S. f. (Arithmétique et Algèbre) L'extraction des racines est la méthode de trouver les racines des nombres ou quantités données. Voyez RACINE.

Le carré, le cube, et les autres puissances d'une racine ou d'un nombre, se forment de la multiplication de ce nombre par lui-même plus ou moins de fais, selon que la puissance est d'un degré plus ou moins élevé. Voyez PUISSANCE.

La multiplication forme les puissances, l'extraction des racines les abaisse, et les réduit à leurs premiers principes ou à leurs racines ; de sorte qu'on peut dire que l'extraction des racines est à la formation des puissances par la multiplication, ce que l'analyse est à la synthèse.

Ainsi 4 multiplié par 4, donne 16, carré de 4, ou produit de 4 par lui-même. 16 multiplié par 4, donne 64, cube de 4, ou produit de 4 par son carré. C'est ainsi que se forment les puissances.

Aussi la racine carrée de 16 est-elle 4 ; car 4 est le quotient de 16 divisé par 4 : la racine cubique de 64 est pareillement 4 ; car 4 est le quotient de 64 divisé par 16, carré de 4. C'est-là ce qu'on entend par l'extraction des racines.

Par conséquent extraire la racine carrée, cubique, etc. d'un nombre donné, par exemple, 16 ou 64, c'est la même chose que trouver un nombre, par exemple 4, qui multiplié une ou deux fais, etc. par lui-même, forme la puissance donnée. Voyez PUISSANCE. Harris et Chambers.

Extraction des racines carrée et cubique.

De la racine carrée. Extraire la racine carrée d'un nombre, c'est décomposer un nombre quelconque, de façon que l'on trouve un nombre moindre, lequel multiplié par lui-même, produise exactement le premier, ou du moins en approche le plus qu'il est possible. Cette règle est d'usage en plusieurs cas ; je me contente d'en rapporter un exemple, pour faire juger des autres. Un officier commande un détachement de 625 hommes, dont il veut faire un bataillon carré : pour cela il n'a qu'à extraire la racine carrée de 625 ; il trouvera, s'il a le temps et le talent, qu'il faut mettre 25 hommes de front et autant sur les côtés, c'est-à-dire qu'il faut mettre 25 rangs de 25 hommes chacun.

Sur quoi j'observe que l'extraction des racines étant proprement la décomposition d'un produit formé par une ou plusieurs multiplications, il faut considérer d'abord la génération de ce produit, et c'est ce que nous allons faire.

Si je multiplie 25 par 25, j'ai le carré 625. Que fais-je pour avoir ce produit ? je multiplie 2 dixaines et 5 unités par 2 dixaines et 5 unités ; et pour cela je prends d'abord le carré des unités, en disant 5 fois 5 ou 5 x 5 font 25.

je pose 5 et retiens 2 ; puis je multiplie une fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 5 x 2 font 10 et 2 retenus font 12, que je pose à gauche de mon 5.

Je multiplie une seconde fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 2 x 5 font 10, je pose 0 et retient 1. Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles-mêmes, ce qui me donne le carré de ces dixaines, en disant, 2 x 2 font 4, et 1 de retenue font 5, que je pose à gauche du 0. J'ajoute ces sommes, et j'ai le produit 625 dont on propose de tirer la racine carrée ; c'est-à-dire qu'il s'agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, a formé le carré 625. Mais avant que de commencer cette opération, on doit avoir la table suivante sous ses yeux, ou plutôt dans sa mémoire.

Cela posé, je partage mon nombre total 625 en deux tranches, comme l'on voit ci-à-côté. La première tranche à gauche qui pourrait avoir deux chiffres, peut aussi n'en avoir qu'un ; mais toutes les autres tranches à droite sont nécessairement de deux chiffres ; et pour le démontrer, prenons les plus petits chiffres possibles, par exemples 100. Si on multiplie 100 par 100, on aura le carré 1, 00, 00 en trois tranches, dont la première à gauche n'a qu'un chiffre, tandis que les autres en ont deux. Prenons à-présent les plus grands chiffres possibles, 999. Si on les multiplie par eux-mêmes, on aura le carré 99, 80, 01, qui fait trois tranches chacune de deux chiffres, et non davantage. Au surplus les différentes tranches, suivant le système de la progression décuple, expriment les unités, dixaines, centaines, etc. de la racine totale.

