S. f. en Géométrie, est le nom qu'on a donné aux courbes qui coupent perpendiculairement, ou sous un angle donné, une suite de courbes du même genre, qui ont une origine commune, ou qui sont situées parallèlement.

Ainsi la courbe M N O, (fig. 101. Géom.) qui coupe perpendiculairement une infinité d'ellipses A C B, A c b, etc. décrites d'un même sommet A, est nommée trajectoire. Il en est de même de la courbe M N O, (fig. 102. Géom.) qui coupe perpendiculairement une infinité d'ellipses A C B, a c b, etc. égales entr'elles, et situées sur le même axe.

M. Leibnitz proposa en 1715, aux géomètres anglais de déterminer en général la trajectoire d'une suite de courbes qui avaient le même point pour sommet, et dans lesquelles le rayon de la développée était coupé par l'axe en raison donnée. Ce problème fut résolu d'une manière très-générale par plusieurs d'entr'eux, entr'autres, par M. Taylor. Voyez les actes de Leipsic, de 1717. On trouve dans ces mêmes actes différentes solutions fort générales de ce même problème, dont la plupart ont été recueillies dans le tome II. des œuvres de M. Bernoulli, imprimées à Lausanne en 1743. M. Nicole en a aussi donné une solution dans les Mém. de l'académie des sciences de Paris, pour l'année 1725.

Trajectoire réciproque, est le nom que M. Jean Bernoulli a donné à une courbe A C B, (fig. 103. Géom.) dont la propriété est telle, que si on fait mouvoir cette courbe parallèlement à elle-même le long de son axe A A, et qu'on fasse en même temps mouvoir le long de a a, parallèle à A A, une courbe a c b, égale et semblable à A C B, ces courbes A C B, a c b, se coupent toujours perpendiculairement l'une l'autre. Voyez dans les œuvres de M. Bernoulli, que nous avons citées, différentes solutions de ce problème, données par plusieurs savants géomètres.

On n'attend pas sans-doute que nous entrions ici dans le détail de ces solutions qui renferment la géométrie la plus relevée ; tout ce que nous pouvons dire, c'est que ce problème est indéterminé ; qu'il y a une infinité de courbes qui y satisfont ; et que M. Bernoulli et d'autres, en ont déterminé plusieurs, tant géométriques que mécaniques, et donné la méthode générale pour les trouver toutes. Voyez PANTOGONIE. (O)

TRAJECTOIRE, s. f. en Mécanique, se dit de la courbe que décrit un corps animé par une pesanteur quelconque, et jeté suivant une direction donnée et avec une vitesse donnée, soit dans le vide, soit dans un milieu résistant.

Galilée a le premier démontré que dans le vide, et dans la supposition d'une pesanteur uniforme, toujours dirigée suivant les lignes parallèles, la trajectoire des corps pesans était une parabole. Voyez PROJECTILE, BALISTIQUE, etc.

M. Newton a fait voir dans ses principes que les trajectoires des planètes, ou ce qui revient au même, leurs orbites, sont des ellipses. Voyez PLANETE et PHILOSOPHIE NEWTONIENNE ; et ce philosophe a enseigné dans le même ouvrage, prop. xli. du liv. I. une méthode générale pour déterminer la trajection d'un corps qui est attiré vers un point donné dans le vide par une force centripete réglée suivant une loi quelconque. M. Jean Bernoulli, dans les mém. de l'acad. des Sciences de 1710, a résolu ce même problême par une méthode qui ne diffère presque point de celle de M. Newton ; et différents auteurs en ont donné ensuite des solutions plus ou moins simples.

A l'égard des trajectoires dans le vide, M. Newton a déterminé dans le II. livre de ses principes, celles que doivent décrire les corps pesans dans un milieu résistant en raison de la vitesse ; M. Keill proposa en 1719 à M. Jean Bernoulli de trouver les trajectoires dans un milieu résistant comme une puissance quelconque de la vitesse, et M. Bernoulli résolut assez promptement ce problème, comme on le peut voir dans le second volume in -4°. du recueil de ses œuvres imprimées à Lausanne en 1743. Ce qu'il y a de singulier, c'est qu'il ne parait pas que M. Keill eut trouvé de son côté la solution qu'il proposait à d'autres : du moins il n'en a donné aucune. M. Euler dans le tom. II. de sa mécanique imprimée à Petersbourg en 1736, a aussi déterminé en général les trajectoires dans un milieu résistant comme une puissance quelconque de la vitesse. On trouve dans le traité de l'équilibre et du mouvement des fluides imprimé à Paris chez David 1744, une solution fort simple de ce problème, d'où l'on déduit la construction des trajectoires dans quelques hypothèses de résistance où on ne les avait point encore déterminées. Voyez les articles 356 et 357 de ce traité. (O)

TRAJECTOIRE d'une planète ou d'une comete (Astronomie) est la route, l'orbite ou la ligne qu'elle décrit dans son mouvement. Voyez ORBITE.

