S. f. en Mathématique. La méthode des exclusions est une manière de résoudre les problèmes en nombre, en rejetant d'abord et excluant certains nombres comme n'étant pas propres à la solution de la question. Par cette méthode le problème est souvent résolu avec plus de promptitude et de facilité. M. Frenicle mathématicien fort habile, qui vivait du temps de Descartes, est un de ceux qui s'est le plus servi de cette methode d'exclusion. " M. Frenicle était le plus habile homme de son temps dans la science des nombres ; et alors vivaient MM. Descartes, de Fermat de Roberval, Wallis, et d'autres, qui égalaient ou peut-être surpassaient tous ceux qui les avaient précédés. La conjoncture du temps avait beaucoup aidé ces grands génies à se perfectionner dans cette science. Car la plupart des savants s'en piquaient alors ; et elle devint tellement à la mode, que non-seulement les particuliers, mais même les nations différentes se faisaient des défis sur la solution des problèmes numériques : ce qui a donné occasion à M. Wallis de faire imprimer en l'année 1658 le livre intitulé Commercium epistolicum, où l'on voit les défis que les Mathématiciens de France faisaient à ceux d'Angleterre ; les réponses des uns, les répliques des autres, et tout le procédé de leur dispute. Dans ces combats d'esprit, M. de Frenicle était toujours le principal tenant, et c'était lui qui faisait le plus d'honneur à la nation française.

Ce qui le faisait le plus admirer, c'était la facilité qu'il avait à résoudre les problèmes les plus difficiles, sans néanmoins y employer l'Algèbre, qui donne un très-grand avantage a ceux qui savent s'en servir. MM. Descartes, de Fermat, Wallis, et les autres, avaient bien de la peine avec toute leur algèbre, à trouver la solution de plusieurs propositions numériques, dont M. de Frenicle, sans l'aide de cette science, venait aisément à bout par la seule force de son génie, qui lui avait fait inventer une méthode particulière pour cette sorte de problèmes. Je vous déclare ingénument, dit M. de Fermat dans une de ses lettres imprimées dans le recueil de ses ouvrages, que j'admire le génie de M. de Frenicle qui sans l'Algèbre pousse si avant dans la connaissance des nombres ; et ce que j'y trouve de plus excellent, consiste dans la vitesse de ses opérations. M. Descartes ne l'admirait pas moins : son arithmétique, dit-il au père Mersenne, en parlant de M. de Frenicle, doit être excellente, puisqu'elle le conduit à une chose où l'analyse a bien de la peine à parvenir. Et comme le remarque l'auteur de la vie de M. Descartes, ce jugement est d'un poids d'autant plus grand, que M. Descartes était moins prodigue d'éloges, particulièrement en écrivant au P. Mersenne, à qui il avait coutume de confier librement ses pensées. Enfin l'on ne peut rien dire de plus avantageux que ce que le célèbre M. de Fermat, qui connaissait aussi-bien que personne la force de tous ceux qui se mêlaient alors de la science des nombres, dit dans une de ses lettres où, parlant de quelque chose qu'il avait trouvée : Il n'y a, dit-il, rien de plus difficile dans toutes les Mathématiques ; et hors M. de Frenicle, et peut-être M. Descartes, je doute que personne en connaisse le secret. De M. Descartes, il n'en est pas bien assuré ; mais il répond de M. de Frenicle.

Cette méthode si admirable qui va, dit M. Descartes, ou l'analyse ne peut aller qu'avec bien de la peine, est celle que M. de Frenicle, qui l'avait inventée appelait la méthode des exclusions. Quand il avait un problème numérique à résoudre, au lieu de chercher à quel nombre les conditions du problème proposé conviennent, il examinait au contraire à quels nombres elles ne peuvent convenir ; et procédant toujours par exclusion, il trouvait enfin le nombre qu'il cherchait. Tous les mathématiciens de son temps avoie une envie extrême de savoir cette méthode ; et entre autres M. de Fermat prie instamment le père Mersenne, dans une de ses lettres, d'en obtenir de M. de Frenicle la communication. Je lui en aurais dit-il, une très-grande obligation, et je ne ferais jamais difficulté de l'avouer. Il ajoute qu'il voudrait avoir mérité par ses services, cette faveur, et qu'il ne désespère pas de la payer par quelques inventions qui peut-être lui seront nouvelles.

Quelqu'instance que l'on en ait faite à M. de Frenicle, il n'a jamais voulu pendant sa vie donner communication de cette méthode : mais après sa mort elle se trouva dans ses papiers ; et c'est un des traités que l'on a donnés dans le recueil intitulé divers ouvrages de Mathématique et de Physique, par MM. de l'Academie royale des Sciences, à Paris 1693. Comme c'est une méthode de pratique, et qu'en fait de pratique on a bien plutôt fait d'instruire par des exemples que par des préceptes ; M. de Frenicle ne s'arrête pas à donner de longs préceptes pour tous les cas différents qui peuvent se rencontrer ; mais après avoir établi en peu de mots dix règles générales, il en montre l'application par dix exemples choisis et assez étendus ". Mém. de l'Acad. des Sciences 1693. p. 50, 51, 52. On ne dit ici rien davantage de cette méthode, parce qu'il serait difficile de donner en peu de paroles une idée assez claire de cette suite de dénombrements et d'exclusions, en quoi elle consiste : il la faut voir dans le livre même : d'ailleurs depuis que les méthodes de l'Algèbre sont devenues familières et ont été perfectionnées, elle n'est plus d'usage, et ne peut être que de simple curiosité. (O)