S. m. (Mécanique) est un corps pesant, suspendu de manière à pouvoir faire des vibrations, en allant et venant autour d'un point fixe par la force de la pesanteur. Voyez VIBRATION.

La pesanteur est l'unique cause des vibrations du pendule. Si le corps était absolument libre, et abandonné à lui-même, il descendrait vers la terre par la force de sa gravité, autant qu'il lui serait possible, mais étant attaché par un fil, il ne peut obéir qu'en partie à l'effort de sa gravité, et il est contraint de décrire un arc de cercle.

Les vibrations, c'est-à-dire, les descentes et les remontées alternatives du pendule s'appellent aussi oscillations. Voyez OSCILLATION.

Le point autour duquel le pendule fait ses vibrations, est appelé centre de suspension ou de mouvement. Voyez CENTRE. Une ligne droite, qui passe par le centre parallélement à l'horizon apparent, et perpendiculairement au plan dans lequel le pendule oscille, est appelé axe d'oscillation. Voyez AXE.

Galilée fut le premier qui imagina de suspendre un corps grave à un fil, et de mesurer le temps dans les observations astronomiques, et dans les expériences de physique par ses vibrations ; à cet égard, on peut le regarder comme l'inventeur des pendules. Mais ce fut M. Huygens, qui le fit servir le premier à la construction des horloges. Avant ce philosophe, les mesures du temps étaient très-fautives ou très-pénibles, mais les horloges qu'il construisit avec des pendules, donnent une mesure du temps infiniment plus exacte que celle qu'on peut tirer du cours du soleil : car le soleil ne marque que le temps relatif ou apparent, et non le temps vrai. Voyez ÉQUATION DU TEMS.

Les vibrations d'un pendule sont toutes sensiblement isochrones, c'est-à-dire, qu'elles se font dans des espaces de temps sensiblement égaux. Voyez ISOCHRONE.

C'est ce qui fait que le pendule est le plus exact chronomètre, ou l'instrument le plus parfait pour la mesure du temps. Voyez TEMS et CHRONOMETRE.

C'est pour cela aussi qu'on propose les différentes longueurs du pendule, comme une mesure et invariable et universelle des longueurs, pour les contrées et les siècles les plus éloignés. Voyez MESURE.

Ainsi, ayant une fois trouvé un pendule dont une vibration est précisément égale à une seconde de temps, prise sur le mouvement moyen du soleil, si le pied horaire (ainsi que M. Huygens appelle la troisième partie de son pendule à seconde) comparé au pied qui sert, par exemple, d'étalon en Angleterre, est comme 392 à 360 ; il sera aisé, par le calcul, de réduire à ces pieds toutes les autres mesures du monde ; les longueurs des pendules, comptées du point de suspension jusqu'au centre de la boule, étant les unes aux autres, comme les carrés des temps pendant lesquels se font les différentes oscillations : elles sont donc réciproquement comme les carrés des nombres d'oscillations qui se font dans le même temps. C'est sur ce principe que M. Mouton, chanoine de Lyon, a composé un traité de mensura posteris transmittenda.

Peut-être même serait-il à souhaiter que toutes les nations voulussent s'accorder à avoir une mesure commune, qui serait, par exemple, celle du pendule à secondes : par-là on éviterait l'embarras et la difficulté de réduire les unes aux autres les mesures des différentes nations ; et si les anciens avaient suivi cette méthode, on connaitrait plus exactement qu'on ne fait aujourd'hui les diverses mesures dont ils se servaient.

Cependant quelques savants croient que cette méthode a des inconvéniens. Selon eux, pour réussir à la rendre universelle, il faudrait que la pesanteur fût la même à tous les points de la surface de la terre. En effet, la pesanteur étant la seule cause de l'oscillation du pendule, et cette cause étant supposée rester la même, il est certain que la longueur du pendule qui bat les secondes, devrait être invariable, puisque la durée des vibrations dépend de cette longueur, et de la force avec laquelle les corps tombent vers la terre. Par conséquent, la mesure qui en résulte serait universelle pour tous les pays et pour tous les temps ; car nous n'avons aucune observation qui nous porte à croire que l'action de la gravité soit différente dans les mêmes lieux en différents temps.

Mais des observations incontestables ont fait connaître que l'action de la pesanteur est différente dans différents climats, et qu'il faut toujours allonger le pendule vers le pôle, et le raccourcir vers l'équateur. Ainsi, on ne saurait espérer de mesure universelle que pour les pays situés dans une même latitude.

Comme la longueur du pendule qui bat les secondes à Paris, a été déterminée avec beaucoup d'exactitude, on pourrait y rapporter toutes les autres longueurs. Pour rendre la mesure universelle, il faudrait avoir par l'expérience des tables des différences des longueurs du pendule qui battrait les secondes, dans les différentes latitudes. Mais il n'est nullement aisé de déterminer ces longueurs par l'expérience avec la précision nécessaire pour en bien connaître les différences, qui dépendent quelquefois de moins que d'un quart de ligne. Pour connaître la quantité de l'action de la pesanteur dans un certain lieu, il ne suffit pas d'avoir une horloge à pendule, qui batte les secondes avec justesse dans ce lieu ; car ce n'est pas la seule pesanteur qui meut le pendule d'une horloge, mais l'action du ressort, et en général tout l'assemblage de la machine agit sur lui, et se mêle à l'action de la gravité pour le mouvement. Il n'est question que de trouver la quantité de l'action de la seule pesanteur ; et pour y parvenir on se sert d'un corps grave suspendu à un fil, lequel étant tiré de son point de repos, fait les oscillations dans de petits arcs de cercle, par la seule action de la pesanteur. Afin de savoir combien ce pendule fait d'oscillations dans un temps donné, on se sert d'une horloge à pendule bien réglée pour le temps moyen, et l'on compte le nombre d'oscillations que le pendule d'expérience, c'est-à-dire, celui sur qui la pesanteur agit, a fait, pendant que le pendule de l'horloge a battu un certain nombre de secondes. Les carrés du nombre des oscillations que le pendule de l'horloge et le pendule d'expérience font en un temps égal, donnent le rapport entre la longueur du pendule d'expérience, et celle du pendule simple qui ferait ses oscillations par la seule force de la pesanteur, et qui serait isochrone au pendule composé de l'horloge, et qui par conséquent battrait les secondes dans la latitude où l'on fait l'expérience, et cette longueur est celle du pendule que l'on cherche. M. Formey.

