S. f. en Arithmétique, c'est une opération par laquelle on prend un nombre autant de fois qu'il est marqué par un autre, afin de trouver un résultat que l'on appelle produit. Si l'on demandait, par exemple, la somme de 329 liv. prises 58 fois ; l'opération par laquelle on a coutume, en Arithmétique, de déterminer cette somme, est appelée multiplication. Le nombre 329, que l'on propose de multiplier, se nomme multiplicande ; et le nombre 58, par lequel on doit multiplier, est appelé multiplicateur ; et enfin on a donné le nom de produit au nombre 19082, qui est le résultat de cette opération. Voici comment elle s'exécute.

Après avoir disposé le multiplicateur 58 sous le multiplicande 329, c'est-à-dire les unités de l'un sous les unités de l'autre, les dixaines sous les dixaines, etc. et avoir tiré une ligne, je dis 8 fois 9 = 72 ; je pose 2 et je retiens 7, comme dans l'addition ; ensuite 8 fois 2 = 16, auxquels ajoutant 7 j'ai 23 ; je pose donc 3 et retiens 2 ; après quoi je dis, 8 fois 3 = 24 et 2 retenus font 26 ; j'écris 6 et pose 2 en avançant vers la gauche.

Quand j'ai opéré sur le multiplicande 329 avec le premier nombre 8 du multiplicateur ; je répète une opération semblable avec le nombre suivant 9, ayant soin de mettre le premier chiffre de ce nouveau produit sous les dixaines, parce qu'alors ce sont des dixaines qui multiplient ; et faisant ensuite l'addition des deux produits 2632 et 1645 disposés comme on le voit dans l'exemple, je trouve que le produit total est 19082.

S'il y avait eu trois chiffres au multiplicateur, on aurait agi sur le multiplicande avec le troisième chiffre du multiplicateur, de même que l'on a fait avec les deux premiers, observant de placer le premier chiffre de ce troisième produit sous le chiffre qui multiplie ; ce qui est une loi générale dont la raison est bien évidente ; car à la troisième place ce sont des cent qui commencent à multiplier des unités, ils produisent donc des cent, et par conséquent il faut en placer le premier chiffre sous la colonne des cent, etc.

On voit donc que toute la difficulté de la multiplication consiste à trouver sur le champ le produit d'un chiffre par un autre chiffre. Ainsi il n'y a qu'à apprendre par cœur la table de multiplication. Voyez TABLE DE PYTHAGORE.

La théorie de cette règle est sujette à des difficultés qui embarrassent les commençans : 45 ouvriers ont fait chacun 26 taises d'ouvrage, quel est le produit total ? quoique le bon sens dise bien clairement qu'il faut multiplier 26 par 45, il parait toujours étrange que des taises multiplient des ouvriers. Effectivement cela ne peut pas être. C'est pourquoi quand on propose de multiplier 26 taises par 45 ouvriers, la question se réduit uniquement à prendre 26 taises 45 fois ; et par-là on aperçoit évidemment qu'il n'y a que multiplication de taises.

Cette opération se fait avec beaucoup de célérité, quand il y a plusieurs zéros de suite, soit au multiplicateur soit au multiplicande, surtout quand les zéros commencent par la place des unités. Vous avez, par exemple, 2000 à multiplier par 300 ; ne faites pas d'abord attention aux trois zéros du multiplicande, ni aux deux zéros du multiplicateur ; faites simplement l'opération sur les deux chiffres 2, 3, pour avoir leur produit 6, à la suite duquel vous placerez tant les zéros du multiplicande que ceux du multiplicateur, c'est-à-dire cinq zéros en ce cas ; et vous aurez 600000, qui est le produit de 2000 par 300.

Quand les zéros sont mélés avec les chiffres significatifs, vous prendrez toujours pour multiplicateur celui des deux nombres où il y a moins de chiffres significatifs ; parce que les zéros ne multipliant jamais, l'opération Ve plus vite. Vous avez, par exemple, 500203 à multiplier par 80009 : disposez les nombres comme vous le voyez ici.

où vous remarquerez qu'après avoir fait agir le 9 du multiplicateur l'on passe tout-d'un-coup à son chiffre 8, qui est la cinquième place, et cela par la raison que les zéros ne sauraient rien produire.

Parlons maintenant de la multiplication composée, c'est-à-dire de celle où il y a des quantités de différente espèce. On demande à combien reviennent 35 aunes d'étoffe à 24 liv. 15 s. l'aune.

