S. m. (Mathématiques pures) supputation de plusieurs sommes ajoutées, soustraites, multipliées, ou divisées. Voyez ARITHMETIQUE.

L'erreur de calcul ne se couvre jamais ni par arrêt ni par transaction, etc. Quand on arrête un compte, on sous-entend toujours sauf erreur de calcul.

L'art de calculer en général, est proprement l'art de trouver l'expression d'un rapport unique, qui résulte de la combinaison de plusieurs rapports. Les différentes espèces de combinaisons, donnent les différentes règles de calcul. Cela est expliqué plus au long à l'article ARITHMETIQUE.

Voyez les différentes espèces de calcul aux articles ALGEBRE, DIFFERENTIEL, EXPONENTIEL, INTEGRAL, ADDITION, etc.

Plusieurs peuples de l'Amérique, de l'Afrique, et de l'Asie calculent avec des cordes, auxquelles ils font des nœuds.

Le calcul aux jetons se fait aisément, en représentant les unités par les jetons, les dixaines par d'autres jetons, les centaines par d'autres. Par exemple, si je veux exprimer 315 avec des jetons, je mets 3 jetons pour marquer les centaines, 1 pour les dixaines, 5 pour les unités. Voyez DIXAINE, etc. (E)

Le mot calcul vient du latin calculus, qui signifie une pierre, parce que les anciens se servaient de petits cailloux plats pour faire leurs supputations, soit des sommes multipliées ou divisées dans les comptes, soit en Astronomie et en Géométrie. De-là vient que nous avons donné le nom de calcul aux Sciences des nombres, à l'Arithmétique, à l'Algèbre. Les Romains s'en servaient encore pour donner les suffrages dans les assemblées et dans les jugements ; ils marquaient aussi les jours heureux avec une pierre blanche, dies albo notanda lapillo, dit Horace, et les jours malheureux par une pierre noire. Ils avaient emprunté la première de ces coutumes des Grecs qui nommaient ces espèces de jetons naturels ; c'étaient d'abord des coquilles de mer, remplacées depuis par des pièces d'airain de la même figure, appelées spondyles. Deux choses distinguaient les calculs ; la forme et la couleur. Ceux qui portaient condamnation étaient noirs et percés par le milieu, les autres étaient entiers et blancs. M. l'abbé de Canaye, dont nous avons déjà parlé à l'article AREOPAGE, avec l'éloge que méritent la finesse de son esprit et la variété de ses connaissances, dit qu'on pourrait regarder la précaution de percer les noirs comme une preuve que les Aréopagites, qui s'en servaient, jugeaient pendant la nuit ; car à quoi bon percer les calculs noirs, si l'on eut pu voir les uns et les autres, et apercevoir, par le secours de la lumière, la différence de leur couleur ; au lieu qu'en jugeant dans les ténèbres il est clair qu'on avait besoin d'une différence autre que celle de la couleur et relative au tact, pour démêler les calculs de condamnation d'avec ceux qui marquaient l'absolution. On comptait ces calculs, et le nombre des uns ou des autres décidait pour ou contre l'accusé.

On se servait aussi de calculs ou bulletins pour tirer les athletes au sort dans les jeux publics, et les apparier. Voici comme la chose se pratiquait aux jeux olympiques, au rapport de Lucien dans son dialogue intitulé Hermotime ou des Sectes. " On place, dit-il, devant les juges, une urne d'argent consacrée au dieu en l'honneur de qui se célebrent les jeux. On met dans cette urne des ballotes de la grosseur d'une fève, et dont le nombre répond à celui des combattants. Si ce nombre est pair, on écrit sur deux de ces ballotes la lettre A, sur deux autres la lettre B, sur deux autres la lettre T, et ainsi du reste. Si le nombre est impair, il y a de nécessité une des lettres employées qui ne se trouve inscrite que sur une seule ballote ; ensuite les athletes s'approchent l'un après l'autre, et ayant invoqué Jupiter, chacun met la main dans l'urne et en tire une ballote. Mais un des mastigophores ou porte-verges lui retenant la main, l'empêche de regarder la lettre marquée sur cette ballote jusqu'à ce que tous les autres aient tiré la leur. Alors un des juges faisant la ronde examine les ballotes de chacun, et apparie ceux qui ont les lettres semblables. Si le nombre des athletes est impair, celui qui a tiré la lettre unique est mis en réserve pour se battre contre le vainqueur ". Mém. de l'Académ. des Bell. Lett. tom. I. et VII. (G)