Ces premières notions une fois établies, je dis ; la racine carrée de 6 est 2 pour 4 ; voilà déjà nos dixaines trouvées ; je les pose en forme de quotient à côté de 625, comme l'on voit dans l'exemple : puis je les quarre en disant, 2 x 2 font 4, et je tire ce carré 4 de la première tranche 6, disant, 4 de 6 reste 2.

Il faut observer que ces deux dixaines dont j'ai formé le carré font 20 ; et qu'ainsi en disant 2 x 2 font 4, 4 de 6 reste 2, c'est comme si je disais 20 x 20 font 400, 400 de 600 reste 200.

Je baisse à-présent le 2 de la seconde tranche 25 : ce qui fait avec mon premier 2, résidu de mon 6, 22 ; Je m'attache ensuite à chercher le second chiffre de la racine totale ; et comme dans le produit de la multiplication ci-dessus exposée, j'ai employé deux fois les dixaines 2, autrement une fois 4 dixaines multipliées par les unités 5, j'y dois trouver la même somme ou quantité, en décomposant, pour l'extraction de la racine.

Je prends donc deux fois les dixaines 2, ce qui fait 4 dixaines : j'écris ce 4 sous le 2 de ma seconde tranche, et je dis : en 22 combien de fois 4 ? il y est 5 et reste 2, qui avec le 5 de la seconde tranche, que je n'ai point baissé, pour éviter l'embarras ; fait 25, c'est-à-dire le carré juste des unités 5 que je cherchais, et que je viens de trouver pour second chiffre de la racine totale 25 : je pose donc 5 en forme de quotient à côté du 2 déjà trouvé auparavant.

Je forme le carré 25 de ces unités 5 ; puis je multiplie les mêmes unités 5 par le double 4 des dixaines 2, et je tire ces deux produits de ma dernière tranche et du résidu de la première, c'est-à-dire de 225, ci ... 225

en disant 5 x 5 font 25, 25 de 25 reste 0

& retiens 2 ; 5 x 4 font 20 et 2 de retenus font 22, 22 de 22 reste 0. 000

Ces deux produits se tirant exactement sans aucun reste, je conclus que la racine carrée de 625 est tout juste 25. Pour dernière preuve je multiplie 25 par 25 ; et retrouvant le produit 625, je demeure pleinement convaincu que mon opération est exacte.

Mais voici une autre méthode que je préfère, à plusieurs égards. On commence l'opération à l'ordinaire pour la première tranche ; la différence ne parait qu'à la seconde, et elle est la même dans toutes les suivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos dixaines 2, c'est-à-dire 4 dixaines, et de dire, comme on fait communément, pour trouver le second chiffre d'une racine, en 22 combien de fois 4, il y est 5 ; ne prenons que la moitié 11 du nombre 22 ; ne prenons aussi que la moitié de nos 4 dixaines, c'est-à-dire, ne tirons qu'une fois nos dixaines 2 de notre moitié. 11. Ecrivons 2 sous 11 en cette sorte, ... 11

& disons, en 11 combien de fois 2, il

s'y trouve 5 fais, comme 4 s'est trouvé 5 fois en 22, 2 étant à 11 comme 4 à 22. 2

Je pose donc 5 pour second chiffre de la racine totale du carré 625 ; mais comme ce 5 pourrait quelquefois être trop fort, je le pose séparément, comme chiffre que je dois éprouver : et alors, pour vérifier s'il est bon, et sans examiner si je pourrai tirer du dernier résidu le carré 25 des unités 5, carré qui doit encore se trouver en 625, puisqu'il y est entré par la multiplication ; je procede tout de suite à la preuve : pour cela je multiplie 25 par 25 ; et trouvant au produit 625, je m'assure que la racine carrée de 625 est tout juste 25.

