente.

Il faut observer que comme le cycle de dix-neuf années anticipe sur les nouvelles Lunes d'un jour en 312 ans, de même aussi le cycle des épactes n'a pas toujours lieu, la proemptose diminuant les différentes épactes d'un jour en 312. ans. Voyez PROEMPTOSE.

Il faut donc pour avoir les épactes, diminuer alors d'une unité celles qu'on devrait avoir par la règle ci-dessus. Ainsi l'épacte que donne alors le calendrier n'est pas exacte, de sorte que si elle est 22 suivant le calendrier, il faudra prendre 21, parce que la nouvelle Lune au lieu de tomber au jour du mois où est marqué 22, tombe au jour précédent ; c'est pourquoi au bout de ce temps l'ordre des épactes change, et au bout de 312 autres années il change encore, et ainsi de suite. Une autre raison qui fait changer le cycle des épactes dans le calendrier grégorien, c'est que sur quatre années séculaires, il y en a trois qui ne sont point bissextiles ; de sorte que ces années-là les nouvelles Lunes au lieu de tomber au jour marqué dans le calendrier, tombent le jour d'après : car si le 10 de Mars, par exemple, il doit y avoir nouvelle Lune, en supposant l'année augmentée d'un jour, cette nouvelle Lune ne tombera que le 11, en supposant que cette année ne soit point ainsi augmentée. Voyez METEMPTOSE. On a donc été obligé de former deux autres tables pour les épactes, dont nous allons tâcher de donner une idée.

Voici comment on construit la première. On écrit d'abord horizontalement, les uns à côté des autres, tous les nombres d'or successifs, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1, 2 ; ensuite sous le premier chiffre 3, on écrit dans une colonne verticale les chiffres 30 ou *, 29, 28, 27, etc. jusqu'à 1 inclusivement ; puis à côté de chacun de ces chiffres on écrit horizontalement, sous les chiffres des nombres d'or, les chiffres des épactes, en supposant que la première épacte soit le nombre qui est le plus à gauche dans chaque rangée horizontale : ainsi à côté de 30 ou de *, on écrit les épactes 11, 22, 3, 14, etc. à côté de 29 on écrit les épactes 10, 21, 2, 13. etc. et ainsi de suite. On peut voir cette table dans les éléments de Chronologie de Wolf dejà cités.

Outre cette table, on en forme une seconde par le moyen de laquelle on voit quel doit être le cycle des épactes pour chaque siècle ; et cette table se voit encore dans les éléments de Chronologie de Wolf : ainsi on voit que le cycle des épactes pour le siècle où nous sommes est 22, 3, 14, etc. c'est-à-dire que l'année dont le nombre d'or est 3, a pour épacte grégorienne 22, que l'année suivante a pour épacte grégorienne 3, etc. Ce même ordre durera dans le siècle qui suivra celui-ci ; mais en 1900 il changera, et l'ordre des épactes dans ce siècle et dans les trois autres consécutifs, sera 21, 2, 13, 24, etc. et ainsi de suite. Voyez aussi, sur cette matière, l'abrégé du calendrier par M. Rivard, et le grand ouvrage que prépare M. Coucicault ancien échevin, et que nous croyons sous presse. Ce dernier ouvrage nous a paru fait avec beaucoup d'intelligence, de soin et de détail.

Par l'ordre des cycles des épactes, il parait que le même cycle peut avoir à la fois les épactes 24 et 25 ; comme on le verra facilement dans le cycle qui commence par le nombre 24, dans celui qui commence par le nombre 10, etc. Or nous avons dit ci-dessus que dans le calendrier des épactes on met les nombres 24 et 25 au même jour, et cependant les nouvelles Lunes ne peuvent tomber au même jour dans le cours de dix-neuf ans. Pour obvier à l'erreur qui pourrait résulter de-là, on écrit dans tous les mois pairs lunaires les nombres 26 et 25 à côté l'un de l'autre, mais le dernier en plus petit caractère ; et toutes les fois que les épactes 24 et 25 se trouvent ensemble dans le même cycle, alors il faut se servir de l'épacte 25, écrite en petit caractère ; et on ne doit point craindre de confusion de la combinaison des épactes 24, 25, 26, parce que ces trois épactes ne peuvent jamais se trouver ensemble dans un même cycle. A l'égard des épactes 26 et 25, lorsqu'elles se rencontrent dans un même cycle, il faut se servir de l'épacte 25, qui est jointe au même jour avec 24. Enfin dans ce même calendrier on met l'épacte 19 au dernier Décembre, avec l'épacte 20 ; parce que la nouvelle Lune tombe au dernier Décembre toutes les fois que l'épacte 19 répond au nombre d'or 19. De plus, les épactes sont disposées de manière qu'elles donnent la nouvelle Lune environ un jour trop tard ; la raison que Clavius apporte de cette disposition, c'est qu'il vaut mieux que les épactes donnent les nouvelles Lunes, et par conséquent les pleines Lunes, trop tard, que trop tôt, afin qu'on ne soit point en risque de célébrer la fête de Pâque avant la pleine Lune, ce qui serait contraire au décret du concîle de Nicée.

Cependant quelque soin que le pape Grégoire XIII. et les astronomes dont il s'est servi, aient employé pour la détermination des nouvelles Lunes par les épactes, et pour fixer la Pâque, il faut avouer que la méthode de trouver ainsi les nouvelles Lunes n'a pas toute l'exactitude qu'on pourrait désirer. En premier lieu, la fixation de l'équinoxe du printemps au 21 de Mars, est fautive, puisque cet équinoxe peut arriver quelquefois le 19, et quelquefois le 23, comme nous l'avons remarqué dans l'article CALENDRIER. On trouve de plus dans le tome IV. des œuvres de M. Jean Bernoulli, imprimées à Lausanne en 1743, une pièce curieuse sur ce sujet, où l'on voit l'erreur dans laquelle l'épacte peut induire quelquefois. En 1724, suivant le calcul de ce savant géomètre, la vraie pleine Lune paschale a dû tomber le samedi 8 Avril à 4h 21' du soir, l'équinoxe étant arrivé le 20. Mars. Or suivant le calcul par l'épacte, on trouve que la pleine Lune paschale de 1724 a dû tomber le 9 Avril, qui était un dimanche ; de sorte que par la régle établie, Pâque n'a été que le 16 Avril, au lieu qu'il aurait dû être le 9. La même chose est arrivée en 1744, où Pâque s'est trouvé 8 jours plus tard qu'il n'aurait dû être : car on verra dans les almanachs de cette année-là, que la pleine Lune paschale est arrivée le samedi 28 Mars, ainsi Pâque devait être le lendemain 29 ; au lieu que par le calcul de l'épacte, la pleine Lune n'a dû être que le 29, qui était un dimanche, ce qui a fait remettre Pâque au 5 Avril suivant. Il en arrivera autant, selon M. Bernoulli, en 1778 et 1798, par l'erreur de l'épacte. Voyez PAQUE.

Dans la préface de l'art de vérifier les dates, pag. 38 et suiv. on trouvera des observations utiles sur l'usage du calcul des épactes pour la chronologie, et pour les dates des anciens titres. (O)

EPACTE