S. m. (Arithmétique) est le huitième terme de la suite des nombres naturels, le quatrième de celle des pairs, et le second de celle des cubes : on n'en fait un article que pour faire connaitre une propriété qui lui est particulière, et qui semble avoir jusqu'ici échappé aux observateurs : la voici avec sa démonstration.

8 étant multiplié successivement par chacun des nombres triangulaires, le produit augmenté de l'unité donne par ordre tous les carrés impairs, à commencer à celui dont 3 est la racine.

+ 1 = 9.

+ 1 = 25.

+ 1 = 49.

+ 1 = 81. &c.

Il suit que tout carré impair (le premier excepté) étant diminué de l'unité, le reste se divise exactement par 8.

Sait un carré impair quelconque représenté par (a étant un nombre pair) ; il faut prouver 1°. que 8 est diviseur exact ou facteur de ; 2°. que son co-facteur est un nombre triangulaire.

Les valeurs de a sont tous les termes de la suite des pairs 2, 4, 6, 8, etc. laquelle n'est elle-même que 2 multiplié successivement par chacun des nombres naturels 1, 2, 3, etc. La première partie de la propriété étant démontrée pour le premier terme 2, le sera donc par le même moyen pour tous les autres qui n'en sont que des multiples. Or

En ajoutant ensemble terme à terme ces deux suites correspondantes, il résulte que le co-facteur de 8 est toujours la somme d'un carré et de sa racine, divisée par le dénominateur 2 (qu'on peut transporter du premier facteur au second). Mais la moitié de la somme d'un carré et de sa racine, ou si l'on veut () est l'expression caractéristique d'un nombre triangulaire. Donc, etc. Il suit que si n représente le quantième d'un terme dans la suite des impairs, le carré du terme même est .... On emploie ici au lieu de ; parce qu'à cause de l'exclusion du premier carré impair (1), au quantième n du terme dans la suite des impairs, répond dans celle des nombres triangulaires le quantième, non n, mais : ce qui n'empêche pas que la formule ne donne l'expression juste du carré, lors même que la racine est 1. Car alors le quantième se confondant avec le terme même, n n - n est 1 - 1 = 1 ; ce qui rend nul le premier terme de la formule, en sorte qu'il ne reste que le second (+ 1).

On pourrait au reste faire entrer 8 dans l'expression de tout carré pair, comme on vient de le faire dans celle de tout carré impair. Si n désigne le quantième de la racine dans la suite des pairs, le carré pair sera généralement . La démonstration en est si aisée à déduire de celle qu'on vient de voir pour les carrés impairs, qu'il parait inutile de s'y arrêter.

Comme n n est alternativement un nombre impair et un nombre pair, est, dans le même ordre alternatif, tantôt une fraction tantôt un entier. Il suit que les carrés pairs ne sont divisibles par 8 que de deux en deux, mais c'est sans subir aucun changement : au lieu que les impairs le sont tous, mais sous la condition de perdre une unité ; compensation qui partage assez également entre les deux espèces la propriété. Article de M. RALLIER DES OURMES.