Si la somme à décomposer, ou dont on cherche la racine, au lieu de 625 n'était, par exemple, que 620, pour lors le procédé donnerait encore 25 pour racine totale ; mais venant à la preuve, et multipliant 25 par 25, on aurait le produit 625 plus fort que 620 : on verrait par-là que le chiffre à éprouver 5, qu'on aurait mis pour second chiffre de la racine totale, serait un peu trop fort. On mettrait donc 4, et l'on en ferait l'épreuve en multipliant 24 par 24 ; on tirerait le carré 576 de 620, en cette sorte, ... 620

& l'on verrait pour lors avec certitude

que la racine carrée de 620 est 24, outre

le résidu 44, qui fait une espèce de fraction dont il ne s'agit pas ici.

576 44

Si après avoir mis 4 pour second, troisième, quatrième chiffre d'une racine, ce 4 se trouvait encore trop fort par l'épreuve qu'on en ferait, alors au lieu de 4 on ne mettrait que 3, et l'on viendrait à la preuve, comme on a Ve ci-dessus.

Cette manière d'extraire est préférable, en ce qu'elle diminue les nombres sur lesquels on opere, et qu'il y a toujours moins à tâtonner. C'est-là proprement l'avantage de cette méthode, laquelle est surtout bien commode pour l'extraction de la racine cubique, où elle abrège beaucoup l'opération ; c'est pourquoi il est bon de s'y accoutumer dès la racine carrée, il est plus facîle de l'employer ensuite dans l'extraction de la racine cubique.

Au reste la démonstration qu'on vient de voir de l'extraction de la racine carrée, et que je n'applique ici qu'à un carré de deux tranches dont la racine ne contient que des dixaines et des unités ; cette démonstration, dis-je, convient également à un nombre plus grand, dont la racine contiendrait des centaines, des mille, etc. en y appliquant les décompositions et les raisonnements qu'on a vus ci-dessus. Il suffit, en Arithmétique, de convaincre et d'éclairer l'esprit sur les propriétés et les rapports des petits nombres que l'on découvre par-là plus facilement, et qui sont absolument les mêmes dans les plus grands nombres, quoique plus difficiles à débrouiller.

D'ailleurs je n'ai prétendu travailler ici que pour les commençans, qui ne trouvent pas toujours dans les livres ni dans les explications d'un maître de quoi se satisfaire, et je suis persuadé que plusieurs verront avec fruit ce que je viens d'exposer ci-dessus. Si quelques-uns n'en ont pas besoin, je les en félicite, et les en estime davantage.

Le plus grand résidu possible d'une racine carrée, est toujours le double de la racine même ; ainsi la racine carrée de 8 étant 2 pour 4, le plus grand résidu possible de la racine 2 est 4, double de 2.

La racine carrée de 15 étant 3 pour 9, le plus grand résidu possible de la racine 3 est 6, double de 3.

La racine carrée de 24 étant 4 pour 16, le plus grand résidu possible de la racine 4 est 8, double de 4, et ainsi de tous les autres cas.

De la racine cubique. On peut dire à-peu-près de la racine cubique ce que nous avons dit de la racine carrée ; extraire la racine cubique, c'est décomposer un nombre quelconque, de façon que l'on trouve un nombre moindre, lequel étant multiplié d'abord par lui-même, et ensuite par son carré, ou par le produit de la première multiplication, donne exactement le premier nombre proposé, ou du moins en approche le plus qu'il est possible. Ainsi extraire la racine cubique de 15625, c'est trouver par une décomposition méthodique la racine cubique 25, laquelle étant multipliée d'abord par elle-même, produit le carré 625, et multipliée une seconde fois par son carré 625, forme le cube 15625.

On a trouvé, en examinant les rapports et la progression des nombres, que cette multiplication double de 25 par 25, et de 25 par son carré 625, produit premièrement le cube des dixaines 2 du nombre proposé 25 ; cube qui fait 8000, parce que le 2 dont il s'agit est 20. Or 20 x 20 font le carré 400, 20 x 400 font le cube 8000.

Secondement, cette cubification produit le triple du carré des dixaines 2, multiplié par les unités 5, ce qui fait 6000 ; et cela, parce que le 2 dont il s'agit est véritablement 2 dixaines 20. Or en le quarrant, et disant 20 x 20, on a 400, en triplant ce carré 400, on a 1200, en multipliant ce produit 1200 par les unités 5, on a 6000.

