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Catégorie : Géométrie transcendante
adj. (Géométrie transcendante) Quantité exponentielle, est une quantité élevée à une puissance dont l'exposant est indéterminé et variable. Voyez EXPOSANT.

Il y a des quantités exponentielles de plusieurs degrés ou de plusieurs ordres. Quand l'exposant est une quantité simple et indéterminée, on l'appelle une quantité exponentielle du premier degré.

Quand l'exposant est lui-même une exponentielle du premier degré, alors la quantité est une exponentielle du second degré.

Ainsi zy est une exponentielle du premier degré, parce que la quantité y est une quantité simple : mais zxy est une quantité exponentielle du second degré, parce que Xe est une exponentielle du premier degré. De même zxyy est une exponentielle du troisième degré, parce que l'exposant xyyen est une du second.

Il faut remarquer de plus que dans les quantités exponentielles, la quantité élevée à l'exposant variable peut être constante comme dans y a, ou variable comme dans y x ainsi on peut encore à cet égard distinguer les quantités exponentielles en différentes espèces.

La théorie des quantités exponentielles est expliquée avec beaucoup de clarté dans un mémoire qu'on trouvera au tome I. du recueil des œuvres de M. J. Bernoulli, Lausanne 1743. Le calcul des quantités exponentielles, de leurs différentielles, etc. se nomme calcul exponentiel. On peut aussi voir les règles de ce calcul expliquées dans la première partie du traité du calcul intégral de M. de Bougainville. Au reste, c'est à M. Jean Bernoulli que la Géométrie doit la théorie du calcul exponentiel, branche du calcul intégral devenue depuis si féconde.

Outre les quantités exponentielles dont les exposans sont réels, il y en a aussi dont les exposans sont imaginaires ; et ces quantités sont surtout fort utiles dans la théorie des sinus et des cosinus des angles. Voyez SINUS.

La méthode générale pour trouver aisément les différentielles des quantités exponentielles, c'est de supposer ces exponentielles égales à une nouvelle inconnue, de prendre ensuite les logarithmes de part et d'autre, de différentier, et de substituer ; ainsi faisant yx = z, on aura x log. y = log. z ; donc dx x log. y + (x d y)/y = (d z)/z. Voyez LOGARITHME. Donc d z ou d (yx) = z d x log. y + (z x d y)/y = yx d x log. y + (x yx d y)/y. Donc si on a à différentier ax ; comme a est alors égal à y, et que d y = 0, on aura pour différentielle ax d x x log. a ; et ainsi des autres.

Courbe exponentielle, est celle qui est exprimée par une équation exponentielle. Voyez COURBE.

Les courbes exponentielles participent de la nature des algébriques et des transcendantes ; des premières, parce qu'il n'entre dans leur équation que des quantités finies ; et des dernières, parce qu'elles ne peuvent pas être représentées par une équation algébrique. Car dans les courbes à équations algébriques, les exposans sont toujours des nombres déterminés et constants, au lieu que dans les équations des courbes exponentielles les exposans sont variables. Par exemple, a y = Xe est l'équation d'une courbe algébrique ; y = ax est l'équation d'une courbe exponentielle ; cette équation y = ax signifie qu'une ordonnée quelconque y, est à une ordonnée constante que l'on prend pour l'unité, comme une constante a élevée à un exposant indiqué par le rapport de l'abscisse x à la ligne que l'on prend pour l'unité, est la ligne prise pour l'unité, élevée à ce même exposant. C'est pourquoi si on prend b pour cette ligne qui représente l'unité, l'équation y = ax réduite à une expression et à une traduction claire, revient à celle-ci y/b = ax/b/bx/b ; l'équation y = ax est celle de la logarithmique. Voyez LOGARITHMIQUE. De même y = Xe signifie y/b = xy/b/by/b ; et ainsi des autres.

Equation exponentielle, est celle dans laquelle il y a des quantités exponentielles, etc. Ainsi y = zx est une équation exponentielle.

On résoud les équations exponentielles par logarithmes, lorsque cela est possible. Par exemple, si on avait ax = b, x étant l'inconnue, on aurait x log. a = log. b et x = (log. b)/(log. a) ; de même si on avait a c(x + 2) + b cx + 1 + g cx = k, on en tirerait l'équation cx (a c 2 + b c + g) = k, et x logarith. c + logarith. (a c 2 + b c + g) = log. k ; d'où l'on tirera Xe Mais il y a une infinité de cas où on ne pourra trouver x que par tâtonnement, par exemple, si on avait ax + b 2 x = c, etc. Voyez LOGARITHME.

C'est par les équations exponentielles qu'on pratique dans le calcul intégral l'opération qui consiste à repasser des logarithmes aux nombres. Sait, par exemple, cette équation logarithmique x = log. y, supposant que c soit le nombre qui a pour logarithme 1, on aura 1 = log. c et x log. c = x = log. y. Donc (V. LOGARITHME) log. cx = log. y, et cx = y. (O)



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