Voilà un précis de ce que quelques savants ont pensé sur cette mesure universelle tirée du pendule ; on pourrait y répondre qu'à la vérité la longueur du pendule n'est pas exactement la même dans tous les lieux de la terre ; mais outre que la différence en est assez petite, on ne peut disconvenir, comme ils l'avouent eux-mêmes, que la longueur du pendule ne demeure toujours la même dans un même endroit ; ainsi les mesures d'un pays ne seraient au-moins sujettes à aucune variation, et on aurait toujours un moyen de les comparer aux mesures d'un autre pays avec exactitude et avec précision. On peut avoir sur ce sujet les réflexions de M. de la Condamine dans les mémoires de l'académie, année 1747.

M. Huygens détermine la longueur du pendule qui bat les secondes à trois pieds, trois pouces, et trois dixiemes d'un pouce d'Angleterre, suivant la réduction de M. Moor : à Paris MM. Varin, Des Hays et de Glos ont trouvé la longueur du pendule à secondes de 440 lignes 5/9 ; M. Godin de 440 lignes 5/9 ; M. Picard de 440 et 1/2, et il trouva la même dans l'île de Heune, à Lyon, à Bayonne et à Sette. M. de Mairan ayant répété l'expérience en 1735 avec beaucoup de soin, l'a trouvée de 440 lignes 17/30, qui ne diffère de la longueur de M. Picard que de 1/90 de ligne. Ainsi on peut s'en tenir à l'une ou l'autre de ces mesures pour la longueur exacte du pendule à secondes à Paris. Remarquez que les longueurs des pendules se mesurent ordinairement du centre de mouvement, jusqu'au centre de la boule ou du corps qui oscille.

Sturmius nous apprend que Riccioli fut le premier qui observa l'isochronisme des pendules, propriété si admirable, et qu'il en fit usage pour la mesure du temps : après lui Ticho, Langrenus, Werdelin, Mersenne, Kircher et d'autres, ont trouvé la même chose ; mais Huygens, comme nous l'avons déjà dit, est le premier qui ait appliqué le pendule aux horloges. Voyez HORLOGE.

Il y a des pendules simples et composés.

Le pendule simple consiste en un seul poids, tel que A, considéré comme un point, et en une ligne droite inflexible, comme C A, regardée comme si elle n'avait aucune pesanteur ; et suspendue au centre C, autour duquel elle peut aisément tourner. Pl. de Mécanique, fig. 36.

Le pendule composé consiste en plusieurs poids, fixés de manière à conserver la même distance, tant les uns des autres, que du centre autour duquel ils font leurs vibrations. Voyez COMPOSE et OSCILLATION.

Théorie du mouvement des pendules. 1°. Un pendule élevé en B, retombera par l'arc de cercle B A, et s'élevera encore en décrivant un arc A D de même grandeur, jusqu'à un point D, aussi haut que le premier ; de-là il retombera en A, et se relevera jusqu'en B, et continuera ainsi perpétuellement de monter et de descendre.

Car supposons que H I soit une ligne horizontale, et que B D lui soit parallèle ; si le corps A, que l'on considère ici comme un point, est élevé en B ; la ligne de direction B H, étant une perpendiculaire tirée du centre de pesanteur B sur la ligne horizontale H I, tombe hors du point C, et par conséquent l'action de la pesanteur n'est point détruite par la résistance de la verge B C, comme elle l'est lorsque la verge est dans une situation verticale C A, le corps ne saurait donc rester en B, il faut qu'il descende. Voyez DESCENTE.

Mais ne pouvant, à cause du fil qui la retient, tomber perpendiculairement par B H, il sera forcé de décrire l'arc B A : de plus, quand il arrive en A, il tend à s'émouvoir suivant la tangente A I, avec la vitesse qu'il a acquise en tombant le long de l'arc B A, et cette vitesse est égale à celle qu'elle aurait acquise en tombant de la hauteur B H ou F G ; et comme le corps ne peut se mouvoir suivant A I, à cause du fil qui le retient, il est obligé de se mouvoir sur l'arc A D. Or en montant le long de cet arc, la pesanteur lui ôte à chaque instant autant de degrés de vitesse qu'elle lui en avait donnés lorsqu'elle descendait le long de l'arc B A ; d'où il s'ensuit que lorsqu'il sera arrivé en D, il aura perdu par l'action successive et répétée de la pesanteur, toute la vitesse qu'il avait au point A : donc quand il sera arrivé en M, il cessera de monter, et redescendra par l'arc D A pour remonter jusqu'en B, et ainsi de suite. Voyez ACCELERATION et PESANTEUR.

Ce théorème est confirmé par l'expérience dans un nombre fini d'oscillations : mais si on les supposait continuées à l'infini, on apercevrait enfin quelque différence : car la résistance de l'air, et le frottement autour du centre C, détruira une partie de la force acquise en tombant : ainsi le corps ne remontera pas précisément au même point.

C'est pourquoi la hauteur à laquelle le pendule remonte diminuant considérablement, les oscillations cesseront enfin, et le pendule demeurera en repos dans la direction perpendiculaire à l'horizon, qui est sa direction naturelle. On fait cependant abstraction de la résistance de l'air et du frottement que le pendule éprouve à son point de suspension lorsqu'on traite des oscillations des pendules, parce qu'on ne les considère que dans un temps très-court ; et que dans un petit espace de temps ces deux obstacles ne font pas un effet sensible sur le pendule. Ainsi les vibrations du même pendule, dans des petits arcs de cercles inégaux, s'achevent dans des temps sensiblement égaux, quoiqu'ils ne le soient pas géométriquement, et que divers inconvénients puissent les augmenter ou les diminuer.

