Connaissant par exemple les deux côtés A B, A C et un angle B, on trouve par la trigonométrie les deux autres angles A, C, et le troisième côté B C. Pl. de la trigonométrie, fig. 2.
Le mot de trigonométrie signifie proprement mesure de triangle ; il est composé du mot grec , triangle, et de , mesure. Cependant il ne signifie pas aujourd'hui la mesure de l'aire des triangles, ce qui appartient à la partie de la géométrie qu'on appelle planimétrie ; mais il veut dire la science qui traite des lignes et des angles des triangles.
La trigonométrie est de la plus grande nécessité dans la pratique ; c'est par son secours qu'on vient à bout de la plupart des opérations de la géométrie pratique, et de l'astronomie. Sans cette science nous ignorerions encore la circonférence de la terre, les distances et les mouvements des astres ; nous ne pourrions point prédire leurs éclipses, etc. On peut donc dire sans exagération, que la trigonométrie est un art par lequel une infinité de choses naturellement cachées, et hors de la portée des hommes, ont été manifestées à leur intelligence : quiconque l'ignore ne peut faire aucun progrès dans les mathématiques mixtes, et se trouve arrêté à tout moment dans la physique.
La trigonométrie, ou la résolution des triangles, est fondée sur la proportion mutuelle qui est entre les côtés et les angles d'un triangle, cette proportion se détermine par le rapport qui règne entre le rayon d'un cercle, et certaines lignes que l'on appelle cordes, sinus, tangentes, et sécantes. Voyez SINUS, TANGENTE, CANTEANTE.
On observera que tous les problêmes trigonométriques peuvent se résoudre par le seul secours des triangles semblables, sans employer les sinus ou leurs logarithmes ; mais cette méthode, quoique rigoureusement démontrée à l'esprit, n'est pas aussi savante, ni aussi sure, et aussi expéditive dans la pratique, que celle des sinus : on a même fait voir dans les institutions de géométrie, qui se vendent chez de Bure l'ainé, à Paris, que l'on pouvait, sans faire usage des sinus, ni même des triangles semblables, déterminer les distances inaccessibles, horizontales, élevées au-dessus de l'horizon, ou inclinées au-dessous ; trouver la valeur d'un angle inaccessible ; mener une parallèle à une ligne inaccessible, etc. et cela avec la simple connaissance de ces deux propositions ; les trois angles d'un triangle, pris ensemble, sont égaux à la somme de deux angles droits ; et dans un triangle, les angles égaux sont opposés à des côtés égaux ; de sorte qu'en deux jours de géométrie l'on peut se mettre en état d'entendre toute la théorie de la trigonométrie rectiligne, ce qui est d'un assez long détail par les autres méthodes : on remarquera aussi dans ces institutions, que tous les problêmes de la trigonométrie, qui emploient les sinus, peuvent se résoudre par cette proposition unique : les sinus des angles sont entr'eux comme les côtés opposés à ces angles.
Le rapport des sinus et des tangentes au rayon, est quelquefois exprimé en nombres naturels, et forme alors ce qu'on appelle la table des sinus naturels, tangentes, &c.
Quelquefois aussi il est exprimé en logarithmes, et en ce cas c'est ce qu'on appelle la table des sinus artificiels ou logarithmiques, etc. Voyez TABLE.
Enfin ce rapport est aussi exprimé par des parties prises sur une échelle, qu'on appelle alors la ligne des sinus des tangentes, etc. Voyez LIGNE et ECHELLE.
La trigonométrie est divisée en trigonométrie rectiligne, et en trigonométrie sphérique. La première ne regarde que les triangles rectilignes ; la seconde considère les triangles sphériques.
La trigonométrie rectiligne est d'un usage continuel dans la navigation, l'arpentage, la géodésie, et autres opérations géométriques. Voyez MESURE, ARPENTAGE, NAVIGATION, etc.
La trigonométrie sphérique est plus savante ; elle est d'usage principalement dans l'astronomie, et les arts ou les sciences qui en dépendent, comme la géographie et la gnomonique. Elle passe pour être extrêmement difficile, à cause du grand nombre de cas qui la compliquent ; mais M. Wolf en a écarté les plus grandes difficultés. Cet auteur ne s'est pas contenté de faire voir que tous les cas des triangles peuvent être résolus par les méthodes ordinaires, en employant les règles des sinus et des tangentes ; mais il a donné une règle générale, par laquelle tous les problêmes des triangles rectilignes et sphériques sont résolus ; il enseigne même à résoudre les triangles obliquangles avec autant de facilité que les autres. On trouvera sa méthode au mot TRIANGLE.