Traisiemement, cette cubification de 25, et ainsi à proportion de toute autre, produit le triple 60 des dixaines 2 ; triple 60 multiplié par le carré 25 des unités 5, ce qui fait 1500.

Enfin cette cubification produit le cube 125 des unités 5. Ces quatre produits partiels, savoir :

Au reste la génération de ces divers produits est plus difficîle à démontrer dans les deux multiplications que l'on emploie pour former un nombre cube, que dans la seule multiplication que l'on emploie pour former un nombre carré. La raison en est, que dans ces deux multiplications les produits partiels se confondant entr'eux, et rentrant les uns dans les autres, on ne les découvre guère que par la décomposition, au moins tant qu'on emploie l'arithmétique vulgaire.

On sait par la pratique et par l'examen, que ces divers produits résultent nécessairement de ces deux multiplications par une propriété qui leur est essentielle, et qui suffit, lorsqu'elle est connue, pour convaincre et pour éclairer. Il ne s'agit donc que de savoir procéder à la décomposition d'un nombre quelconque, et d'en tirer ces différents produits d'une manière facîle et abrégée, ce qui a son utilité dans l'occasion.

Par exemple, on dit qu'un bloc de marbre carré de tous sens a 15625 pouces cubes ; et sur cela on demande quelle est sa longueur, largeur, et profondeur. Je le trouve, en tirant la racine cubique de 15625. Pour cela je partage ce nombre en deux tranches, dont la première à gauche n'a que deux chiffres, la seconde en a trois. La première tranche à gauche peut avoir trois, ou deux, ou même un seul chiffre ; mais les suivantes doivent toujours être complete s, et toujours de trois chiffres, ni plus ni moins : c'est ce que l'on peut vérifier aisément par le produit cubique des nombres 100 et 999 ; produit qui donne d'un côté 1, 000, 000, et de l'autre 997, 002, 999.

Je dis donc, la racine cubique de 15 est 2 pour 8 ; j'écris 2 en forme de quotient, comme l'on voit ci-à-côté ; puis je tire de la première tranche 15 le cube de ce 2, en disant 2 x 2 font 4, 2 x 4 font 8, c'est-à-dire 8 mille : or 8 mille tirés de 15 mille, reste 7 mille que j'écris au-dessous de 15, comme l'on voit dans l'exemple.

Ensuite, pour trouver le second chiffre de la racine totale, et ainsi du troisième, quatrième, etc. en supposant le nombre à décomposer beaucoup plus grand, je baisse le 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la première à gauche fait 76 ; puis je prents 12 triple du carré du premier chiffre trouvé 2, j'écris ce nombre 12 sous 76 ; et je dis, en 76 combien de fois 12, il y est 6 pour 72, et reste 4, lequel avec les 25 qui restent de la seconde tranche, fait 425, sur lesquels je dois tirer le triple du premier chiffre 2 dixaines, c'est-à-dire 60 multiplié par le carré 36 du second chiffre trouvé, ou chiffre éprouvable 6, dont le produit 2160 ne se peut tirer du reste 425, sans parler du cube 216 du même chiffre 6 ; cube qui devrait encore être contenu dans le reste 425.

Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j'ai trouvé pour second chiffre de la racine totale, et que j'avais mis à part, ne convient en aucune sorte. J'éprouve donc le chiffre 5 ; et pour cela je dis 5 x 12 font 60, 60 tirés de 76, reste 16, lesquels avec le reste 25 de la seconde tranche font 1625

Je forme à présent le triple du premier chiffre 2 dixaines, c'est-à-dire 60 multiplié par le carré 25 du second chiffre 5, je tire le produit 1500 de 1625, après quoi reste 125 ; ce qui fait justement le cube des unités 5, que je dois encore tirer.

Je vois par-là que la racine cubique du nombre 15625 est 25 sans reste, et qu'ainsi je puis poser 5 en forme de quotient pour second chiffre de la racine totale.

Pour dernière preuve je prends le cube de 25 ; et retrouvant 15625, je ne puis plus douter que mon opération ne soit exacte.