Les oscillations dans de plus grands arcs se font toujours dans un temps un peu plus long, et ces petites différences qui sont très-peu de chose dans un temps très-court et dans de très-petits arcs, deviennent sensibles lorsqu'elles sont accumulées dans un temps plus considérable, ou que les arcs diffèrent sensiblement. Or mille accidents soit du froid, soit du chaud, soit de quelque saleté qui peuvent se glisser entre les roues de l'horloge, peuvent faire que les arcs décrits par le même pendule ne soient pas toujours égaux, et par conséquent les temps marqués par l'aiguille de l'horloge, dont les vibrations du pendule sont la mesure, seraient ou plus courts ou plus longs. L'expérience s'est trouvée conforme à ce raisonnement ; car M. Derham ayant fait osciller dans la machine pneumatique un pendule, qui faisait ses vibrations dans un cercle, il trouva que lorsque l'air était pompé de la machine, les arcs que son pendule décrivait étaient d'un cinquième de pouce plus grands de chaque côté que dans l'air, et que ses oscillations étaient plus lentes de deux secondes par heure. Les vibrations du pendule étaient plus lentes de 6 secondes par heure dans l'air, lorsqu'on ajustait le pendule de façon que les arcs qu'il décrivait fussent augmentés de cette même quantité d'un cinquième de pouce de chaque côté ; Trants. phil. n °. 294. car l'air retarde d'autant plus le mouvement des pendules, que les arcs qu'ils décrivent sont plus grands ; le pendule parcourt de plus grands arcs dans le vide par la même raison qui fait que les corps y tombent plus vite, c'est-à-dire, parce que la résistance de l'air n'a pas lieu dans ce vide. Enfin M. Derham remarque que les arcs décrits par son pendule étaient un peu plus grands, lorsqu'il avait nouvellement nettoyé le mouvement qui le faisait aller.

C'est pour remédier à l'inégalité du mouvement des pendules, que M. Huygens imagina de faire osciller les pendules dans des arcs de cycloïde, au lieu de leur faire décrire des arcs de cercle. Voyez RESISTANCE et FROTTEMENT.

2°. Si le pendule simple est suspendu entre deux demi-cycloïdes C B et C D (Pl. Méch. fig. 37.) dont les cercles générateurs aient leur diamètre égal à la moitié de la longueur du fil C A, de manière que le fil, en oscillant, s'applique ou se roule autour des demi-cycloïdes ; toutes les oscillations, quelle que soit la différence ou l'inégalité de leur grandeur, seront isochrones, c'est-à-dire, se feront en des temps égaux.

Car, puisque le fil du pendule C E est roulé autour de la demi-cycloïde B C ; le centre de pesanteur de la boule E, que l'on y considère comme un point, décrira, par son développement, une cycloïde B E A D, comme on le démontre par la théorie de cette courbe : or toutes les ascensions et descentes dans une cycloïde sont isochrones, ou se font en temps égaux : c'est pourquoi les oscillations du pendule sont aussi isochrones. Voyez CYCLOÏDE.

Imaginons présentement, qu'avec la longueur du pendule C A, on décrit un cercle du centre C : il est certain qu'une portion très-petite de la cycloïde, proche le sommet A, est presque décrite par le même mouvement ; car si le fil C A ne décrit qu'une très-petite portion de la cycloïde, comme A L, il ne s'enveloppera autour des cycloïdes C B, C D, que par une petite partie de son extrémité vers C, et les points A, L seront sensiblement à la même distance du point C ; c'est pourquoi un petit arc de cercle se confondra presqu'entièrement avec le cycloïde.

Ainsi, dans les petits arcs de cercle, les oscillations des pendules seront sensiblement isochrones, quoiqu'inégales entr'elles ; et le rapport au temps de la descente perpendiculaire par la moitié de la longueur du pendule, est le même que celui de la circonférence d'un cercle à son diamètre, comme M. Huygens l'a démontré pour la cycloïde.

D'où il suit que plus les pendules qui oscillent dans des arcs de cercle sont longs, plus les oscillations sont isochrones, ce qui s'accorde avec l'expérience ; car dans deux grands pendules d'égale longueur, mais qui oscillent dans des arcs inégaux, pourvu néanmoins que l'un de ces arcs ne soit pas trop grand, à peine apercevra-t-on quelqu'inégalité ou différence dans le nombre de cent oscillations.

D'où il suit encore que l'on a une méthode de déterminer l'espace que parcourt en un temps donné un corps pesant qui tombe perpendiculairement. Car ayant le rapport du temps d'une oscillation au temps de la chute par la moitié de la longueur du pendule, on a le temps de la chute par la moitié de la longueur du pendule ; d'où l'on peut déduire l'espace qui sera parcouru dans tout autre temps donné quelconque.

C'est au célèbre M. Huygens que nous sommes redevables de toute la théorie des pendules, qui oscillent entre deux demi-cycloïdes, tant par rapport à la théorie qu'à la pratique : il la publia d'abord dans son horologium oscillatorium, sive demonstrationes de motu pendulorum, &c.

Depuis ce temps on a démontré en beaucoup de manières différentes tout ce qui regarde le mouvement des pendules, et le célèbre M. Newton nous a donné dans ses principes une belle théorie sur ce sujet, dans laquelle il a étendu aux épicycloïdes les propriétés que M. Huygens avait démontrées de la cycloïde.

3°. L'action de la pesanteur est moindre dans les parties de la terre, où les oscillations du même pendule sont plus lentes, et elle est plus grande où elles sont plus promptes.

Car le temps d'une oscillation dans la cycloïde est au temps de la descente perpendiculaire par le diamètre du cercle générateur, comme la circonférence du cercle est au diamètre. Par conséquent, si les oscillations du même pendule sont plus lentes, la descente perpendiculaire des corps pesans est aussi plus lente, c'est-à-dire, que le mouvement est moins accéleré, ou que la force de la pesanteur est moindre, et réciproquement.