Sans faire d'abord attention aux 15 s. on multipliera 35 par 24, dont le produit est 840 liv. après quoi on cherchera ce que produiront 35 aunes à 15 s. l'aune. On observera donc que 15 s. = 10 s. + 5 s. prenons 35 aunes à 10 s. il est certain que si 10 s. valaient une livre, 35 aunes vaudraient 35 livres : mais 10 s. ne sont que la moitié d'une livre, par conséquent 35 aunes ne vaudront que la moitié de 35 liv. = 17 liv. 10 s. On placera donc ces nombres ainsi que l'opération l'indique ; et l'on prendra ensuite la valeur de 35 aunes à 5 s. mais comme 35 aunes à 10 ont produit 17 liv. 10 s. il est évident que 35 aunes à 5 s. produiront la moitié de 17 liv. 10 s. = 8 liv. 15 s. que l'on écrira sous le produit précédent ; faisant ensuite l'addition des différents produits, on trouvera que le produit total est 866 l. 5 s.

Cette manière de multiplier s'appelle multiplication par les parties aliquotes. Les parties aliquotes d'une quantité sont celles qui divisent exactement et sans reste la quantité dont elles sont partie : ainsi 10 s. est une partie aliquote de la livre, ils en sont la deuxième partie ; 5 s. en sont le quart, 2 s. le dixième, et 1 s. le vingtième. Mais 9 s. ou 7 s. ne sont pas des parties aliquotes de la livre, parce que 9 et 7 ne divisent pas 20 s. valeur de la livre exactement et sans reste : mais il est facîle de transformer ces quantités en parties aliquotes de la livre ; car 9 s. = 4 s. + 5 s. parties aliquotes de la livre.

La preuve de la multiplication se fait en divisant le produit par un des deux facteurs, l'autre facteur doit venir au quotient si l'opération est bien faite ; savoir le multiplicande, si on a divisé par le multiplicateur, et le multiplicateur si on a divisé par le multiplicande. Ou bien mettez le multiplicateur en la place du multiplicande, et faisant l'opération à l'ordinaire, vous devez retrouver le même produit qu'auparavant : car il est clair que 6 x 8 ou 8 x 6 produisent également 48.

La multiplication en croix est une méthode prompte et facîle pour multiplier des choses de différentes espèces ou dénominations par d'autres de différente espèce aussi, par exemple des sols et des deniers par des sols et des deniers ; des pieds et des pouces par des pieds et des pouces ; ce qui est fort usité dans la mesure des terrains. En voici la méthode.

Supposons qu'on ait 5 pieds 3 pouces à multiplier par 2 pieds 4 pouces ; dites, 2 fois 5 pieds font 10 pieds, et 2 fois 3 pouces font 6 pouces ; ensuite 4 fois 5 font 20 pouces, ou 1 pied 8 pouces ; enfin 4 fois 3 font 12 parties de pied, ou 1 pouce : la somme de ces trois produits sera 12 pieds 3 pouces.

On pourrait encore faire cette opération d'une manière assez commode, en considérant les pouces comme des fractions de pied ; ce qui réduirait l'exemple proposé à cette forme, 4 pieds 1/4 x 2 pieds 1/3 ; car 3 pouces sont le quart d'un pied, et 4 pouces en sont le tiers ; après quoi réduisant chaque terme à une seule fraction, l'on aurait 21/4 x 7/3 - 147/12 = 12 + 3/12 = 12 + 1/2 produit qui revient précisément au même que le précédent, puisque 1/4 de pied = 3 pouces.

La multiplication, en Géométrie, se fait en supposant qu'une ligne a b (Pl. Géométr. fig. 9.) qu'on appelle décrivante, se meuve perpendiculairement le long d'une autre, qu'on appelle la directrice ou dirigente. Voyez DECRIVANT, etc.

Par ce mouvement la décrivante forme le rectangle a d c b ; et si on divise la décrivante et la directrice en un certain nombre de parties égales, on formera par le mouvement autant de petits rectangles qu'il y a d'unités dans le produit du nombre des parties de la décrivante par le nombre des parties de la directrice ; par exemple, ici, 21. Voyez DIRECTRICE. En effet, quand la ligne a b a parcouru une partie de a d, les trois parties de la ligne a b ont formé trois petits rectangles dans la première colonne. Quand la ligne a b a parcouru deux parties de a d, il y a trois rectangles nouveaux de plus, et ainsi de suite. C'est pour cette raison que la multiplication s'exprime souvent en latin par le mot ducta, conduite ; et c'est delà que vient aussi le mot produit. Ainsi pour dire que a b est multiplié par b c, on dit a d ducta in b c, parce qu'on imagine qu'une de ces lignes se meuve perpendiculairement et parallèlement le long de l'autre, pour former un rectangle : de sorte qu'en Géométrie rectangle et produit sont la même chose.