Mais sans tirer tous ces produits partiels ensemble ou séparément, on peut prendre un chemin plus court, comme on l'a marqué en parlant de la racine carrée ; on dira donc, en se servant du nombre proposé, la racine cubique de 15 est 2 pour 8 ; j'écris 2 en forme de quotient, j'en forme le cube 8 que je tire de la première tranche 15, en disant 2 x 2 font 4, 2 x 4 font 8 ; 8 de 15, reste 7. Voilà l'opération faite pour la première tranche, et le cube du premier chiffre 2 tiré.

Pour trouver maintenant le second chiffre de la racine totale, et ainsi du troisième, quatrième, etc. en supposant le nombre proposé plus grand : je ne triple point, comme ci-devant, le carré 4 du premier chiffre 2, ce qui ferait 12. Je ne prents que le tiers de cette somme, c'est-à-dire que je prents simplement le carré 4 du chiffre 2, sans le tripler. En récompense, et pour conserver la proportion, après avoir baissé le premier chiffre 6 de la seconde tranche, lequel avec le 7 résidu de la première fait 76 : je n'en prents que le tiers 25 ; de même qu'au lieu de 12, je ne prents que 4 ; j'écris ce 4 sous 25, comme on voit ci-dessus ; et pour lors je dis, en 25 combien de fois 4, il y est 6, comme 12 est six fois en 76. Je pose donc 6 pour second chiffre de ma racine ; mais comme 6 n'est proprement qu'un chiffre à éprouver, dont je ne suis pas sur ; je le pose à l'écart pour m'en souvenir, et je fais mon épreuve.

Ayant donc trouvé 26 pour racine totale, je vois bien qu'il y a un résidu dans le nombre proposé : résidu qui doit satisfaire aux deux autres produits que je néglige de tirer : savoir le triple du premier chiffre 2 dixaines, ou 60 multiplié par le carré 36 du chiffre à éprouver 6 ; plus le cube 216 du même 6. Mais encore un coup je néglige la formation et la soustraction de ces derniers produits qui sont les moins considérables ; et dès que j'ai trouvé un nombre pour le second, troisième, ou quatrième chiffre d'une racine, je procede à la cubification de tous les chiffres que j'ai trouvés pour racines ; et je tire le produit, s'il est possible, de toutes les tranches dont j'ai fait l'extraction.

Ainsi, dans l'exemple proposé ayant trouvé 26, je cubifie 26, c'est-à-dire que je multiplie 26 par lui-même, et que je multiplie ensuite le carré 676 par le même 26 ; et trouvant alors 17576 pour cube de 26, je vois que je ne le saurais tirer de mes deux tranches 15625, ce qui m'est une preuve que le chiffre à éprouver 6 de la racine trouvé 26 est trop fort. Je prents alors le chiffre inférieur 5 pour l'éprouver, ce qui fait la racine totale 25. Je cubifie ce dernier nombre 25 ; et trouvant le produit ou le cube 15625, qui se peut tirer sans reste des deux tranches 15-625, je vois avec évidence que la racine cubique de 15625 est tout juste 25.

Si le nombre proposé au lieu de 15625, n'était que 15620, le procédé donnerait encore 25 pour racine ; mais alors le cube 15625 de la racine 25, ne se pouvant tirer de 15620, je verrais évidemment que 25 n'est pas au juste la racine cubique de 15620 ; je mettrais donc pour second chiffre 4 au lieu de 5, ce qui ferait 24 pour racine totale ; je l'éleverais au cube, et je tirerais le cube 13824 de 15620 ; et pour lors je verrais, à n'en pouvoir douter, que la racine cubique de 15620 est 24, outre le reste 1796, lequel fait une espèce de fraction dont on peut tirer la racine cubique par des procédés connus ; mais dont je ne parlerai point ici, pour ne pas allonger davantage ce morceau qui paraitra peut-être déjà trop étendu.

Au reste, ce qu'on vient d'exposer ici sur de petits nombres, peut s'appliquer à tous les autres cas, et pourra même répandre quelque lumière sur ces opérations difficiles que je n'ai point encore vues traitées d'une manière satisfaisante, et que j'ai fait comprendre à des enfants de dix ans par le seul moyen de l'arithmétique employée ci-dessus.

