S. f. (Mathématiques) ne devrait se dire proprement que de l'assemblage de plusieurs choses deux à deux ; mais on l'applique dans les Mathématiques à toutes les manières possibles de prendre un nombre de quantités données.

Le P. Mersenne a donné les combinaisons de toutes les notes et sons de la Musique au nombre de 64 ; la somme qui en vient ne peut s'exprimer, selon lui, qu'avec 60 chiffres ou figures.

Le P. Sébastien a montré dans les mémoires de l'académie 1704, que deux carreaux partagés chacun par leurs diagonales en deux triangles de différentes couleurs, fournissaient 64 arrangements différents d'échiquier : ce qui doit étonner, lorsqu'on considère que deux figures ne sauraient se combiner que de deux manières. Voyez CARREAU.

On peut faire usage de cette remarque du P. Sébastien, pour carreler des appartements.

Doctrine des combinaisons. Un nombre de quantités étant donné avec celui des quantités qui doit entrer dans chaque combinaison, trouver le nombre des combinaisons.

Une seule quantité, comme il est évident, n'admet point de combinaison ; deux quantités a et b donnent une combinaison ; trois quantités a, b, c, combinées deux à deux, donnent trois combinaisons a b, a c, b c ; quatre en donneraient six a b, a c, b c, a d, b d, c d ; cinq en donneraient dix a b, a c, b c, a d, b d, c d, a e, b e, c e, d e.

En général la suite des nombres des combinaisons est 1, 3, 6, 10, etc. c'est-à-dire la suite des nombres triangulaires ; ainsi q représentant le nombre des quantités à combiner, q - 1/1 x q + 0/2 sera le nombre de leurs combinaisons deux à deux. Voyez NOMBRES TRIANGULAIRES.

Si on a trois quantités a, b, c, à combiner trois à trois, elles ne fourniront qu'une seule combinaison a b c ; qu'on prenne une quatrième quantité d, les combinaisons que ces quatre quantités peuvent avoir trois à trois, seront les quatre a b c, a b d, b c d, a c d ; qu'on en prenne une cinquième, on aura les dix combinaisons a b c, a b d, b c d, a c d, a b e, b d e, b c e, a c e, a d e ; qu'on en mette une sixième, on aura vingt combinaisons, etc. Ensorte que la suite des combinaisons trois à trois est celle des nombres pyramidaux ; et que q exprimant toujours le nombre des quantités données, q - 2/1 x q - 1/2 x q - 0/3, est celui de leurs combinaisons trois à trois.

Le nombre des combinaisons quatre à quatre des mêmes quantités se trouverait de la même manière q - 3/1 x q - 2/2 x q - 1/3 x q - 0/4 ; et en général n exprimant le nombre de lettres qu'on veut faire entrer dans chaque terme de la combinaison, la quantité (q - n + 1)/1 x (q - n + 2)/2 x (q - n + 3)/3 x (q - n + 4)/4 x ........ q/n exprimera le nombre demandé des combinaisons.

Que l'on demande, par exemple, en combien de manières six quantités peuvent se prendre quatre à quatre, on fera q = 6 et n = 4, et l'on substituera ces nombres dans la formule précédente, ce qui donnera 6 -4 + 1/1 x 6 - 4 + 2/2 x 6 - 4 + 3/3 x 6 - 4 + 4/4 = 15.

Corollaire. Si on veut avoir toutes les combinaisons possibles d'un nombre de lettres quelconque, prises tant deux à deux que trois à trois, que 4 à 4, etc. il faudra ajouter toutes les formules précédentes (q - 1)/1 x (q - 0)/2 ; (q - 2 x q - 1 x q - 0)/(1 x 2 x 3) ; q - 3/1 x q - 2/2 x q - 1/3 x q - 0/4, etc. c'est-à-dire que le nombre de toutes ces combinaisons sera exprimé par (q x q - 1)/(1 . 2) + (q . q - 1 . q - 2)/(2 . 3) + (q x q - 1 . q - 2 . q)/(2 . 3 . 4) - 3 + &c.

Si on compare présentement cette suite avec celle qui représente l'élévation d'un binome quelconque à la puissance q, on verra qu'en faisant égal à l'unité chacun des termes de ce binome, les deux suites sont les mêmes aux deux premiers termes près 1, et q, qui manquent à la suite précédente. De-là il suit qu'au lieu de cette suite, on peut écrire 2 q -1- q. ce qui donne une manière bien simple d'avoir toutes les combinaisons possibles d'un nombre q de lettres. Que ce nombre sait, par exemple 5, on aura donc pour le nombre total de ses combinaisons 25 - 5 - 1 = 32 - 6 = 26. Voyez BINOME.