La trigonométrie rectiligne est l'art de trouver toutes les parties d'un triangle rectiligne, par le moyen de quelques-unes de ces parties que l'on suppose données.
Le principe fondamental de cette trigonométrie, consiste en ce que les sinus des angles sont entr'eux dans le même rapport que les côtés opposés. Voyez l'application de ce principe à plusieurs cas des triangles rectilignes, à l'article TRIANGLE.
La trigonométrie sphérique est l'art par lequel trois des parties d'un triangle sphérique étant données, on trouve toutes les autres. Qu'on connaisse par exemple, deux côtés et un angle, on trouvera les deux autres angles et le troisième côté. Voyez SPHERIQUE.
Voici les principes de la trigonométrie sphérique, suivant la réforme ou la doctrine de Wolf. 1°. Dans tout triangle sphérique A B C, rectangle en A, le sinus total est au sinus de l'hypothénuse B C ; (Pl. trigon. fig. 31.) comme le sinus de l'un des deux angles aigus C, est au sinus du côté opposé A B ; ou comme le sinus de l'angle B, au sinus de son côté opposé A C : d'où il suit que le rectangle sous le sinus total, et sous le sinus d'un de ces côtés, est égal au rectangle sous le sinus de l'angle opposé à ce côté, et sous le sinus de l'hypothénuse.
Comme c'est ici la doctrine de M. Wolf, il est nécessaire d'expliquer quelques termes qui sont particuliers à cet auteur. Supposant le triangle rectangle B A C (Pl. de trigonom. fig. 33.), il appelle partie moyenne celle qui se trouve entre deux autres, considérée comme extrêmes : ainsi prenant les côtés A B, B C, pour extrêmes, l'angle B sera la partie moyenne : si les parties que l'on considère comme extrêmes sont contiguès avec la moyenne, ou que l'angle droit A se trouve entre la moyenne et l'une des extrêmes, il les nomme parties conjointes. Par exemple, B étant la partie moyenne, A B et B C seront les parties conjointes. Si A B est moyenne, A C et B seront les conjointes : si c'est le côté B C, en ce cas les angles B C, le seront : est-ce l'angle C, on aura pour conjointes les côtés B C, C A : enfin si le côté A C est moyenne, l'angle C et le côté A B seront les parties conjointes.
Mais si entre les parties qui sont à la place des extrêmes, et la moyenne, il se trouve quelqu'autre partie différente de l'angle droit, alors il les appelle parties disjointes : par exemple, l'angle B étant la moyenne, le côté A C, et l'angle C seront les disjointes : car entre la partie moyenne B et l'extrême C, se trouve l'hypothénuse B C ; entre la moyenne B et l'autre extrême A C, il y a le côté A B, outre l'angle droit A, que l'on ne considère point ici : ainsi le côté A B étant moyenne, le côté B C, et l'angle C seront les parties disjointes : si c'est le côté B C, les disjointes seront A B, A C. Quand ce sera l'angle C, l'angle B, et le côté A B, seront les disjointes : enfin si le côté A C est la moyenne, le côté B C, et l'angle B seront les parties disjointes. Cela supposé, dans tout triangle rectangle A B C (fig. 32.), dont aucun côté n'est un quart de cercle ; si on prend les compléments des côtés A C, ou A C à la place de ces côtés, le rectangle du sinus total, par le co-sinus de la partie moyenne, est égal au rectangle des parties disjointes ou extrêmes.
D'où il suit 1°. en employant les sinus logarithmiques à la place des naturels, que le sinus total ajouté avec le co-sinus de la partie moyenne, est égal à la somme des sinus des parties disjointes.
2°. Puisque dans le triangle rectiligne A B C (fig. 32.), le sinus total est à l'hypothénuse B C, comme le sinus de l'angle B ou C au sinus du côté opposé A C ou A B : si au-lieu des sinus des côtés, on prend les côtés mêmes, il sera encore vrai, dans ce cas, que le co-sinus de la partie moyenne A C ou A B ; ou bien que A C ou A B joint au sinus total sera égal à la somme des sinus des parties disjointes B ou C, et B C ; c'est-à-dire au sinus B ou de C, ajouté avec B C même.
