S. m. en Géométrie, c'est une figure rectiligne de quatre côtés, dont les côtés opposés sont parallèles et égaux. Voyez QUADRILATERE.

Le parallélogramme est formé, ou peut être supposé formé par le mouvement uniforme d'une ligne droite toujours parallèle à elle-même.

Quand le parallélogramme a tous ses angles droits, et seulement ses côtés opposés égaux, on le nomme rectangle ou carré long. Voyez RECTANGLE.

Quand les angles sont tous droits, et les côtés égaux, il s'appelle carré. Voyez QUARRE.

Si tous les côtés sont égaux, et les angles inégaux, on l'appelle rhombe ou losange. Voyez RHOMBE et LOSANGE.

S'il n'y a que les côtés opposés qui soient égaux, et les angles opposés aussi égaux, mais non droits, c'est un rhomboïde. Voyez RHOMBOÏDE.

Tout autre quadrilatère, dont les côtés opposés ne sont ni parallèles ni égaux, s'appelle un trapeze. Voyez TRAPEZE.

Propriétés du parallélogramme. Dans tout parallélogramme, de quelque espèce qu'il sait, par exemple, dans celui-ci A B C D (Planches géomet. fig. 41.), la diagonale D A le divise en deux parties égales ; les angles diagonalement opposés B C et A D sont égaux ; les angles opposés au même côté C D et A B sont ensemble égaux à deux angles droits ; et deux côtés pris ensemble sont plus grands que la diagonale.

Deux parallélogrammes, A B C D et E C D F, sur la même ou sur une égale base, et de la même hauteur A C, ou entre les mêmes parallèles A F C D, sont égaux ; d'où il suit que deux triangles C D A et C D F, sur la même base et de la même hauteur, sont aussi égaux.

Il s'ensuit aussi que tout triangle C F D est moitié du parallélogramme A C D B, sur la même ou sur une égale base C D, et de la même hauteur, ou entre les mêmes parallèles ; et qu'un triangle est égal à un parallélogramme qui a la même base et la moitié de la hauteur, ou moitié de la base et la même hauteur. Voyez TRIANGLE.

Les parallélogrammes sont en raison composée de leur base et de leur hauteur. Si donc les hauteurs sont égales, ils sont comme les bases, et réciproquement.

Dans les parallélogrammes et les triangles semblables, les hauteurs sont proportionnelles aux côtés homologues. De-là les parallélogrammes et les triangles semblables sont en raison doublée de leurs côtés homologues, aussi-bien que de leurs hauteurs et de leurs bases ; ils sont donc comme les carrés des côtés, des hauteurs et des bases.

Dans tout parallélogramme, la somme des carrés des deux diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.

M. de Lagny regarde cette proposition comme une des plus importantes de toute la Géométrie : il la met au même rang que la fameuse XLVII e. d'Euclide, et que celle de la similitude des triangles ; et il ajoute que le premier livre entier d'Euclide n'est qu'un cas particulier de celle-ci. Car si ce parallélogramme est rectangle, il s'ensuit que les deux diagonales sont égales, et par conséquent que le carré de la diagonale, ou, ce qui revient au même, le carré de l'hypothenuse de l'angle droit, est égal aux carrés des côtés.

Si le parallélogramme n'est pas rectangle, et par conséquent si les deux diagonales ne sont pas égales, ce qui est le cas le plus général, la proposition devient d'une vaste étendue ; elle peut servir, par exemple, dans toute la théorie des mouvements composés, etc.

Il y a trois manières de démontrer ce théorème : la première, par la Trigonométrie, ce qui demande vingt-une opérations ; la seconde, géométrique et analytique, en demande quinze : M. de Lagny en donne une plus courte dans les mémoires de l'académie ; elle n'en exige que sept. Voyez DIAGONALE.

Mais en supposant la fameuse XLVII e. dont la démonstration est d'un assez petit détail, celle-ci se démontre avec une extrême facilité : car soit A C = D (Pl. de Géom. fig. 25.), D B = d, A B = C D = B, B C = A D = C, B F = A E = y, C F = D E = x, alors D F sera = B + x, et C E = B - x ; on voit bien que A E et B F sont des perpendiculaires. Ceci supposé, il faut démontrer que D D + d d = 2 B B + 2 C C.

Démonst. par la XLVII e. D D = Y Y + B B - 2 B x + x x et C C = y y + x x. Mettant donc C C en la place de Y Y + x x, dans l'équation précédente, on aura D D = B B + C C - 2 B x.

Pareillement d d = Y Y + B B + 2 B X + X X = B B + C C + 2 B X ; par conséquent D D + d d = B B + C C + 2 B X + B B + C C - 2 B X, et réduisant ce dernier membre à sa plus simple expression, on a D D + d d = 2 B B + 2 C C. (C. Q. F. D.)

