S. m. se dit en Mécanique et en Physique, des effets qui se font dans le même temps, c'est-à-dire, qui commencent et qui finissent en temps égaux.

Ce mot vient des mots grecs , idem, le même, et , temps.

Les vibrations d'un pendule, lorsqu'elles n'ont pas beaucoup d'étendue, sont sensiblement tautochrones, c'est-à-dire, se font en temps égaux. Voyez VIBRATION.

TAUTOCHRONE, COURBE, en Mécanique, est une courbe QAB, (fig. Méch.) dont la propriété est telle, que si on laisse tomber un corps pesant le long de la concavité de cette courbe, il arrivera toujours dans le même temps au point le plus bas A, de quelque point qu'il commence à partir, de sorte que s'il met par exemple, une seconde à venir de B en A, il mettra pareillement une seconde à venir de C en A, s'il ne commence à tomber que du point C, et de même une seconde à venir de M en A, s'il ne commence à tomber que du point M, et ainsi de tous les autres points.

On appelle encore courbe tautochrone une courbe telle que si un corps pesant part de A avec une vitesse quelconque, il emploie toujours le même temps à remonter le long de l'arc AM, ou AC, ou AB, lequel arc sera d'autant plus grand, que la vitesse avec laquelle il est parti de A est plus grande.

On nomme la première espèce tautochrones, tautochrones en descendant, et la seconde espèce, tautochrones en montant.

M. Huygens a trouvé le premier que la cycloïde était la tautochrone dans le vide, soit en montant, soit en descendant, en supposant la pesanteur uniforme. Voyez son horologium oscillatorium.

MM. Newton et Herman ont aussi trouvé les tautochrones dans le vide, en supposant que la gravité tendit vers un point, et fût réglée suivant une loi quelconque.

Pour ce qui regarde les tautochrones dans les milieux résistants, M. Newton a aussi fait voir que la cycloïde était encore la tautochrone, soit en montant, soit en descendant, lorsque le milieu résiste en raison de la simple vitesse. Voyez le II liv. des principes mathématiques, prop. xxvj. et on pourrait démontrer ce que personne que je sache, n'a encore fait, que la cycloïde serait aussi la tautochrone dans un milieu dont la résistance serait constante. Il est vrai que le point où les chutes tautochrones se terminent, ne serait pas alors le point plus bas, ou le sommet de la cycloïde, mais un point placé entre le sommet de la cycloïde et son origine.

M. Euler est le premier qui ait déterminé la tautochrone dans un milieu résistant, comme le carré de la vitesse. Voyez les mém. de l'acad. de Pétersbourg, t. IV. son mémoire est du mois d'Octobre 1729 ; et dans les mém. de l'acad. des Sciences de Paris, pour l'année 1730, on trouve un mémoire de M. Jean Bernoully, où il résout le même problême. On n'attend pas de nous que nous entrions sur ce sujet dans un détail qui ne pourrait être à portée que des seuls géomètres. M. Euler a continué cette matière dans le II. vol. de sa mécanique, imprimée à Pétersbourg 1736, et on y trouve un grand nombre de très-beaux problêmes sur ce sujet.

Enfin M. Fontaine a donné dans les mém. de l'acad. de 1734, un écrit sur cette matière, dans lequel il résout ce problême par une méthode toute nouvelle, et au moyen de laquelle il découvre la tautochrone dans des hypothèses de résistance, où on ne peut la trouver par d'autres méthodes. Nous croyons devoir saisir cette occasion de faire connaître aux géomètres un si excellent ouvrage, qu'on peut regarder comme un des plus beaux qui se trouvent parmi les mémoires de l'académie des Sciences de Paris. C'est ce que nous ne craignons point d'assurer après avoir lu ce mémoire avec attention, et nous pourrions nous appuyer ici du témoignage que lui a rendu un géomètre célèbre, qui a travaillé sur cette matière fort longtemps, et avec beaucoup de succès.

Lorsque le milieu ne résiste point, ou que la résistance est constante, la tautochrone est assez facîle à trouver, parce qu'il ne s'agit alors que de trouver une courbe AM, telle que la force accelératrice qui meut le corps en chaque point M soit proportionnelle à l'arc AM ; c'est ce qu'on trouve démontré dans plusieurs ouvrages. Quelques géomètres ont voulu appliquer cette méthode à la recherche des tautochrones dans des milieux résistants, et se sont imaginés les avoir trouvées. Mais il faut prendre garde que quand le milieu est résistant comme une puissance ou une fonction quelconque de la vitesse, la force accélératrice se combine alors avec la résistance, qui est plus ou moins grande, selon que la vitesse l'est plus ou moins. Ainsi, pour un même point M la force accélératrice est différente, selon que le corps a plus ou moins de vitesse en ce point, c'est-à-dire, selon qu'il est tombé d'un point plus ou moins élevé. On ne saurait donc supposer alors qu'en général la force accélératrice M son proportionnelle à l'arc A M. Nous avons cru devoir avertir de cette erreur, où pourraient tomber des géomètres peu attentifs en voulant résoudre ce problème. (O)

TAUTOCHRONE