C'est-là ce que Wolfius appelle regula sinuum catholica, ou la première partie de la règle générale de la trigonométrie, par le moyen de laquelle tous les problèmes de la trigonométrie sphérique et de la rectiligne, peuvent être résolus, quand on ne veut se servir que de sinus. Mylord Napier est le premier inventeur de cette règle ; mais il avait employé les compléments de l'hypothénuse B C (fig. 22.), et les angles B et C aulieu de l'hypothénuse et des angles mêmes : en sorte qu'il énonce sa règle de la manière suivante.
Le sinus total, avec le sinus de la partie moyenne, est égal aux co-sinus des parties opposées ou disjointes : pour employer les termes de Wolfius. Mais dans cette règle l'harmonie qui est entre la trigonométrie sphérique et la rectiligne, n'est pas aussi apparente que dans la règle précédente.
3°. Dans un triangle sphérique quelconque A B C (fig. 29.), dont aucun côté n'est un quart de cercle, le sinus total est au sinus du côté adjacent A C, comme la tangente de l'angle adjacent C est à la tangente du côté A B.
Ainsi la co-tangente de l'angle C est au sinus total comme le sinus total est à la tangente de l'angle C ; et parce que le sinus total est à la tangente de l'angle C, comme le sinus A C est à la tangente A B, la co-tangente de l'angle C sera au sinus total, comme le sinus du côté adjacent A C, est à la tangente du côté opposé A B : par conséquent le rectangle du sinus total, par le sinus de l'un des côtés A C, est égal au rectangle de la tangente de l'autre côté A B, par la co-tangente de l'angle C, opposé au même côté : de même le rectangle du sinus total et du sinus du côté A B, sera égal au rectangle de la tangente du côté A C, et de la co-tangente de l'angle B.
4°. Dans tout triangle rectangle sphérique A B C, dont aucun côté n'est un quart de cercle, si, à la place des compléments des côtés A B et A C au quart de cercle, ou des excès de ces côtés sur le quart de cercle, on prend ces côtés mêmes, le rectangle du sinus total, et du co-sinus de la partie moyenne, sera égal au rectangle des co-tangentes des parties conjointes.
De-là il suit 1°. qu'en prenant les sinus et les tangentes logarithmiques, au-lieu des naturels, le sinus total ajouté avec le co-sinus de la partie moyenne, sera égal à la somme de co-tangentes des parties conjointes. 2°. Puisque dans un triangle rectiligne rectangle A B C, on se sert de tangentes pour déterminer l'angle C, les côtés A B, A C étant donnés ; en disant, si le sinus total est à la co-tangente de l'angle C comme A B en A C : il sera donc vrai dans tout triangle rectangle rectiligne (en prenant à la place des sinus et des tangentes des côtés, les côtés mêmes), que le sinus total ajouté avec le co-sinus de la partie moyenne, c'est-à-dire avec A C, est égal à la somme des co-tangentes des parties conjointes, c'est-à-dire au côté A B ajouté avec la co-tangente de C, ou avec la tangente de B.
C'est là la règle que M. Wolf appelle regula tangentium catholica, et qui fait la seconde partie de la règle générale de la trigonométrie, par laquelle on résout tous les problèmes de la trigonométrie, tant rectiligne que sphérique, quand on veut se servir des tangentes.
La règle de mylord Napier, équivalente à celle-ci, est que le sinus total ajouté avec le sinus de la partie moyenne, est égal à la somme des tangentes des parties contiguès ou conjointes.
C'est donc une règle générale dans la trigonométrie tant sphérique que rectiligne (en observant les conditions supposées, c'est-à-dire, en prenant dans les triangles sphériques, les compléments des côtés A B et A C, au-lieu des côtés mêmes ; et dans les triangles rectilignes les côtés mêmes à la place de leurs sinus ou de leurs tangentes), que dans tout triangle rectangle le sinus total ajouté au co-sinus de la partie moyenne est égal aux sommes des sinus des parties disjointes, ou à la somme des co-tangentes des parties conjointes.