Le plus grand résidu possible d'une racine cubique est la racine elle-même multipliée par 6, et outre cela le plus grand résidu possible de la racine immédiatement inférieure. Par exemple, la racine cubique de 26 étant 2 pour 8, le résidu 18 est le plus grand résidu possible de la racine 2. Or ce résidu est formé du sextuple 12 de la racine 2, et du plus grand résidu possible 6 de la racine inférieure.

La racine cubique de 63 étant 3 pour 27, le résidu 36 est le plus grand résidu possible de la racine 3 ; or ce résidu est formé du sextuple 18 de la racine 3, et du plus grand résidu possible 18 de la racine inférieure 2.

La racine cubique de 124 étant 4 pour 64, le résidu 60 est le plus grand résidu possible de la racine 4 ; or ce résidu est formé du sextuple 24 de la racine 4, et du plus grand résidu possible 36 de la racine inférieure 3 ; et ainsi des autres. Cet article est de M. FAIGUET, maître de pension à Paris.

Lorsqu'un nombre n'a pas de racine exacte, il est facîle d'approcher aussi près qu'on veut de la racine par le moyen du calcul décimal, sur quoi voyez les articles APPROXIMATION et DECIMAL. Il ne s'agit que d'ajouter au nombre proposé un certain nombre de zéros, et d'extraire ensuite la racine à l'ordinaire.

Il y a des cas, tels que ceux où la racine n'est pas exacte, où il est plus commode d'indiquer l'extraction. Alors on se sert de ce signe , auquel on ajoute l'exposant de la puissance, s'il ne s'agit pas de la puissance seconde, car dans ce cas on le sousentend quelquefois. Ainsi ou signifient racine carrée ; , racine cubique, etc. Voyez RACINE.

Au lieu d'extraire la racine carrée-quarrée, on peut extraire deux fois la carrée, parce que = . Au lieu d'extraire la racine cubo-cubique, on peut extraire la racine cubique, et ensuite la racine carrée, car = . Il y en a qui n'appellent point ces racines cubo-cubiques, mais quadrato-cubiques. Il faut observer la même règle dans les autres cas, où les exposans des puissances ne sont pas des nombres premiers entr'eux.

Preuve de l'extraction des racines. 1°. Preuve de la racine carrée. Multipliez la racine trouvée par elle-même ; ajoutez au produit le reste, s'il y en a un ; et dites que l'opération a été bien faite, si vous avez une somme égale à celle dont on vous avait proposé d'extraire la racine carrée.

2°. Preuve de la racine cubique. Multipliez la racine trouvée par elle-même, et le produit par la racine. Ajoutez à ce dernier produit le reste, s'il y en a un ; et concluez que l'extraction a été bien faite, s'il vous vient une somme égale à celle dont vous aviez à extraire la racine cubique.

Il n'y a point d'extractions de racine, dont la preuve ne se fasse de cette manière.

Extraire les racines des quantités algébriques. Le signe radical annonce seul d'une manière évidente l'extraction des racines des quantités algébriques simples. Ainsi est a, est ac, est 3 ac, est 7 a a Xe Pareillement a4/c c est a a/c, a4 b b/c c est a a b/c, 9 a a z z/25 b b est 3 a z /5 b, 4/9 est 2/3, est 2 b2/3 a, et a a b b est a b. On a aussi b a a c c ou b x a a c c = b x ac = abc ; et 3 c 9 a a z z/25 b b = 3 c X 3 a z/5 b = 9 a c z/5 b, et /c 4 b b x4/81 a a = /c X 2 b x x/9 a ou 2 a b x x + 6 b x3/9 a c. Je dis que dans ces cas l'extraction est évidente ; parce qu'on voit du premier coup-d'oeil que les quantités proposées ont été engendrées par la multiplication des racines qu'on leur attribue, et que a a = a x a, a a c c = a c x a c, 9 a a c c = 3 a c x 3 a c, etc. Mais lorsque les quantités algébriques sont complexes ou sont composées de plusieurs termes, alors l'extraction s'en fait comme celle des nombres.