Maintenant comme dans toute multiplication l'unité est à un des facteurs comme l'autre est au produit, on peut faire ainsi la multiplication en lignes. Supposons qu'on ait a b = 2 (fig. 10.) à multiplier par a d = 3. On fera un angle à volonté ; sur un des côtés de cet angle, on prendra la ligne a u = 1, et & sur le même côté on prendra a d pour le multiplicateur (3) ; ensuite on prendra sur l'autre côté de l'angle a b (2) pour le multiplicande ; on tirera u b, et par le point d la ligne d c parallèle à u b : je dis que a c est égal à 6, et est par conséquent le produit ; car a u : a d : : a b : a c.

La multiplication algébrique est beaucoup plus simple que la numérique ; car pour multiplier une grandeur algébrique par une autre, il ne s'agit que d'écrire ces quantités les unes à côté des autres sans aucun signe ; ainsi a multiplié par b produit a b ; c d multiplié par m donne c d m : mais pour s'exprimer avec plus de facilité, on observera que le signe x signifie multiplié par, et que celui-ci = veut dire égale ou vaut : ainsi a x b = a b, signifient que a multiplié par b égale a b, etc. où l'on voit que des quantités algébriques sont censées multipliées l'une par l'autre, dès qu'elles sont écrites les unes immédiatement à côté des autres, sans aucun signe ; ce qui est une pure convention : mais les grandeurs algébriques sont presque toujours précédées de coèfficiens et des signes + ou -. Voyez COEFFICIENS et SIGNE. En ce cas 1°. + 3 c d x + 5 b m = + 15 b c d m, en disant + x + = + ; ensuite 3 x 5 = 15 ; enfin c d x b m = b c d m ; en sorte que + 15 b c d m est le produit de + 3 c d x + 5 b m.

2°. Si l'on a une grandeur négative à multiplier par une grandeur positive, le produit doit être affecté du signe - : ainsi - 2 b d x + 3 a f = - 6 a b d f, en disant - x + = - ; après cela 2 x 3 = 6, que l'on écrira à la suite du signe -, et b d x a f = a b d f : le produit total de - 2 b d x + 3 a f est donc - 6 a b d f.

3°. Le produit d'une grandeur positive par une négative doit aussi être affecté du signe - ; c'est pourquoi + 4 r s x - b d = - 4 b d r s ; ce que l'on détermine en disant + x - = - : 4 x 1 (que l'on suppose toujours précéder la quantité qui n'en est pas accompagnée) = 4 : enfin r s x b d = b d r s. Ainsi le produit de + 4 r s par - b d = - 4 b d r s ; ce qui suppose que + x - = - ; nous allons bientôt le démontrer.

4°. Deux grandeurs négatives ou affectées du signe - donnent + à leur produit, lorsqu'elles se multiplient ; - 3 b d x - 4 d = + 12 b d : et c'est ce qui ne parait pas aisé à concevoir. Comment moins par moins peut-il donner plus ? Examinons la manière dont les signes agissent les uns sur les autres.

Démonstration des règles précédentes. La multiplication des coefficiens ne fait aucune difficulté ; ce sont des nombres qui se multiplient, comme dans l'Arithmétique ; celle des quantités algébriques est de pure convention. Il n'y a donc que la multiplication des signes qui mérite une bonne explication ; il faut prouver que + x + = + ; que + x - = - ; que - x + = - ; que - x - = +.

1°. + 3 x + 4 doit donner + 12 ; car le multiplicateur + 4 étant affecté du signe +, montre qu'il faut prendre la quantité + 3 positive autant de fois qu'il est marqué par 4 ; c'est-à-dire qu'il faut la prendre 4 fois telle qu'elle est : or 4 fois x 3 = + 3 + 3 + 3 + 3 = + 12 ; ainsi + x + = +.

2°. + 3 x - 4 = - 12. Remarquez que le multiplicateur 4 étant affecté du signe - fait connaître qu'il faut retrancher la grandeur + 3 quatre fois ; or pour retrancher du positif il faut mettre du négatif : on écrira donc - 3 - 3 - 3 - 3 = - 12. On voit donc pourquoi + x - = -.

