adj. (Géométrie) les figures isopérimètres, sont celles dont les circonférences sont égales. Voyez CIRCONFERENCE.

Il est démontré en Géométrie qu'entre les figures isopérimètres, celles-là sont les plus grandes qui ont le plus de côtés ou d'angles. D'où il suit que le cercle est de toutes les figures, qui ont la même circonférence que lui, celle qui a le plus de capacité.

Cette proposition peut se démontrer aisément, si on compare le cercle aux seuls poligones réguliers. Il est facile de voir que de tous les poligones réguliers isopérimètres, le cercle est celui qui a la plus grande surface. En effet, supposons par exemple, un cercle et un octogone régulier, dont les contours soient égaux, le cercle sera au poligone comme le rayon du cercle est à l'apothème du poligone. Or l'apothème du poligone est nécessairement plus petit que le rayon du cercle : car s'il était égal ou plus grand, alors en plaçant le centre de l'octogone sur celui du cercle, l'octogone se trouverait renfermer entièrement le cercle, et le contour de l'octogone serait plus grand que celui du cercle, ce qui est contre la supposition. Voyez CERCLE, etc.

De deux triangles isopérimètres qui ont même base, et dont l'un a deux côtés égaux, et l'autre deux côtés inégaux ; le plus grand est celui dont les côtés sont égaux.

Entre les figures isopérimètres qui ont un même nombre de côtés, celle-là est la plus grande qui est équilatérale et équiangle.

De-là résulte la solution de ce problème faire que les haies qui renferment un arpent de terre, ou telle autre quantité déterminée d'arpens, servent à enfermer un nombre d'arpens de terre beaucoup plus grand. Chambers. (E)

Car si une portion de terre, par exemple, a la figure d'un parallélogramme, dont un des côtés soit de 20 taises et l'autre de 40, l'aire de ce parallélogramme sera de 800 taises carrées ; mais si on change ce parallélogramme en un carré de même circonférence, dont l'un des côtés soit 30, ce carré aura 900 taises carrées de superficie.

La théorie des figures isopérimètres curvilignes est beaucoup plus difficile et plus profonde que celle des figures isopérimètres rectilignes.

M. Jacques Bernoulli a été le premier qui l'ait traitée avec exactitude, il proposa le problème à son frère Jean Bernoulli, qui le résolut assez promptement ; son mémoire est imprimé parmi ceux de l'Académie des Sciences de 1706, mais il manquait quelque chose à sa solution, comme ce grand géomètre en est convenu depuis la mort de son frère, dans un nouveau mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie de 1718, et dans lequel le problème qui consiste à trouver les plus grandes des figures isopérimètres est résolu avec beaucoup de simplicité et de clarté.

M. Euler a aussi publié sur cette matière plusieurs morceaux très-profonds dans les Mémoires de l'Académie de Petersbourg, et on a imprimé à Lausanne en 1744 un ouvrage fort étendu du même auteur sur ce sujet. Il a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes. Sive solutio problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti. On peut lire dans les tomes I. et II. des œuvres de M. Jean Bernoulli, les différents écrits publiés par lui et par son frère sur ce problème. M. Jean Bernoulli dans son premier écrit n'avait considéré que deux petits côtés consécutifs de la courbe ; au lieu que la vraie méthode de résoudre ce problème en général demande qu'on considère trois petits côtés, comme on peut s'en assurer en examinant les deux solutions. Voyez MAXIMUM.

On trouve aussi dans les Mém. de Berlin de 1752, un mémoire de M. Cramer qui mérite d'être lu, et dans lequel il se propose de démontrer en général ce qu'on ne démontre dans les éléments de Géométrie que pour les seules figures régulières, savoir que le cercle est la plus grande de toutes les figures isopérimètres rectilignes régulières ou non. (O)