CALCUL des nombres, signifie, en Mécanique et parmi les Horlogers, l'art de calculer les nombres des roues et des pignons d'une machine, pour leur faire faire un nombre de révolutions donné dans un temps donné. On ne peut parvenir à cela, qu'en modérant la vitesse des roues par un pendule ou balancier, dont les vibrations soient isochrones. Voyez PENDULE et la fig. 2. et 3. Pl. I. de l'Horlogerie, qui représente un rouage de pendule ; D, la roue de rencontre ; C, la roue de champ ; B, la grande roue, laquelle doit faire un tour en une heure. Le mouvement lui est communiqué par la roue A adossée à une poulie que le poids G fait tourner en tirant en en-bas : cette roue engrene dans un pignon fixe au centre ou sur la même tige que la roue B, qui doit faire un tour en une heure. Cette roue engrene de même dans le pignon fixe sur la tige de la roue de champ C ; cette dernière engrene dans le pignon de la roue de rencontre D, dont la vitesse est modérée par les vibrations du pendule, qui ne laisse passer qu'une dent de la roue de rencontre à chaque vibration du pendule. Mais comme chaque dent de la roue de rencontre, dans une révolution entière, frappe deux fois contre les palettes du pendule, il suit que le nombre de vibrations pendant un tour de la roue de rencontre est double de celui des dents de cette roue. Ainsi, si les vibrations du pendule durent chacune une seconde, et que la roue de rencontre ait 15 dents, le temps de sa révolution sera de 30" ou une demi minute. Si on suppose que le pignon x de la roue de rencontre D ait six ailes ou dents, et que la roue de champ qui le mène en ait 24, il est manifeste, Ve que les dents du pignon ne passent qu'une à une dans celle de la roue, qu'il faudra, avant que la roue de champ C ait fait un tour, que le pignon x en ait fait quatre, puisque le nombre de ses dents 6 est contenu 4 fois dans le nombre 24 de la roue. Mais on a observé que la roue de rencontre, et par conséquent le pignon x qui est fixé sur la même tige, emploie 30" à faire une révolution ; par conséquent la roue de champ C doit employer quatre fois plus de temps à faire une révolution entière : 30" x 4 = 120"= 2', ainsi le temps de sa révolution est de deux minutes.

Présentement si on suppose que le pignon y fixé sur la roue de champ ait six ailes, et que la roue à longue tige B ait 60 dents, il faudra que le pignon y fasse dix tours avant que la roue B en ait fait un ; mais le pignon y fixé sur la tige de la roue de champ C emploie le même temps qu'elle à faire une révolution, et ce temps est de 2'; la roue B en emploiera donc 10 fois davantage, c'est-à-dire 20' ou 1200" ou vibrations du pendule. Ainsi l'on voit que le temps qu'elle met à faire une révolution, n'est que le tiers de 3600" ou d'une heure, qu'elle devait employer à la faire. Les nombres supposés sont donc moindres que les vrais, puisqu'ils ne satisfont pas au problème proposé ; ainsi on sent qu'il est nécessaire d'avoir une méthode sure de trouver les nombres convenables.

Il faut d'abord connaitre le nombre des vibrations du pendule que l'on veut employer pendant le temps qu'une roue quelconque doit faire une révolution. Voyez à l'article PENDULE la manière de déterminer le nombre des vibrations, par cette règle, que le carré de ce nombre, dans un temps donné, est en raison inverse de la longueur du pendule. Divisez le nombre par deux, et vous aurez le produit de tous les exposans : on appelle les exposans les nombres qui marquent combien de fois une roue contient en nombre de dentures le pignon qui engrene dans cette roue. Ainsi on a une roue de soixante dents et un pignon de six qui y engrene ; l'exposant sera 10 qui marque que le pignon doit faire dix tours pour un de la roue : on écrit les pignons au-dessus des roues, et l'exposant entre deux en cette sorte :

6 = pignon,

10 = exposant,

60 = roue.

Lorsqu'il y a plusieurs pignons et roues, on les écrit à la file les uns des autres, en séparant les exposans par le signe x (multiplié par) dont un des côtés représente la tige sur laquelle est un pignon et une roue, qui ne composant qu'une seule pièce, font leur révolution en temps égaux. Exemple :

1, 2, 15, 6, 5, 7 1/2, sont des exposans ou les quotiens des roues divisés par leurs pignons. 7, 7, 8, les pignons. 15, 42, 35, 60, les roues qui engrenent dans les pignons placés au-dessus. Les x marquent comme il a été dit, que le pignon 7 et la roue 15 sont sur une même tige, ainsi que le second pignon 7 et la roue 42, de même le pignon 8 est sur la tige de la roue 35.

Théorème. Le produit des exposans doublé est égal au nombre des vibrations du pendule pendant une révolution de la dernière roue B.