3°. - 3 x + 4 = - 12 ; car le multiplicateur 4 étant positif signifie qu'il faut prendre - 3 quatre fais, et par conséquent écrire - 3 - 3 - 3 - 3 = - 12 : ainsi - x + = -.

4°. - 3 x - 4 = + 12. On doit toujours se régler sur le signe du multiplicateur ; son signe étant négatif, le multiplicateur - 4 indique qu'il faut retrancher - 3 quatre fois : or pour ôter - on écrit + (Voyez SOUSTRACTION). Donc pour ôter - 3 quatre fais, on écrira + 3 + 3 + 3 + 3 = +. Ce n'est pas à l'apparence qu'il faut s'en tenir ; on doit toujours remonter à la valeur fondamentale des signes. On a donc tout ce qu'on s'était proposé de démontrer.

Ainsi on peut établir une règle générale très-simple pour la multiplication des signes. Toutes les fois que les quantités qui se multiplient ont le même signe on écrira + au produit (puisque + x + = +, et que - x - = +) mais on écrira -, quand elles auront des signes différents ; car + x - = -, et - x + = -, ainsi qu'on l'a démontré ci-dessus.

Nous venons de donner les règles de la multiplication par rapport aux monomes, c'est-à-dire aux quantités algébriques qui n'ont qu'un terme : quant aux polinomes, c'est-à-dire aux quantités algébriques qui ont plusieurs termes ; il faut multiplier, comme dans l'Arithmétique, tous les termes du multiplicande par chaque terme du multiplicateur ; on cherche ensuite la somme de tous ces différents produits, en réduisant les quantités semblables, s'il y en a. Voyez ADDITION et REDUCTION. Exemple :

Pour multiplier a a - 2 a c + c c par a - c, on écrira le multiplicateur a - c sous le multiplicande a a - 2 a c + c c, comme on le voit dans l'exemple, et tirant une ligne, on dira a a x a = a 3, on écrira a 3 en supprimant le signe +. Ensuite en multipliant le terme - 2 a c par a, en disant - x + = -. 2 a c x a = 2 a 2 c : on écrira donc - 2 a 2 c à la suite de a 3. On continuera de multiplier + c c par a, afin d'avoir + a c 2, que l'on mettra à la suite de - 2 a 2 c sous la ligne. Et si le multiplicande contenait un plus grand nombre de termes, on ne finirait pas de multiplier par a, à moins que tous les termes du multiplicande n'eussent été multipliés par ce premier terme du multiplicateur. Quand le premier terme du multiplicateur a fait son office, on fait agir de même le second terme - c sur tous les termes du multiplicande ; ainsi l'on dira a a x - c = - a 2 c, que l'on écrira, ainsi qu'il est marqué dans l'exemple. On multipliera ensuite - 2 a c par - c, en disant - x - = +. 2 a c x c = 2 a c 2 : le produit de - 2 a c par - c est donc + 2 a c 2 ; enfin + c c x - c = - c 3. Tous les termes du multiplicande ayant été multipliés par chaque terme du multiplicateur, on tirera une ligne sous les produits, qui en sont venus ; et faisant la réduction de ces produits, on trouvera que le produit total est a 3 - 3 a 2 c + 3 a c 2 - c 3.

On voit par cet exemple qu'on ne multiplie jamais qu'un monome par un monome ; ainsi la multiplication des polinomes est plus longue, mais elle n'est pas différente de celle des monomes : un plus grand nombre d'exemples serait donc inutile, si ce n'est pour s'exercer : mais l'on peut s'en donner à soi-même tant que l'on voudra. (E)

Nous ajouterons ici quelques réflexions sur la multiplication tant arithmétique que géométrique.

Dans la multiplication arithmétique, un des deux nombres est toujours ou est censé être un nombre abstrait ; on en a Ve ci-dessus un exemple dans le cas des 45 ouvriers, qui ont fait chacun 26 taises ; le produit est 26 taises multipliées non par 45 ouvriers, mais par le nombre abstrait 45. Ainsi la multiplication arithmétique est toujours d'un nombre concret par un abstrait, ou d'un nombre abstrait par un abstrait. C'est donc une question illusoire, que de proposer, comme l'on fait quelquefois, aux commençans de multiplier des livres, sous, et deniers, par des livres, sous et deniers. Voyez CONCRET et DIVISION.

A l'égard de la multiplication géométrique, elle n'est qu'improprement appelée telle ; on ne multiplie point des lignes par des lignes, mais on multiplie le nombre des divisions supposées dans la ligne a b par celui des divisions d'une autre ligne a d faites avec la même commune mesure (Voyez MESURE) ; et le produit de ces nombres indique le nombre de petits carrés que contient le rectangle a b c d ; sur quoi voyez la fin de l'article EQUATION.

