S. m. terme de Géométrie, c'est le plus grand côté d'un triangle rectangle, ou la soutendante de l'angle droit. Voyez TRIANGLE.

Ce mot est grec, soutendante, formé d', sous, et , j'étends. La plupart des Géomètres écrivent hypotenuse par une h ; si cette orthographe n'est pas vicieuse, ce mot ne doit pas venir de , j'étends, mais de , je pose. On s'en rapporte là-dessus aux savants.

Dans le triangle K M L (Pl. géom. fig. 71.) le côté M L, opposé à l'angle droit K, est appelé hypotenuse.

C'est un théorème fameux en Géométrie que, dans tout triangle rectiligne rectangle K M L, le carré de l'hypotenuse M L est égal aux carrés des deux autres côtés K L et K M ; on l'appelle le théorème de Pythagore, à cause qu'il en est l'inventeur. Il fut si charmé de cette découverte, qu'il fit, diton, une hécatombe aux muses pour les remercier de ce bienfait. Voyez GEOMETRIE.

L'auteur des Institutions de Géométrie, imprimées en 1746 chez Debure l'ainé, observe qu'il est assez difficile de concevoir la raison pour laquelle Pythagore s'est livré à des transports si marqués à l'occasion de cette découverte : car, quand on découvre une nouvelle propriété dans l'étendue, on ne voit pas sur le champ la liaison qu'elle a avec toutes celles que la suite des temps a manifestées : l'usage de cette proposition est effectivement très-étendu, mais Pythagore n'en pouvait presque rien savoir ; les Mathématiques alors n'étaient pas parvenues à cette fécondité qui leur donne aujourd'hui tant d'éclat et d'excellence : cette découverte même ne nous apprend-elle pas que les éléments de Géométrie ne faisaient que de naitre ? Il faut donc, quoique l'histoire n'en dise rien, supposer que Pythagore avait trouvé auparavant un grand nombre de propositions fondées sur celle-ci, et qui n'attendaient que cette découverte pour être mises elles-mêmes au nombre des grandes découvertes : et avec tout cela, la reconnaissance de Pythagore ne laissera pas de nous paraitre extrême ; car il y a bien d'autres vérités dans la Géométrie élémentaire, plus sublimes et plus utiles dont les auteurs n'ont pas fait tant de bruit ; telles sont celles qui enseignent que les trois angles d'un triangle pris ensemble sont égaux à deux angles droits ; que les triangles semblables ont leurs côtés proportionnels ; et celles par où l'on résout tous les problèmes de la Trigonométrie, moyennant les sinus.

Au reste, la proposition de Pythagore se déduit très-simplement d'une proposition fort connue dans les éléments ; ce qui va nous fournir une nouvelle démonstration, qui nous parait beaucoup plus facile que toutes celles dont nous ayons connaissance.

On sait que si d'un point pris hors d'un cercle on tire une tangente et une sécante qui aillent se terminer à la circonférence du cercle, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et la partie de cette sécante qui est hors du cercle. Sait donc le triangle rectangle A B C (Pl. de Géom. fig. 23. n °. 1.). Avec l'un des deux côtés C A qui comprennent l'angle droit, décrivons un cercle du centre C, et prolongeons l'hypotenuse B C jusqu'à-ce qu'elle rencontre un autre point de la circonférence en D ; supposons maintenant que l'hypotenuse B C = h, le côté A C = C L = D = r ; ainsi B D = h + r et B L = h - r soit aussi le côté A B = t. Il s'agit de démontrer que h h = r r + t t.

Démonstration par la proposition précédente B D. A B : : A B. B L ou h + r. t : : t. h - r ; donc, en faisant le produit des extrêmes et celui des moyens, l'on a h h - r r = t t, et par conséquent h h = r r + t t. C. Q. F. D. (E)

De ce que h h = r r + t t, il n'en faut pas conclure que h = r + t ; car la racine carrée de r r + t t n'est pas r + t, puisque le carré de r + t est r r + 2 r t + t t. Nous faisons cette remarque, parce que nous avons vu plusieurs commençans qui croyaient que la proposition du carré de l'hypotenuse était contradictoire à celle qui prouve que l'hypotenuse est plus petite que la somme des deux côtés : ces deux propositions sont au contraire parfaitement d'accord ; car, puisque h h = r r + t t et que r r + t t est moindre que r r + 2 r t + t t, c'est-à-dire que , il s'ensuit que h h est moindre que 2, et par conséquent h moindre que r + t.