Ainsi, comme l'on trouve par expérience que les oscillations du même pendule sont plus lentes, près de l'équateur que dans les endroits moins éloignés du pôle, la force de la pesanteur est moindre vers l'équateur que vers les pôles ; et de-là on a conclu que la figure de la terre n'est pas précisément une sphère, mais un sphéroïde. Voyez FIGURE DE LA TERRE.

Ainsi M. Richer, trouva par une expérience faite en l'île de Cayenne, vers le quatrième degré de latitude, qu'un pendule qui bat les secondes à Paris, devait être raccourci d'une ligne et un quart, pour réduire ses vibrations au temps d'une seconde.

M. Deshayes, dans un voyage qu'il fit en Amérique, confirma l'observation de M. Richer : mais il ajoute que la diminution établie par cet auteur parait trop petite.

M. Couplet le jeune, à son retour d'un voyage en Brésil et en Portugal, se réunit à M. Deshayes, quant à la nécessité de raccourcir le pendule vers l'équateur, plus que n'avait fait M. Richer. Il observa que même à Lisbonne, le pendule à secondes doit être deux lignes 1/2 plus court qu'à Paris ; ce qui est une plus grande diminution que celle de Cayenne, telle que M. Richer l'a déterminée, quoique Cayenne ait 24 degrés moins de latitude que Lisbonne. Mais les observations de M. Couplet n'ont point paru assez exactes à M. Newton pour qu'on put s'y fier : crassioribus, dit-il, hujus observationibus minus fidendum est. Prop. xx. liv. III. de ses principes.

D'autres auteurs ont prétendu que la diminution du pendule ne se faisait point regulièrement : Messieurs Picard et de la Hire ont trouvé la longueur du pendule à secondes exactement la même à Bayonne, à Paris, et à Vranibourg en Danemarck ; quoique la première ville soit à 43 degrés 1/2 de latitude, et la dernière à 43°. 3'.

C'est pourquoi M. de la Hire présuma que la diminution n'est qu'apparente, que la verge de fer avec laquelle M. Richer mesura son pendule, peut s'être allongée par les grandes chaleurs de l'île de Cayenne ; et qu'ainsi, en approchant de la ligne, le pendule ne devrait pas proprement être raccourci, abstraction faite de la chaleur. Mais en premier lieu, on pourrait répondre, que suivant la table donnée par M. Newton de la longueur du pendule aux différentes latitudes, la différence des longueurs du pendule à 43 degrés et demi et à 35 degrés, est assez petite pour avoir été difficîle à apercevoir ; car cette différence n'est que d'environ 3/10 de lignes ; à plus forte raison la différence à Bayonne et à Paris sera-t-elle encore plus insensible. A l'égard de l'observation de M. de la Hire sur l'accourcissement des verges du pendule par le froid, et leur dilatation par la chaleur, M. Newton répond que dans l'expérience que M. de la Hire rapporte, la chaleur de la verge était plus grande que celle du corps humain, parce que les métaux s'échauffent beaucoup au soleil, au lieu que la verge d'un pendule n'est jamais exposée à la chaleur directe du soleil, et ne reçoit jamais un degré de chaleur égal à celui du corps humain ; d'où il conclut qu'une verge de pendule longue d'environ 3 pieds, peut être, à la vérité, un peu plus longue en été qu'en hiver, et à l'équateur que dans nos climats, si on a égard à la chaleur, mais que son allongement ne doit pas être assez grand pour produire toute la différence que l'on observe dans la longueur du pendule. M. Newton ajoute qu'on ne peut point attribuer non plus cette différence aux erreurs des Astronomes français ; car quoique leurs observations ne s'accordent pas parfaitement entr'elles, cependant la différence en est si petite, qu'elle peut être négligée. En comparant entr'elles ces différentes observations, M. Newton croit qu'on peut prendre deux lignes pour la quantité dont le pendule à secondes doit être augmenté sous l'équateur.

M. de Maupertuis, à la fin de son traité de la parallaxe de la luxe, nous a donné un précis des principales opérations qui ont été faites pour la mesure du pendule dans les différents endroits de la terre par les plus habiles observateurs, et il y joint les observations qui ont été faites par lui-même et par messieurs Clairaut, Camus, le Monnier, etc. à Pello pour y déterminer la longueur du pendule. Il déduit ensuite de ces observations les rapports de la pesanteur en différents lieux, dont il a formé une table ; il trouva par exemple qu'un poids de 100000 livres à Paris pesait à Pello 100137, et à Londres 100018. Voyez FIGURE DE LA TERRE. Voyez aussi les ouvrages de messieurs Bouguer, la Condamine, Boscowich, etc. sur cet important sujet.

4°. Si deux pendules font leurs vibrations dans des arcs semblables, les temps de leurs oscillations sont en raison sous-doublée de leurs longueurs.

D'où il suit que les longueurs des pendules, qui font leurs vibrations dans des arcs semblables, sont en raison doublée des temps que durent les oscillations.

5°. Les nombres des oscillations isochrones faites dans le même temps par deux pendules, sont réciproquement comme les temps employés aux différentes vibrations.

Ainsi les longueurs des pendules, qui font leurs vibrations par des petits arcs semblables, sont en raison doublée réciproque des nombres d'oscillations faites dans le même temps.

6°. Les longueurs des pendules, suspendus entre deux cycloïdes, sont en raison doublée des temps, pendant lesquels se font les différentes oscillations.

D'où il suit qu'elles sont en raison doublée réciproque des nombres d'oscillations faites dans le même temps ; et que les temps des oscillations, faites en différentes cycloïdes, sont en raison sous-doublée des longueurs des pendules.

7°. Pour trouver la longueur d'un pendule, qui fasse un certain nombre de vibrations en un temps donné quelconque.

