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Catégorie : Mathématiques
S. f. terme de Mathématiques. La méthode d'exhaustion est une manière de prouver l'égalité de deux grandeurs, en faisant voir que leur différence est plus petite qu'aucune grandeur assignable ; et en employant, pour le démontrer, la réduction à l'absurde.

Ce n'est pourtant pas parce que l'on y réduit à l'absurde, que l'on a donné à cette méthode le nom de méthode d'exhaustion : mais comme l'on s'en sert pour démontrer qu'il existe un rapport d'égalité entre deux grandeurs, lorsqu'on ne peut pas le prouver directement, on se restreint à faire voir qu'en supposant l'une plus grande ou plus petite que l'autre, on tombe dans une absurdité évidente : afin d'y parvenir, on permet à ceux qui nient l'égalité supposée, de déterminer une différence à volonté ; et on leur démontre que la différence qui existerait entre ces grandeurs (en cas qu'il y en eut) serait plus petite que la différence assignée ; et qu'ainsi cette différence ayant pu être supposée d'une petitesse qui, pour ainsi dire, épuisât toute grandeur assignable, c'est une nécessité de convenir que la différence entre ces grandeurs s'évanouit véritablement. Or c'est cette petitesse indicible, inassignable, et qui épuise toute grandeur quelconque, qui a fait donner à la méthode présente le nom de méthode d'exhaustion, du mot latin exhaustio, épuisement.

La méthode d'exhaustion est fort en usage chez les anciens géomètres, comme Euclide, Archimède, etc. Elle est fondée sur ce théorème du dixième livre d'Euclide, que des quantités sont égales lorsque leur différence est plus petite qu'aucune grandeur assignable ; car si elles étaient inégales, leur différence pourrait être assignée ; ce qui est contre l'hypothèse.

C'est d'après ce principe qu'on démontre que, si un polygone régulier d'une infinité de côtés est inscrit ou circonscrit à un cercle, l'espace qui constitue la différence entre le cercle et le polygone s'épuisera et diminuera par degrés ; de sorte que le cercle deviendra égal au polygone. Voyez QUADRATURE, POLYGONE, etc. Voyez aussi LIMITE, INFINI, etc. (E)

Le calcul différentiel n'est autre chose que la méthode d'exhaustion des anciens, réduite à une analyse simple et commode ; c'est la méthode de déterminer analytiquement les limites des rapports ; la métaphysique de cette méthode est expliquée très-clairement au mot DIFFERENTIEL.




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