Un nombre quelconque de quantités étant donné, trouver le nombre des combinaisons et d'alternations qu'elles peuvent recevoir, en les prenant de toutes les manières possibles.

Supposons d'abord qu'il n'y ait que deux quantités a, b, on aura d'abord a b et b a, c'est-à-dire le nombre 2 ; et comme chacune de ces quantités peut aussi se combiner avec elle-même, on aura encore a a et b b, c'est-à-dire que le nombre des combinaisons et alternations est en ce cas 2 + 2 = 4. S'il y a trois quantités a, b, c, et que l'exposant de leur variation soit deux, on aura trois termes pour leurs combinaisons, lesquels seront a b, b c, a c : à ces trois termes on en ajoutera encore trois autres b a, c b, c a, pour les alternations ; et enfin trois autres pour les combinaisons a a, b b, c c, des lettres a, b, c, prise chacune avec elle-même, ce qui donnera 3 + 3 + 3 = 9. En général il sera aisé de voir que si le nombre des quantités est n, et que l'exposant de la variation soit 2, n 2 sera celui de toutes leurs combinaisons et de leurs alternations.

Si l'exposant de la variation est 3, et qu'on ne suppose d'abord que trois lettres a, b, c, on aura pour toutes les combinaisons et alternations a a a, a a b, a b a, b a a, a b b, a a c, a c a, c a a, a b c, b a c, b c a, a c b, c a b, c b a, a c c, c a c, c c a, b b a, b a b, b b b, b b c, c b b, b c b, b c c, c b c, c c b, c c c, c'est-à-dire le nombre 27 ou 33.

De la même manière, si le nombre des lettres était 4, l'exposant de la variation 3, 43, ou 64, serait le nombre des combinaisons et alternations. Et en général si le nombre des lettres était n, n3 serait celui des combinaisons et alternations pour l'exposant 3. Enfin si l'exposant est un nombre quelconque, m, nm exprimera toutes les combinaisons et alternations pour cet exposant.

Si on veut donc avoir toutes les combinaisons et alternations d'un nombre n de lettres dans toutes les variétés possibles, il faudra prendre la somme de la série nn + n(n - 1) + n(n - 2) + n(n - 3) + n(n - 4) + n(n - 5) + n(n - 6) +, etc. jusqu'à ce que le dernier terme soit n.

Or comme tous les termes de cette suite sont en progression géométrique, et qu'on a le premier terme nn, le second n(n - 1), et le dernier n, il s'ensuit qu'on aura aussi la somme de cette progression, laquelle sera n - 1 n + 1 n - 1

Que n, par exemple, soit égal à 4, le nombre de toutes les combinaisons et alternations possibles sera 45 - 1/4 - 1 = 1020/3 = 340. Que n soit 24, on aura alors pour toutes les combinaisons et alternations possibles 2425 - 24/24 - 1 = 32009658644406818986777955348272600/23 = 1391724288887252999425128493402200 ; et c'est cet énorme nombre qui exprime les combinaisons de toutes les lettres de l'alphabet entr'elles.

Voyez l'ars conjectandi de Jacques Bernoulli, et l'analyse des jeux de hasard de Montmort. Ces deux auteurs, surtout le premier, ont traité avec beaucoup de soin la matière des combinaisons. Cette théorie est en effet très-utîle dans le calcul des jeux de hasard ; et c'est sur elle que roule toute la science des probabilités. Voyez JEU, PARI, AVANTAGE, PROBABILITE, CERTITUDE, etc.

Il est visible que la science des anagrammes (voyez ANAGRAMME) dépend de celles des combinaisons. Par exemple, dans Roma qui est composé de quatre lettres, il y a vingt-quatre combinaisons (voyez ALTERNATION) ; et de ces vingt-quatre combinaisons on en trouvera plusieurs qui forment des noms latins, armo, ramo, mora, amor, maro ; on y trouve aussi omar ; de même dans Rome, on trouve more, omer, etc. (O)

COMBINAISON, (Chimie) mot générique exprimant l'union chimique de deux ou de plusieurs principes de nature différente. Les Chimistes prennent souvent le mot mixtion dans le même sens. Voyez MIXTION et PRINCIPES. (b)