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Catégorie : Analyse
S. f. (Analyse) on entend par ce mot la transposition qu'on fait des parties d'un même tout, pour en tirer les divers arrangements dont elles sont susceptibles entr'elles. Comme si l'on cherchait en combien de façons différentes on peut disposer les lettres d'un mot, les chiffres qui expriment un nombre, les personnes qui composent une assemblée, &c.

Il ne faut donc pas confondre la permutation avec la combinaison. Dans celle-ci, le tout est en quelque sorte démembré, et l'on en prend les différentes parties 1 à 1, 2 à 2, etc. Dans celle-là le tout conserve toujours son intégrité, et l'on ne fait que faire changer d'ordre aux différentes parties qui le constituent.

Pour trouver toutes les permutations possibles d'un nombre quelconque de termes, il ne s'agit que d'un procédé très-simple et très-facile, lequel porte avec soi sa démonstration.

Il est clair qu'un seul terme a ne peut avoir qu'un arrangement.

Si l'on ajoute un second b, on le peut mettre devant ou après a ; ce qui donne deux arrangements b a ab : c'est-à-dire 1 (qu'on avait déjà pour le premier cas) x 2 (quantième du nouveau terme).

Si l'on prend un 3e terme c, il peut occuper trois places dans le b a, et autant dans a b, ce qui donne

c'est-à-dire 2 (résultat du cas précédent) x 3 (quantième du nouveau terme).

Un quatriéme terme d pourra occuper quatre places dans chacun de ces six derniers arrangements ; ce qui en donnera 4 fois six, ou 24 nouveaux : c'est-à-dire 6 (résultat du cas précédent) x 4 (quantiéme du nouveau terme).

On voit, sans qu'il soit besoin de pousser plus loin l'induction, qu'un cinquiéme terme e donnerait ou 120 arrangements, et ainsi de suite à l'infini.

En général le nombre des permutations pour n termes n'étant que celui de termes x n, comme celui de termes est celui de et termes , et ainsi de suite en remontant jusqu'à 1 ; il résulte que pour trouver de combien de permutations est susceptible un nombre quelconque u de termes, il faut faire le produit continu des termes de la progression naturelle, depuis et y compris 1 jusqu'à ce terme n inclusivement. 1 x 2 x 3 x 4...... x n.

On a supposé jusqu'ici qu'aucun des termes dont on cherche les permutations n'était répété, ou ce qui est la même chose, qu'ils n'avaient tous qu'une seule dimension, et que leur exposant commun était l'unité. Si la chose était autrement, supposons que a représente l'exposant du premier terme, b celui du second, c celui du troisième, et ainsi de suite jusqu'au dernier.

D'abord, n, dans la formule ci-dessus, ne sera plus simplement le nombre des termes, mais la somme de leurs exposans.

De plus cette forme ne doit être considérée que comme le numérateur d'une fraction, à laquelle on donnera pour dénominateur le produit continu d'autant de produits particuliers qu'il y a d'exposans ou de termes ; et chacun de ces produits particuliers sera le produit continu des nombres naturels poussé jusqu'à celui inclusivement qui exprime l'exposant du terme correspondant, en sorte que la formule absolument générale sera



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