Supposons que l'on demande 50 vibrations dans le temps d'une minute, et que l'on demande la longueur de la verge, en comptant du point de suspension jusqu'au centre d'oscillation ou de la boule qui est au bout : c'est une règle constante que les longueurs des pendules sont l'une à l'autre réciproquement comme les carrés de leurs vibrations. Maintenant supposons qu'un pendule à secondes, c'est-à-dire, qui fait 60 vibrations dans une minute, est de 39 pouces et 2/10 ; dites donc, le carré de 50, qui est de 2500, est au carré de 60, qui est de 3600, comme 30 2/10 est à la longueur du pendule cherché, que l'on trouvera de 56 pouces 4/10.

Remarque pratique. Puisque le produit des termes moyens de la proportion sera toujours 1411200, c'est-à-dire, 3600 x 39 2/10, il n'y a seulement qu'à diviser ce nombre par le carré du nombre des vibrations assigné ; et le quotient donnera la longueur d'un pendule, qui fera précisément autant de vibrations dans une minute.

8°. La longueur d'un pendule étant connue, trouver le nombre de vibrations qu'il fera dans un temps donné.

Cette question est l'inverse de la première : dites la longueur donnée 56 4/10 est à la longueur du pendule à secondes, qui sert de modèle, c'est-à-dire ici, est à 39 2/10, comme le carré des vibrations de ce dernier pendule dans un temps donné ; par exemple, une minute est au carré des vibrations cherchées ; c'est-à-dire, 56 4/10 39 2/10 : : 3600. 2500, et la racine carrée de 2500 ou 50 sera le nombre des vibrations que l'on demande.

Mais dans la pratique, il faut agir ici comme dans le premier problème ; vous n'aurez seulement qu'à diviser 1411200 par la longueur, vous aurez le carré du nombre des vibrations ; de même que l'on divise ce nombre par le carré des vibrations pour trouver la longueur.

Sur ces principes M. Derham a construit une table des vibrations des pendules des différentes longueurs dans l'espace d'une minute.

Remarquez que ces lois du mouvement des pendules ne s'observeront pas à la rigueur, à moins que le fil qui soutient la boule n'ait aucun poids, et que la pesanteur de tout le poids ne soit réuni en un seul point.

C'est pourquoi il faut se servir dans la pratique d'un fil très-fin et d'une petite boule, mais d'une matière fort pesante ; sans cela le pendule, de simple qu'on le suppose, deviendrait composé, et ce serait presque la même chose que si différents poids étaient appliqués à différents endroits de la même verge inflexible.

L'usage des pendules, pour mesurer le temps dans les observations astronomiques, et dans les occasions où l'on a besoin d'un grand degré de précision, est trop évident pour qu'il soit besoin d'en parler ici.

On peut régler la longueur du pendule avant son application, et la faire pour battre un temps demandé, par exemple, les secondes, les demi-secondes, etc. par l'art. 4. ou bien, on peut la prendre à volonté, et déterminer ensuite les temps des vibrations suivant l'art. 8.

Quant à l'usage des pendules pour la mesure des distances inaccessibles, fort éloignées par le moyen du son, voyez SON, Chambers, Wolf, etc. (O)

Méthode générale pour trouver le mouvement d'un pendule. Sait a le rayon du cercle que décrit le pendule, ou la longueur du pendule ; b, l'abscisse totale qui répond à l'arc du centre, en prenant cette abscisse depuis le point le plus bas ; Xe l'abscisse d'une portion quelconque de cet arc ; p, la pesanteur ; u, la vitesse en un point quelconque, on aura, u u = 2 p (b - x). Voyez les articles FORCE ACCELERATRICE et PLAN INCLINE) ; et le temps employé à parcourir un arc quelconque infiniment petit, sera u = x . Or, lorsque l'arc descendu n'a pas beaucoup d'amplitude, x est petit par rapport à a ; et on peut, au lieu de , ou , écrire x ( + ), etc. (voyez BINOME, APPROXIMATION, et EXPOSANT) ; de maniére que l'élément du temps sera à-peu-près x ( + ), etc. quantité qui étant intégrée par les règles connues, donnera à-peu-près le temps d'une demi-vibration du pendule. On peut même, lorsque l'arc descendu est fort petit, négliger entièrement le terme ; et alors le temps de la descente du pendule sera sensiblement le même que celui de la descente dans une cycloïde qui aurait le rayon osculateur à son sommet égal au rayon du pendule.

On voit aussi que le temps de la descente par un arc de cercle, est en général un peu plus grand que celui de la descente par un tel arc de cycloïde : de plus il est aisé de comparer le temps d'une vibration avec le temps de la descente verticale d'un corps le long d'un espace quelconque h. Car la vitesse, à la fin de cet espace, est , et l'élément du temps est , dont l'intégrale est . Or le temps de la demi-vibration est égal à l'intégrale de , ou de x , c'est-à-dire (en nommant c la circonférence du rayon a) a x . Donc les deux temps sont entr'eux comme à . D'où il est aisé de tirer tous les théorèmes sur les pendules.

Dans ces théorèmes on fait abstraction de la résistance de l'air ; cependant il est bon d'y avoir égard, et plusieurs géomètres s'y sont appliqués. Voyez les Mém. de Pétersbourg, tom. III. et V. Voyez aussi mon Essai sur la résistance des fluides, art. xcv. xcvj. et suiv. (O)

PENDULE, RECIPROCATION DU. On appelle ainsi un petit mouvement presque insensible de libration ou d'oscillation que doit avoir, suivant quelques philosophes, un long pendule attaché fixement à un plancher, et qu'on y laisse en repos.