Démonstration. La roue de rencontre 15, ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus ne laisse passer qu'une dent à chaque vibration du pendule : mais comme chaque dent passe deux fois sous les palettes du pendule, le nombre des vibrations, pendant une révolution de la roue de rencontre, est le double du nombre de dents de cette roue ; ainsi on doit compter 30 vibrations ou 2 x 15 : mais le pignon 7 fixé sur la tige de la roue de rencontre, fait sa révolution en même temps que la roue fait la sienne ; et il faut qu'il fasse six révolutions pour que la roue 42 en fasse une ; le nombre de vibrations pendant une révolution de cette seconde roue 42, sera donc sextuple de celui du pignon 7 qui emploie B x 15 à faire sa révolution ; ainsi la roue 42 emploiera 2 x 15 x 6 vibrations à faire une révolution entière. Le second pignon 7 fixé sur la tige de cette roue, emploiera autant de temps qu'elle à faire une révolution : mais il faut cinq révolutions de ce pignon pour un tour de la roue 35 : ainsi le nombre de vibrations pendant un tour de cette dernière roue, sera (2 x 15 x 6) x 5 vibrations ; le pignon 8 emploiera le même temps, et la roue 60, 7 1/2 fois davantage, puisqu'il faut que le pignon 8 fasse 7 1/2 tours, pour que la roue 60 en fasse un : ainsi le nombre des vibrations pendant une révolution de cette dernière roue, sera (2 x 15 x 6 x 5) x 7 1/2, ce qui est le produit de tous les exposans multiplié par 2. Ce qu'il fallait démontrer.

Dans un rouage on place ordinairement les plus petits pignons vers l'échappement, et les plus gros vers le moteur : on place de même les roues plus chargées de dentures ; ce qui fait que les plus grands exposans se trouvent vers l'échappement : ainsi dans l'exemple précédent, les roues 35 et 42 devraient changer de place, pour que les exposans allassent en décroissant de A vers B en cette sorte :

ce qui fait un rouage qui peut être employé avec avantage pour toutes les parties. On met le nombre de vibrations ou produit des exposans à la fin, séparé seulement par le signe = en cette sorte :

ce qui exprime le nombre de vibrations pendant une révolution entière de la dernière roue 63.

Lors donc que l'on se propose de construire un rouage, il faut connaitre le nombre de vibrations du pendule qu'on veut appliquer au rouage pendant le temps que l'on veut qu'une roue emploie à faire sa révolution. Supposons que ce temps soit une heure, et que le pendule batte les secondes ; c'est-à-dire que chaque vibration soit de la durée d'une seconde, une heure en contient 3600 : ainsi pendant la révolution de la roue qui fera un tour en une heure, le pendule fera 3600 vibrations, et ce nombre 3600 est le double du produit de tous les exposans 2 x r x s x t des roues et des pignons qu'il faut connaitre. Divisez le nombre 3600 par 2, il vient 1800, qui est le produit de trois grandeurs inconnues r, s, t, mais que l'on sait devoir aller en décroissant de r à t ; et que l'exposant r qui représente le rochet de la roue de rencontre, peut être double du triple de l'exposant s, qui ne doit surpasser le troisième t que d'une unité au plus.

Pour trouver ces trois inconnues, on suppose une valeur à la première r, et cette valeur est un nombre commode pour être un rochet, et est toujours un nombre impair pour une roue de rencontre. Supposant que r = 30, on le dégage facilement de l'équation 1800 = r s t, et on a pour la valeur s t, s t = 1800/30 = 60. Présentement, puisque s et t sont égaux ou presqu'égaux, en supposant t = s, on aura l'équation s s = 60 ; donc s = 60 : ainsi il faut extraire la racine carrée de 60 ; mais comme elle n'est pas exacte, on prend pour exposant la racine du carré le plus prochain, soit en-dessus ou en-dessous, et on divise le produit s t = 60 par cette racine, et le quotient est l'autre exposant, et le plus grand est celui que l'on met le premier : ainsi dans l'exemple, 64 est le carré le plus prochain de 60 ; sa racine est 8 ; on divise 60 par 8, il vient 7 4/8 pour l'autre exposant.

On les disposera tous en cette sorte :

2 x 30 x 8 x 7 4/8 = 3600

Présentement il faut trouver les pignons et les roues, ce qui n'est point difficile. Pour 7 4/8 on prendra 8 pour pignon, et pour roue huit fois l'exposant 7 4/8 ; ce qui fait 60. Pour l'exposant 8 on prendra un pignon 7, et la roue sera 56. La troisième roue, qui est le rochet, est toujours égale au premier exposant :

On doit observer, 1°. lorsque l'exposant est un mixte, que le pignon doit toujours être le dénominateur de la fraction du mixte, ou un multiple de ce dénominateur, s'il est trop petit pour être un pignon : 2°. que s'il y avait trois exposans s t u, non compris le rochet ou la roue de rencontre, on devrait extraire la racine cubique de leur produit : cette racine cubique ou celle du cube le plus prochain, sera un des exposans. (D)

CALCUL, (Médecine) Voyez PIERRE.