Sait proposé d'extraire la racine carrée de a a + 2 a b + b b. Ecrivez d'abord à la racine la racine carrée du premier terme a a, savoir a. Soustrayez le carré de a, il restera 2 a b + b b. Pour trouver le reste de la racine, divisez le second terme 2 a b, par le double de a ou par 2 a ; et dites en 2 a b, combien de fois 2 a, vous trouverez b de fois ; b sera donc le second terme de la racine cherchée. Multipliez b par 2 a + b, et soustrayez le produit. La soustraction faite, il ne reste rien : d'où il s'ensuit que a + b est la même racine exacte de a a + 2 a b + b b.

a a + 2 a b + b b | a + b

- a a

0 + 2 a b + b b

- 2 a b - b b

0 0

Sait proposé d'extraire la racine carrée de a4 + 6 a3 b + 5 a a b b - 12 a b3 + 4 b4. Mettez d'abord au quotient la racine carrée a a du premier terme a4. Soustrayez le carré de a a, il restera 6 a3 b + 5 a a b b - 12 a b3 + 4 b4. Dites en 6 a3 b, combien de fois 2 a a, vous trouverez 3 a b ; écrivez donc 3 a b à la racine. Multipliez 3 a b par 2 a a + 3 a b, et soustrayez le produit 6 a3 b + 9 a a b b. La soustraction faite, il restera - 4 a a b b - 12 a b5 + 4 b4. Continuez l'opération, et dites derechef en - 4 a a b b - 12 a b3, combien de fois 2 a a + 6 a b, ou le double des deux premiers termes, vous trouverez - 2 b b. Ecrivez donc à la racine - 2 b b ; multipliez - 2 b b par 2 a a + 6 a b - 2 b b, et soustrayez ce produit. La soustraction faite, il ne restera plus rien.

D'où il s'ensuit que la racine cherchée est a a + 3 a b - 2 b b. Voici l'opération tout au long.

a4 + 6 a3 b + 5 a a b b - 12 a b3 + 4 b4 | a a + 3 a b - 2 b b

- a4___

0 - 6 a3 b + 5 a a b b - 12 a b3 + 4 b4

+ 6 a3 b - 9 a a b b_____________

0 - 4 a a b b - 12 a b3 + 4 b4

+ 4 a a b b +12 a b3 - 4 b4

0 0 0______________________________________________

Pareillement la racine carrée de x x - a x + 1/4 = x - 1/2 ; celle de y4 + 4 y3 - 8 y + 4 = 2 y + 2 y - 2 ; celle de 16 a4 - 24 a a x x + 9 Xe + 12 bb Xe - 16 aa bb + 4 b4 = 3 Xe - 4 aa + 2 bb : comme il parait par ce qui suit.

x x - a x + 1/4 a a | x - 1/2 a

- x x__

0 - a x + 1/4 a a_________________

0 0___________________________________________________________

9 Xe - 24 a2 Xe + 16 a4

+ 12 b2 Xe - 16 a a b b | 3 Xe - 4 a a + 2 b b

+ 4 b4

- 9 x4__________________

0 - 24 a2 a2 + 16 a4

+ 12 b2 Xe - 16 a2 b b

+ 4 b4______

0 0______________________________________________________________

y4 + 4 y3 - 8 y + 4 | y y + 2 y - 2

- y4_________________________

0 + 4 y3 + 4 y y______________

0 - 4 y y

- 4 y y - 8 y + 4_______

0 0 0________________________________________________________

Sait proposé d'extraire la racine cubique de a 3 + 3 a a b + 3 a b b + b 3. Voici comment cette opération se fait,

__a3 + 3 a a b + 3 a b b + b3 | a + b

_- a3___________________

3 a a | + 3 a a b | b_____

a3 + 3 a a b + 3 a b b + b3

0 0 0_______________________________________________________

Extrayez la racine cubique du premier terme a3, et vous aurez a ; mettez donc a à la racine. Soustrayez le cube de a ou a3, il restera 3 a a b + 3 a b b + b3. Dites : combien de fois le carré de a multiplié par 3, est-il dans 3 aab ? Il vous viendra b de fois ; écrivez donc b à la racine. Soustrayez de a3 + 3 a a b + 3 a b b + b3, le cube de a + b. La soustraction faite, il ne vous restera plus rien ; donc a + b est la racine que vous cherchiez. Pareillement z + 2 z - 4 sera la racine cubique de z6 + 6 z5 - 40 z3 + 96 z - 64 ; et ainsi des racines des puissances plus élevées. (E)

Sur l'extraction des racines des équations, voyez CAS IRREDUCTIBLE, EQUATION, RACINE, etc.