Il est certain que le centre de gravité de la terre change continuellement de place, ne fût-ce que par le mouvement du flux et reflux. Voyez FLUX ET REFLUX. Or ce mouvement dans le centre de gravité doit produire une altération dans la direction et le mouvement des graves. Reste à savoir si cette altération est sensible. Pour cela il faut suspendre à un plancher un long pendule, et voir si ce pendule est dans un parfait repos. Un gentilhomme de Dauphiné, nomme Calignon de Peirins, ami de Gassendi, ayant fait cette expérience sur un pendule de trente pieds, prétendit y avoir observé du mouvement ; ce qui occasionna entre les Savants une dispute dont on peut voir le détail dans l'histoire de l'académie de 1742 : depuis ce temps, d'autres savants ont entrepris de répéter la même expérience, et ont trouvé des résultats différents, les uns tenant pour le balancement, les autres le niant. Enfin M. Bouguer, dans les Mémoires de l'académie de 1754, a traité cette matière avec beaucoup de soin ; et il en résulte que la réciprocation du pendule, lorsqu'il y en a, tient à une cause prochaine et irrégulière, et ne peut être mise au rang des phénomènes généraux qui dépendent du système du monde. (O)

PENDULE, s. f. (Horlogerie) espèce d'horloge à pendule, exécutée en général avec plus de précision que les horloges de cette espèce, et qui n'en diffère essentiellement que par la disposition de ses parties, surtout de la cage qui ressemble fort à celle des montres.

Dans le temps où l'on commença à appliquer le pendule aux horloges, les premières dans lesquelles on employa ce nouveau régulateur, furent probablement appelées d'abord horloges à pendule, ensuite simplement pendules ; et comme ces horloges n'étaient que d'une grandeur médiocre et faites avec plus de précision que les autres, il est arrivé de-là, que malgré que dans toutes les horloges on ait substitué dans la suite le pendule au balancier, il n'y a eu que celles d'une certaine grandeur et dont nous venons de parler, auxquelles on ait donné le nom de pendules, les autres ayant conservé celui d'horloges, comme horloge de clocher, de chambre, &c.

On distingue les pendules en général en pendules à poids et pendules à ressort. Dans les premières, sont toutes les pendules à grandes vibrations, à équation, etc. Dans les secondes, sont toutes celles d'une certaine grandeur qui ont pour principe du mouvement un ressort, comme celles qui se mettent sur un pied, sur une table, qui se plaquent contre le mur, etc. telles sont ordinairement les pendules à quinze jours, à sonnerie, les pendules à quarts, les pendules à trente heures, les pendules à répétition, les pendules à trois parties ; c'est-à-dire celles qui répètent l'heure lorsque l'on tire le cordon, et qui sonnent en même temps l'heure et les quarts d'elles-mêmes. Enfin, celles à quatre parties, qui, outre les propriétés de ces dernières ont encore celle d'être à réveil ; il y a encore des pendules à carillon et des pendules à remontoir, qui sont en quelque façon à poids et à ressort, la force motrice originale étant un ressort employé à faire sonner la sonnerie, et en même temps à remonter un poids qui fait aller le mouvement. Voyez REMONTOIR.

PENDULE D'EQUATION, (Horlogerie) espèce de pendule construite de façon qu'elle marque et l'heure du temps vrai, et celle du temps moyen ; au moyen de quoi, la différence entre ces deux espèces d'heure, indique l'équation du soleil. Quoiqu'on ait commencé de très-bonne heure à faire des horloges curieuses qui marquaient les mouvements des planètes, etc. cependant leur mouvement était trop irrégulier, pour qu'on pensât à leur faire marquer les équations du soleil, ces horloges avançant ou retardant souvent d'une demi-heure en très-peu de temps, tandis que l'équation du soleil n'est que de seize minutes dans l'espace de trois mois. Mais dès que l'on eut appliqué le pendule aux horloges, le mouvement de ces horloges, ou plutôt de ces pendules, en devint si juste par rapport à celui des horloges ordinaires, qu'on s'aperçut bien-tôt que pour les bien régler, il fallait avoir égard à l'équation du soleil ; ce qui fit apparemment naître l'idée des pendules d'équation. Une des premières dont on ait connaissance, est celle qui se trouva dans le cabinet du roi d'Espagne en 1699, dont parle M. Sully dans la règle artificielle du temps. Cette pendule marquait l'équation du soleil, au moyen de deux aiguilles, dont l'une indiquait le temps vrai, et l'autre le temps moyen ; et c'est de cette façon qu'on les a faites en Angleterre. Le même M. Sully propose dans le même livre de faire une pendule non pas d'équation, mais dont l'inégalité des vibrations du pendule répondrait à l'inégalité des jours, etc. Idée qui était aussi venue au R. P. D. Alexandre bénédictin, dès 1699, ce qu'il prouve par le certificat de l'académie royale des Sciences, qu'il rapporte : ce père dans son traité des Horloges, s'efforce de prouver la beauté de cette invention ; mais pour peu qu'on entende l'horlogerie, on verra combien elle est ridicule, et que les pendules ne sont pas déjà trop précises pour ajouter de nouvelles sources d'erreur dans l'allongement et le raccourcissement périodique du pendule ; mais il est inutîle de parler de cette espèce de pendules, qui ne sont réellement pas des pendules d'équation.

PENDULE en tant qu'appliqué aux horloges. L'invention des horloges à pendule, qu'on appelle simplement pendule, est dû. à l'industrie heureuse du siécle passé : Huygens et Galilée s'en disputent l'honneur. Le premier qui a fait un volume considérable sur ce sujet, déclare qu'on n'a exécuté cette espèce d'horloge qu'en 1657, et qu'on n'en a imprimé la description qu'en 1678. Becker, dans sa nova dimetiendi temporis theoria, se déclare vivement pour Galilée, et rapporte (à la vérité de la seconde main) toute l'histoire de cette invention, ajoutant qu'un nommé Thessler, horloger du père du grand duc de Toscane, qui vivait de son temps, avait fait la première pendule à Florence, sous la direction de Galilée, Galileo, et qu'il en avait envoyé un modèle en Hollande. L'académie del Cimento dit expressément, que l'application du pendule au mouvement des horloges avait été d'abord proposée par Galilée, et que c'était son fils Vincenzo Galilei qui l'avait mis le premier en pratique en 1649.

