S. f. (Géométrie et Algèbre) division d'une chose en trois parties.

Ce terme est principalement employé en Géométrie pour la division d'un angle en trois parties égales.

La trisection géométrique des angles, telle que les anciens la demandaient, c'est-à-dire en n'employant que la seule règle et le compas, est un de ces problêmes qu'on a cherché en vain depuis plus de deux mille ans, et qui à cet égard, ainsi que la duplication du cube, peut être comparé à la quadrature du cercle.

La solution de ce problême dépend d'une équation du troisième degré. On en peut voir le calcul et le détail dans différents ouvrages, entr'autres dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie de M. Guisnei, et dans le dixième livre des sections coniques de M. le marquis de l'Hôpital. Nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire de la donner ici ; mais il sera bien plus utile pour nos lecteurs d'examiner pourquoi ce problême est du troisième degré.

Sait, fig. 13 d'Algèbre, un cercle A C B D ; on propose de diviser en trois parties égales l'arc A B, dont la corde est A B ; on nomme le rayon du cercle r, la corde A B, a, et la corde inconnue A C du tiers de l'arc x ; et on parvient, comme on le peut voir dans les ouvrages cités, à une équation qui monte au troisième degré, et dans laquelle x a trois valeurs réelles ; par conséquent le problême a trois solutions. Il parait cependant au premier coup d'oeil qu'il devrait n'en avoir qu'une ; car il n'y a certainement qu'une seule et unique valeur possible de la corde A C qui soutend le tiers de l'arc A B. Mais on fera réflexion que l'équation algébrique à laquelle on parvient, ne renferme point les arcs A B, A C, mais simplement leur corde ; et que par conséquent x n'est pas seulement la corde du tiers de l'arc A C B, mais la corde du tiers de tout arc qui a A B pour corde : or tous les arcs qui ont A B pour corde sont, en nommant C la circonférence, les arcs A C B, A C B + c, A B C + 2 c, A C B + 3 c, A C B + 4 c, A C B + 5 c, etc.

Et c - A C B ou A D B, 2 c - A C B, 3 c - A C B, 4 c - A C B, etc.

Maintenant je dis que la division de tous ces arcs en trois, fournit trois cordes différentes, et jamais plus de trois. Car 1°. soit le tiers de l'arc A C B, z, le tiers de l'arc A C B + c, y, le tiers de l'arc A C B + 2 c, u, cela donnera trois arcs différents qui auront chacun leurs cordes : voilà donc trois cordes différentes, et par conséquent les trois racines de l'équation. 2°. Il semblerait d'abord que le tiers des autres arcs doit avoir chacun sa corde, et que par conséquent le problême aurait une infinité de solutions ; mais on remarquera que l'arc A C B + 3 c a pour tiers c + z, dont la corde est la même que celle de y ; que l'arc A C B + 4 c a pour tiers c + z, dont la corde est la même que celle de y ; que l'arc A B C + 5 c a pour tiers c + u dont la corde est la même que celle de u, et ainsi de suite. De même on trouvera que A D B ou c - A C B a pour tiers c - u, parce que 3 c - 3 u = 3 c - 2 c - A B C. Or la corde de c - u est la même que celle de u. Par la même raison la corde du tiers de 2 c - A C B sera la même que celle de y, et celle de 3 c - A C B la même que celle de z, et ainsi de suite ; donc la division à l'infini de tous ces arcs en trois, donne trois cordes différentes, et n'en donne pas plus de trois. Voilà pourquoi le problême est du troisième degré.

Si on divisait un arc en quatre parties, on trouverait une équation du quatrième degré, et on pourrait prouver de la même manière qu'en effet cette division donne quatre cordes différentes, et jamais plus : la division d'un angle en cinq parties égales donnera par la même raison une équation du cinquième degré, et ainsi de suite. Il nous suffit d'avoir ici mis le lecteur sur la voie, il pourra trouver facilement de lui-même la démonstration générale. Elle est fondée sur ce que l'arc A C B étant divisé en n parties, la corde de la ne partie de n c + A C B sera la même que la corde de la ne partie de A C B. (O)