On peut extraire facilement par logarithmes les racines des quantités numériques ; c'est la méthode de tous les calculateurs. Voyez LOGARITHME.

Extraire la racine d'une quantité irrationnelle. Sait, par exemple, 3 - 2 2, dont on veut extraire la racine carrée, on supposera que x - y soit la racine cherchée, et on aura x x + y - 2 x y = 3 - 2 2 ; et faisant les parties rationnelles égales aux rationnelles, et les irrationnelles aux irrationnelles, on aura x x + y = 3, x y = 2 ; d'où l'on tire Xe = 2/ y, et 2/ y + y = 3 ; donc y y - 3 y = - 2, et y = 3/2 ± 1/2 = 1 ou 2 ; donc Xe = 1 ou 2 ; donc 1 - 2, ou 2 - 1, est la quantité cherchée. On peut appliquer cette méthode aux cas plus composés. Voyez la science du calcul du P. Reyneau, l'Analyse démontrée du même auteur, l'Algèbre de M. Clairaut, et d'autres ouvrages.

C'est par cette méthode d'extraire les racines des quantités irrationnelles, qu'on trouve souvent la racine commensurable d'une équation du troisième degré ; car + exprimant la racine d'une telle équation, si on trouve x + y pour la racine cubique de a + b, x - y sera la racine cubique de a - b ; ainsi la racine cherchée de l'équation sera 2 x ; mais lorsque la racine est commensurable, il est plus court de la chercher par le moyen des diviseurs du dernier terme.

En général l'artifice de la méthode pour extraire les racines des quantités irrationnelles, c'est de les supposer égales à un polynome composé de radicaux et de quantités rationnelles inconnues, selon qu'on le jugera le plus convenable. On formera ensuite autant d'équations qu'on aura pris d'inconnues, et chacune de ces équations doit avoir des racines commensurables, si le polynome qui représente la racine a été bien choisi. Ainsi la résolution de ces équations n'aura aucune difficulté.

Au reste le mot extraction se dit plus proprement et plus ordinairement de l'opération par laquelle on trouve les racines des quantités algébriques ou numériques, que de celle par laquelle on trouve les racines des équations, le mot racine ayant deux sens très-différents dans ces deux cas. Voyez RACINE. (O)

EXTRACTION ou DESCENDANCE, en Généalogie, signifie la souche ou la famille dont une personne est descendue. Voyez DESCENDANCE et GENEALOGIE. Il faut qu'un candidat prouve la noblesse de son extraction, pour être admis dans quelqu'ordre de chevalerie ou dans certains chapitres, etc. Voyez CHEVALIER, ORDRE, etc.

EXTRACTION, NAISSANCE ou GENEALOGIE, Voyez NAISSANCE et GENEALOGIE.

EXTRACTION, en Chirurgie, est une opération par laquelle, à l'aide de quelqu'instrument ou de l'application de la main, on tire du corps quelque matière étrangère qui s'y était formée, ou qui s'y est introduite contre l'ordre de la nature.

Telle est l'extraction de la pierre, qui se forme dans la vessie ou dans les reins, etc. Voyez PIERRE. Voyez aussi LYTHOTOMIE.

L'extraction appartient à l'exérèse, comme l'espèce à son genre. Voyez EXERESE et CORPS ETRANGERS.

EXTRACTION, (Chimie) L'extraction est une opération chimique par laquelle on sépare d'un mixte, d'un composé ou d'un sur-composé, un de leurs principaux constituans, en appliquant à ces corps un menstrue convenable. Cette opération a été appelée par plusieurs chimistes, solution partiale. L'extraction est le moyen général par lequel s'exécute cette analyse si utîle à la découverte de la constitution intérieure des corps, que nous avons célébrée dans plusieurs articles de ce Dictionnaire, sous le nom d'analyse menstruelle. Voyez ANALYSE MENSTRUELLE, au mot MENSTRUE. (b)