Quel qu'ait été l'auteur de cette invention, au-moins est-il certain qu'elle n'a reçu sa perfection que de Huygens, lequel fait remarquer avec soin, que si Galilée en a eu quelqu'idée, au-moins ne l'a-t-il pas portée à sa maturité.

C'est en 1662, que M. Fromentil, hollandais, a fait en Angleterre la première pendule.

Le pendule en tant qu'appliqué à l'horloge, est composé d'une verge d'acier, A B, fig. 18. (Pl. de la pendule à secondes) suspendue à un point fixe P ; de façon qu'elle puisse se mouvoir librement autour de lui ; et d'un corps grave B, auquel on donne la forme lenticulaire, afin de diminuer la resistance que l'air apporte à son mouvement.

Ce qui rend le pendule si supérieur aux autres régulateurs, c'est que perdant fort peu de son mouvement, il est entretenu en vibration par une force très-foible à son égard, et dont par conséquent les inégalités influent bien moins sur sa justesse.

Si l'on met en vibration dans le même temps un pendule et un balancier joint à son ressort, l'expérience fait voir qu'au bout de 90 secondes, le dernier aura perdu tout son mouvement, au lieu que l'autre le conservera pendant dix heures et plus. Ainsi les restitutions du mouvement sur le pendule, sont à celles qu'exige le balancier aidé du ressort, à-peu-près comme un à 400.

Plusieurs causes concourent à cette supériorité du pendule sur le balancier : les particules du ressort éprouvant un frottement les unes sur les autres, quand il reprend sa première figure ; la force qu'il devrait communiquer au balancier en est d'autant plus diminuée ; mais ce qui contribue encore plus à la perfection du pendule, c'est la suspension. Voyez SUSPENSION.

L'expérience a montré qu'un long pendule donne plus de régularité qu'un court, en parcourant les mêmes espaces ; en voici les raisons.

1°. Sa lentille descendant par un plan moins incliné, peut être beaucoup plus pesante, parce que son mouvement est moins difficîle à restituer, et parce qu'il s'en perd une moindre quantité ; le nombre des oscillations dans un temps quelconque, n'étant pas si considérable, et l'air n'étant point frappé avec autant de rapidité dans chacune d'elles.

2°. Pour des solides de figures semblables, les surfaces n'étant point comme les masses, mais comme les carrés de leurs racines cubiques, les résistances de l'air deviennent d'autant moins puissantes sur les lentilles fort pesantes.

3°. Ces vibrations plus lentes rendent le rouage plus simple, plus constamment le même, et moins sujet à l'usure. On remarque que dans les pendules à secondes ; par exemple, les trous des pivots ne s'usent presque jamais.

4°. Par toutes les raisons précédentes, la force motrice d'un long pendule peut être beaucoup moins considérable à l'égard du poids vibrant ; et les inégalités de cette force influent beaucoup moins sur la justesse des vibrations. Enfin, les longs pendules peuvent décrire des arcs beaucoup plus petits, qui, comme il est démontré, article CYCLOIDE, approchent davantage des arcs cycloïdaux.

Pendule à 15 jours à ressort et à sonnerie. La figure qu'on voit dans nos Pl. d'Horlog. représente une pendule de cette espèce dont on a ôté la grande platine ; on y voit la disposition des roues du mouvement et de la sonnerie, comme dans tous les mouvements ; c'est toujours la même théorie ; on entendra facilement de quelle manière elles agissent les unes sur les autres ; la seule différence essentielle entre cette pendule, et la pendule à secondes, dont nous venons de parler, c'est qu'au lieu de poulie il y a ici un barillet R, denté à sa circonférence ; S est la seconde roue ; T la troisième, ou la roue à longue tige ; V la roue de champ, et X la roue de rencontre. On voit dans une autre fig. la manière dont la roue de champ agit sur la roue de rencontre, et dont celle-ci agit sur les palettes de la verge. De l'autre côté, on voit le rouage de sonnerie, qui est composé de cinq roues, en comptant le barrillet Q, denté aussi ; à sa circonférence P, est la seconde roue, O la troisième, ou la roue de chevilles, M, la roue d'étoquiau, N la roue du volant, et 4 le pignon du volant. La fig. suiv. représente cette pendule vue du côté où sont les aiguilles ; le cadran étant ôté, on voit le détentillon D C 6, dont le bras 6 est levé toutes les demi-heures, pour faire sonner la pendule, au moyen des deux chevilles opposées qui sont sur la roue de minutes B. La fig. 15. représente la détente qu'on voit en place dans le profil de la figure 9. les parties F D, sont représentées par des parties p ; la fonction de la partie E, est mieux représentée en E dans la figure 7. où on la voit qui s'appuie sur le détentillon ; au moyen de quoi, celui-ci s'élève à toutes les demi-heures. Pour entendre bien comment toutes ces pièces agissent pour faire sonner la pendule, voyez l'article SONNERIE.

A, fig. 7 est la tige du marteau qui a un ressort qui tend toujours à la faire tourner dans le sens contraire à celui où elle tourne quand les chevilles de la troisième roue agissent sur l'espace de palette qu'elle a en Y. On voit en haut de cette figure 7. le marteau dont la queue entre carrément sur cette tige : 7. et 8. sont les rochets qui entrent à carré sur les arbres de barrillet, et qui sont retenus par les cliquets. Voyez l'article ENCLIQUETAGE. Les figures 13, 12, et 10, représentent le chaperon, le remontoir, et la potence A D, qui contient la verge des palettes C A, et dans la partie A de laquelle roule le pivot d'en haut de la roue de rencontre. 1 B, est la contre potence qui reçoit le pivot d'en bas de cette roue.