Quoique les cometes paraissent décrire assez exactement un grand cercle de la sphère, il ne faut pas s'imaginer pour cela que leur véritable cours se fasse dans la circonférence d'un cercle ; car les mêmes apparences s'observeront constamment, soit qu'une comete se meuve dans une ligne droite, soit dans une courbe quelconque, pourvu qu'elle ne sorte pas du même plan. En effet dès que l'on suppose qu'un corps se meut à une distance fort grande, dans un plan qui passe par l'oeil, tout corps en mouvement quel qu'il sait, et quelque route qu'on lui attribue, paraitra constamment dans la circonférence d'un grand cercle ; aussi le plus grand nombre des philosophes et des astronomes du dernier siècle ont-ils supposé que les trajectoires des cometes étaient rectilignes. Hevelius est le premier qui se soit aperçu que ces trajectoires se courbaient en s'approchant du soleil. Enfin M. Newton est venu qui a démontré que les cometes se mouvaient dans des orbites fort approchantes d'une parabole dont le soleil occupait le foyer, ou plutôt dans des ellipses si excentriques que dans la partie qui nous est visible, elles ne diffèrent point sensiblement d'une parabole.

Newton, dans la xli. proposition de son III. liv. enseigne la manière de déterminer la trajectoire d'une comete par le moyen de trois observations, et dans sa dernière proposition, celle de corriger la trajectoire pour la connaître le plus exactement qu'il est possible. Voyez COMETE.

M. Halley, dans sa cométographie traduite en français par M. Lemonnier, nous a donné le calcul des trajectoires des vingt-quatre cometes depuis le temps de Nicéphore Gregoras et de Regiomontanus jusqu'au commencement de ce siècle ; toutes ces trajectoires ont été calculées dans la supposition qu'elles soient des paraboles. On trouve dans la dernière édition des principes mathématiques de la philosophie naturelle, le calcul de la trajectoire de la comete de 1680, dans l'hypothèse que cette comete se meuve dans une ellipse fort excentrique ; ce calcul a été fait par M. Halley, qui pour déterminer l'excentricité de cette comete, a supposé sa période de 575 ans. La meilleure manière de calculer les trajectoires en les supposant elliptiques, serait de se servir pour cela de quelques observations du lieu et du mouvement apparent de la comete ; mais il faudrait qu'elles fussent fort exactes ; car une petite erreur dans ces observations en produirait une fort grande dans le calcul de l'excentricité, et par conséquent du temps périodique.

Depuis les 24 cometes calculées par M. Halley, différents astronomes en ont calculé plusieurs autres, dont on peut voir la liste dans les éléments d'Astronomie de M. l'abbé de la Caille qui a eu la principale part à ces calculs.

M. Newton et plusieurs autres géomètres après lui, nous ont donné le moyen de faire passer une trajectoire par cinq points donnés, en supposant que cette trajectoire soit une section conique ; pour cela il faut joindre deux des points donnés par une ligne droite, deux autres par une autre, et par le cinquième point tirer une parallèle à cette seconde ligne ; ensuite on prendra pour l'équation générale de la trajectoire yy + Xe + b Xe + cx + cy = 0 (Voyez COURBE), en omettant le terme constant, parce que y et x sont ici = 0 à la fois ; ensuite on nommera A, B, les deux abscisses connues, et C, D, E, les ordonnées correspondantes ; et au moyen de ces cinq données et de la seconde valeur de x qui répond à l'ordonnée = 0, on déterminera les quatre inconnues a, b, c, e. N. B. qu'il n'y a point ici plus d'inconnues qu'il ne faut, parce que les constantes a, b, qui sont des nombres et non des lignes, se détermineront en fractions C/A, D/A, E/B, etc. (O)

TRAJECTOIRE