Trouvez l'aire du parallélogramme rectangle A B C D (fig. 41.) ; trouvez la longueur des côtés A B et A C ; multipliez A B par A C : le produit sera l'aire du parallélogramme. Supposez par exemple A B, 345 ; A C, 333 : l'aire sera 11385.

On trouve l'aire des autres parallélogrammes qui ne sont pas rectangles, en multipliant la base D C (fig. 25.) par la hauteur B F.

Complément du parallélogramme. Voyez COMPLEMENT.

Centre de gravité du parallélogramme. Voyez CENTRE DE GRAVITE et METHODE CENTROBARIQUE. (E)

Quand les Géomètres disent qu'un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur, ils ne veulent pas dire par-là, comme quelques-uns se l'imaginent, qu'une surface est le produit de deux lignes droites ; car on ne multiplie point une ligne droite par une ligne droite, parce qu'on ne multiplie jamais deux concrets l'un par l'autre (voyez CONCRET) ; ce langage des Géomètres est une façon de parler abrégée, que j'ai expliquée à la fin de l'art. ÉQUATION, tom. V. p. 854. col. 2. (O)

Regle du parallélogramme. On appelle ainsi une règle imaginée par M. Newton, et dont voici l'usage : supposons qu'on ait une équation algébrique ordonnée en x et en y, on demande la valeur de y en x lorsque x = o, et lorsque x = . Pour cela on dispose en cette sorte dans un parallélogramme tous les termes de l'équation, etc. on remplit par des * les

termes qui devraient se trouver dans l'équation et qui ne s'y trouvent pas ; et par le moyen d'une règle qu'on applique à ce parallélogramme, en sorte qu'elle passe par deux ou plusieurs termes qui sont en ligne droite, et qu'elle laisse tous les autres termes au-dessus ou au-dessous, ou à gauche ou à droite, on trouve la solution du problème. Par exemple, dans le cas présent, si x = o, les termes de dessous a, c y, l y 2, etc. tous couverts par la règle, donnent la valeur de y, en faisant a + c y + l y 2 + etc. = o. Si le terme a manquait, on aurait à la fois b x + c y = o, et c y + l y 2 + m y 3 = o. Si x = , les termes supérieurs h x 5 + m y 3 = o, couverts par la règle, et au-dessous desquels tombent tous les autres, donnent y 3 = . On peut voir dans les usages de l'analyse de Descartes de M. l'abbé de Gua, et dans l'introduction à l'analyse des lignes courbes de M. Cramer, la démonstration, les différents usages, et les applications de cette règle, suivant les cas qui peuvent se présenter, il suffit ici d'en donner l'esprit. Il est bon d'observer que MM. de Gua et Cramer transforment le parallélogramme en un triangle qu'ils appellent analytique, ce qui ne change rien au fond.

En général, la règle appliquée dans les parties supérieures donne les valeurs de y qui répondent à x infinie ; et la règle appliquée aux parties inférieures donne les valeurs de y qui répondent à x = o. Cela est fondé 1°. sur ce que tous les termes inférieurs à la règle sont en général d'un ordre moins élevé que ceux par où la règle passe ; et qu'au contraire tous les termes supérieurs à la règle sont en général d'un ordre moins élevé. 2°. Sur ce que dans tous les termes par où passe la règle, les exposans de x et ceux de y sont en progression arithmétique.

Pour se servir commodément de cette règle, il faut 1°. supposer toutes les cases semblables et d'une égale surface, soit carrées, soit rectangles. 2°. Imaginer que chaque terme de l'équation soit au centre de la case, et remplir ces centres par des étoiles, ou par quelque autre marque, et les termes vides par des points. C'est ainsi qu'en a usé M. Cramer, ch. vij. de son ouvrage, auquel nous renvoyons.

Si on voulait savoir les valeurs de x qui répondent à y = 0, ou à y = , il faudrait coucher le triangle sur la bande sans y, c'est-à-dire, supposer la bande a + b x + c x 2, etc. horizontale, et suivre la même méthode.

Ainsi on n'a qu'à faire passer autant de règles qu'il sera possible par deux ou plusieurs termes qui soient en ligne droite, et supposer que tous les termes soient renfermés au-dedans de ces règles, tous les termes enfilés par chaque règle donneront une équation séparée ; et si le triangle est supposé couché sur la bande des y, les règles supérieures donneront les valeurs de y répondantes à x = , et les inférieures les valeurs de y répondantes à x = 0 : mais si le triangle est couché sur la bande des x, alors les règles supérieures donneront les valeurs de x qui répondent à y = , et les règles inférieures donneront les valeurs de x qui répondent à y = o. Voyez les articles SERIE et SUITE. (O)