Pendules à quarts. Les hommes étant toujours portés à imiter, ce n'est qu'avec effort qu'ils sortent des routes ordinaires. Ainsi la sonnerie des heures dans les premières horloges ayant été faite avec un rouage particulier, quand on voulut leur faire sonner les quarts, on n'imagina rien de mieux que de faire aussi un rouage pour la sonnerie des quarts, quoique ce fût employer beaucoup d'ouvrage à produire peu d'effet ; ce qui est directement contraire à la saine mécanique, qui veut que la complication des machines soit toujours proportionnelle à celle des effets qu'elles produisent : plusieurs horlogers sentant ce défaut des pendules à quarts ont voulu y rémédier, en les faisant sonner l'heure et les quarts par un seul rouage, mais jusqu'à-présent il y en a peu qui aient réussi, leurs pendules pour la plupart étant fort compliquées ; il n'y a guère que quelques habiles horlogers et mon père qui en aient fait avec cette simplicité qui est, si cela se peut dire, la véritable élégance dans les machines.

La fig. 28. représente la disposition des rouages du mouvement, de la sonnerie des heures et de celle des quarts d'une pendule à quarts ordinaire ; le mouvement ne différant en rien essentiellement de la pendule à quinze jours que nous venons de décrire. Quant au nombre des roues du mouvement, les voici.

Par ces nombres, on voit que la troisième roue ou la roue à longue tige, faisant un tour par heure, le nombre des vibrations du pendule, dans le même temps, sera de 9438, et par conséquent que la longueur de ce pendule sera de cinq pouces trois lignes ou à-peu-près ; un pendule de cette longueur donnant par heure 8450 vibrations. Or par les nombres des premiers mobiles, il est clair, que la roue à longue tige fait soixante-douze tours pour un du barillet, et le ressort faisant six tours dans le barillet, il s'ensuit que le ressort, avant d'être au bas, fera faire à cette roue 432, qui équivaudront à autant d'heures ; et ce nombre étant divisé par 24 donnera le nombre de jours que la pendule marchera avant que d'être au bas. Quant au nombre des roues de la sonnerie, ils sont les mêmes que ceux dont il est parlé à l'article SONNERIE : ainsi nous y renvoyons.

La sonnerie des heures n'en diffère pas essentiellement non plus, si ce n'est 1°. que cette pendule sonnant la demie par les quarts, un tour du chaperon au lieu d'équivaloir à 90 coups de marteau, n'équivaut qu'à 78, nombre des heures qu'une pendule doit sonner en 12 heures ; et 2°. que le détentillon Q R S (fig. 29.) au lieu d'être levé par la roue de minutes toutes les heures, l'est par un chaperon T qui appartient aux quarts : de sorte que l'heure ne peut sonner qu'après les quarts, et qu'il n'est point nécessaire que ce détentillon ait une partie H fig. 13. telle que celui d'une pendule à sonnerie ordinaire, pour faire le délai, parce qu'ici la sonnerie des heures est dirigée par celle des quarts ; et que dès que ceux-ci sont sonnés, il faut que l'heure parte. Quant à la sonnerie des quarts, voici comme elle s'exécute. La roue de minutes N fig. 19. porte quatre chevilles qui lèvent alternativement le détentillon des quarts N O P, pour faire détendre la sonnerie des quarts comme à l'ordinaire ; celle-ci étant libre, sonne de la manière suivante. La roue I Q fig. 18. porte un nombre de chevilles égal aux coups de marteau que les quarts doivent frapper pendant une heure, c'est-à-dire dix ; et comme ces dix coups doivent être frappés alternativement par deux marteaux, dont l'un doit toujours partir le premier : six de ces chevilles sont d'un côté de la roue et quatre de l'autre, et non toutes d'un même côté, comme il est marqué dans la fig. ces chevilles lèvent alternativement une double bascule M pour les deux marteaux qui sont ici placés sur le côté, mais qu'on n'a point représentés. La sonnerie des quarts ayant été mise en liberté, la pendule sonne un certain nombre des quarts qui sont déterminés, de même que dans la sonnerie des heures, par une roue de compte (fig. 19. 2.) qui entre à carré sur l'axe de la roue de chevilles, et qui est divisée en quatre parties 1, 2, 3, 4, pour un quart, deux quarts, etc. lorsque l'aiguille des minutes est sur le midi, dans l'instant que les quatre quarts sont sonnés, la cheville S du chaperon T lève le détentillon Q R S de la sonnerie des heures, au moyen de quoi l'heure sonne. On conçoit bien que le nombre des tours de la roue de chevilles de la sonnerie des quarts par rapport à ceux de son barillet, sont déterminés de façon que si la pendule Ve 18 jours, par exemple, cette roue fera autant de tours qu'il y a d'heures dans cet intervalle de temps ; c'est ce qu'on verra facilement par les nombres de cette sonnerie. On concevra de même que comme la sonnerie des heures ne frappe que 78 coups en 12 heures, la roue de chevilles de cette sonnerie fera par tour du chaperon un nombre de tours qui, multiplié par celui de ses chevilles, sera encore égal à 78. Voyez là-dessus l'article SONNERIE.

Nombres des roues de cette pendule. Mouvement.

Sonnerie des heures.

Sonnerie des quarts.

PENDULE, (Physique générale) entre les découvertes sur le pendule, les Anglais attribuent à M. Christophe Wren, un des plus illustres Architectes de son siècle, les suivantes. Ils prétendent qu'il a trouvé le premier que le pendule dans un tour et retour, se meut inégalement en des temps égaux, selon une ligne de sinus ; qu'il pourrait se mouvoir d'une manière circulaire ou elliptique, et que ces vibrations auraient les mêmes périodes que celles qui sont alternatives ; que par la jonction de plusieurs pendules qui dépendraient les uns des autres, ou pourrait représenter les mouvements des planètes ou d'autres plus embarrassés encore ; ce qui n'empêcherait pas ces pendules de faire sans confusion, de même que les planètes, trois ou quatre mouvements différents, en agissant sur le même corps en divers périodes : enfin, qu'on pourrait trouver une mesure universelle pour l'usage ordinaire, par le moyen du pendule. (D.J.)

PENDULUM