A l'égard du calcul qu'on a fait ci dessus, et par lequel on trouve la ligne a c (fig. 10 Géomét.) = 6, comme étant le produit des deux lignes a d, a d, cela signifie seulement que cette ligne est égale au produit de a b par a d, divisé par la ligne a u qu'on a prise pour l'unité ; ou qu'elle est telle que son produit par a u est égal au produit de a b par a d. Voyez PARALLELOGRAMME.

Sur la multiplication des fractions. Voyez FRACTION et DECIMAL.

MULTIPLICATION DES PLANTES, (Jardinage) est leur vraie production ; c'est le moyen que la nature leur a donné de se reproduire sans l'union des sexes, que quelques autres veulent admettre.

La graine est le moyen général qui perpetue les végétaux, eux-mêmes la produisent ; et si l'on considère qu'une seule gousse de pavot contient plus de mille graines, et qu'un pied ayant plusieurs tiges donne plusieurs gousses, on trouvera ce produit immense.

Les plantes ligneuses ont encore une voie plus courte pour se multiplier ; les unes par les boutures, jetons, rejetons, sions, qu'elles poussent à leurs pieds, et qu'on lève tout enracinés ; les autres par des boutures, plançons, drageons, crossettes ou branches qu'on coupe sans racines, et qu'on aiguise par un bout pour les ficher en terre ; enfin les marcottes et les provins qui sont des branches que l'on couche en terre pour leur faire prendre racines, en reproduisent plusieurs autres.

Les oignons ou cayeux qui viennent au-tour des gros, et qu'on détache pour les replanter ailleurs, multiplient les plantes bulbeuses plus promptement que si on les semait.

Les plantes fibreuses ou ligamenteuses, outre des graines très-abondantes, ont encore à leurs pieds des talles qui les multiplient à l'infini.

Un moderne (Agricola, Agriculture parfaite, page 220) nous a donné la multiplication universelle des végétaux, en joignant l'art à la nature ; il prétend que la partie inférieure de l'arbre a de même que la supérieure toutes les parties essentielles à la végétation : selon l'ordre de la nature, la tige a en soi un suc d'où peuvent provenir des racines ; et on voit aux branches et aux feuilles des petits filets qui approchent des racines, et qui reprennent en terre ; la branche a donc en soi des racines enfermées matériellement, donc la racine est dans la tige ; de même une racine a de petits nœuds caleux, des coupes ou gersures qui marquent les cercles des années d'où peuvent naître de petites tiges avec leurs branches : si les tiges n'étaient pas dans les racines, au moins matériellement, elles ne pourraient pas en pousser dehors.

Il conclut de-là 2°. qu'on peut greffer plusieurs rameaux sur une grosse racine séparée du corps de l'arbre, et replanter à fleur de terre sans séparer les greffes que lorsqu'elles sont bien reprises. 2°. Qu'on peut également faire les mêmes greffes sur une racine découverte qui tient à l'arbre, en la coupant ensuite par morceaux enracinés où tiendront les greffes. 3°. Qu'une grande branche coupée en plusieurs morceaux qui auront chacun un oeil, étant mise en terre par partie, et cirée par les deux bouts, reprendra parfaitement. On suppose que le morceau qui est en terre aura poussé des racines, ainsi que le font les branches de saule ou de figuier ; de même un morceau de racine cirée par les deux bouts, poussera des racines qui étant devenues fortes, donneront de belles branches, pourvu qu'on laisse un peu sortir de terre le bout supérieur de cette racine.

Cet auteur appelle cette multiplication, la cent millième, par rapport à celle qui se fait en semant ; et il Ve jusqu'à faire planter des feuilles avec leurs queues en les coupant en deux par en haut, et garnissant de cire la partie coupée : il prétend par-là regarnir les bois et les planter à neuf, ainsi qu'un autre auteur (le P. Mirandola, italien, fameux jardinier), qui de cette manière a fait prendre racine à des feuilles d'oranger.

Quand on égravillonne les orangers, au lieu de jeter les racines qu'on retranche, il veut qu'on les coupe en morceaux de deux pieds, qu'on les cire par les deux bouts, qu'on y ente des branches en fente, et qu'on les replante séparément : tout le secret de l'art consiste, selon lui, à couper les branches par les jointures, et y appliquer chaudement de la cire composée, qu'il appelle la noble momie.

MULTIPLICATION