adj. (Géométrie) se dit en général de tout ce qui a rapport au cone, ou qui lui appartient, ou qui en a la figure. On dit quelquefois les coniques, pour exprimer cette partie de la Géométrie des lignes courbes, où l'on traite des sections coniques.

CONIQUE, (Géométrie) section conique, ligne courbe que donne la section d'un cone par un plan. Voyez CONE et SECTION.

Les sections coniques sont l'ellipse, la parabole et l'hyperbole, sans compter le cercle et le triangle, qu'on peut mettre au nombre des sections coniques : en effet le cercle est la section d'un cone par un plan parallèle à la base du cone ; et le triangle en est la section par un plan qui passe par le sommet. On peut en conséquence regarder le triangle comme une hyperbole dont l'axe transverse ou premier axe est égal à zéro.

Quoique les principales propriétés des sections coniques soient expliquées en particulier à chaque article de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole ; nous allons cependant les exposer toutes en général, et comme sous un même point de vue ; afin qu'en les voyant plus rapprochées, on puisse plus aisément se les rendre familières : ce qui est nécessaire pour la haute Géométrie, l'Astronomie, la Mécanique, etc.

1. Si le plan coupant est parallèle à quelque plan qui passe par le sommet, et qui coupe le cone ; ou ce qui revient au même, si le plan coupant étant prolongé rencontre à-la-fais les deux cones opposés, la section de chaque cone s'appelle hyperbole. Pour représenter sous un même nom les deux courbes que donne chaque cone, lesquelles ne font réellement ensemble qu'une seule et même courbe, on les appelle hyperboles opposées.

2. Si le plan coupant est parallèle à quelque plan qui passe par le sommet du cone, mais sans couper le cone ni le toucher, la figure que donne alors cette section est une ellipse.

3. Si le plan passant par le sommet, et auquel on suppose parallèle le plan de la section, ne fait simplement que toucher le cone, le plan coupant donnera alors une parabole.

Mais au lieu de considérer les sections coniques par leur génération dans le cone, nous allons, à la manière de Descartes et des autres auteurs modernes, les examiner par leur description sur un plan.

Description de l'ellipse. H, I, (fig. 13. conique) étant deux points fixes sur un plan ; si l'on fait passer autour de ces deux points un fil I H B, que l'on tende par le moyen d'un crayon ou stylet en B, en faisant mouvoir ce stylet autour des points H et I jusqu'à ce qu'on revienne au même point B, la courbe qu'il décrira dans ce mouvement sera une ellipse.

On peut regarder cette courbe comme ne différant du cercle qu'autant qu'elle a deux centres au lieu d'un. Aussi si on imagine que les points H, I se rapprochent, l'ellipse sera moins éloignée d'un cercle, et en deviendra un exactement, lorsque ces points H et I se confondront.

Suivant les différentes longueurs que l'on donnera au fil B H I, par rapport à la distance ou longueur H I, on formera différentes espèces d'ellipses ; et toutes les fois qu'on augmentera l'intervalle H I, et la longueur du fil H B I, en même raison, l'ellipse restera de la même espèce ; les limites des différentes ellipses sont le cercle, et la ligne droite dans laquelle cette courbe se change lorsque les points H et I sont éloignés à leur plus grande distance ; c'est-à-dire, jusqu'à la longueur entière du fil. La différence frappante qui est entre le cercle, qui est la première de toutes les ellipses, et la ligne droite ou ellipse infiniment allongée qui est la dernière, indique assez que toutes les ellipses intermédiaires doivent être autant d'espèces d'ellipses différentes les unes des autres ; et il serait aisé de le démontrer rigoureusement.

Dans une ellipse quelconque D F K R, (fig. 14.) le point C est appelé le centre ; les points H et I, les foyers ; D K, le grand axe, ou l'axe transverse, ou bien encore le principal diamètre ou le principal diamètre transverse ; F R le petit axe. Toutes les lignes passant par C sont nommées diamètres : les lignes terminées à deux points de la circonférence, et menées parallèlement à la tangente M , au sommet d'un diamètre, sont les ordonnées à ce diamètre. Les parties comme M , terminées entre le sommet M du diamètre, et les ordonnées, sont les abscisses. Le diamètre mené parallèlement aux ordonnées d'un diamètre, est son diamètre conjugué ; enfin la troisième proportionnelle à un diamètre quelconque, et à son diamètre conjugué est le paramètre de ce diamètre quelconque. Voyez CENTRE, FOYER, AXE, DIAMETRE, etc.

Propriétés de l'ellipse. 1°. Les ordonnées d'un diamètre quelconque sont toutes coupées en deux parties égales par ce diamètre.

2°. Les ordonnées des axes ou diamètres principaux sont perpendiculaires à ces axes. Mais les ordonnées aux autres diamètres leur sont obliques. Dans les ellipses de différentes espèces, plus les ordonnées sont obliques sur leur diamètre à égale distance de l'axe, plus les axes diffèrent l'un de l'autre. Dans la même ellipse plus les ordonnées seront obliques sur leurs diamètres, plus ces diamètres seront écartés des axes.

3°. Il n'y a que deux diamètres conjugués qui soient égaux entr'eux ; et ces diamètres M G, V T, sont tels que l'angle F C M = F C V.

4°. L'angle obtus V C M, des deux diamètres conjugués égaux, est le plus grand de tous les angles obtus que forment entr'eux les diamètres conjugués de la même ellipse ; c'est le contraire pour l'angle aigu V C B.

5°. Les lignes P et B étant des demi-ordonnées à un diamètre quelconque M G, le carré de P est au carré de B, comme le rectangle M + G est au rectangle M + G. Cette propriété est démontrée par MM. de l'Hopital, Guisnée, etc.

6°. Le paramètre du grand axe, qui suivant la définition précédente doit être la troisième proportionnelle aux deux axes, est aussi égal à l'ordonnée M I (fig. 13.), qui passe par le foyer I.

7°. Le carré d'une demi-ordonnée quelconque P à un diamètre M G (fig. 14.), est moindre que le produit de l'abscisse M par le paramètre de ce diamètre. C'est ce qui a donné le nom à l'ellipse, , signifiant défaut.

8°. Si d'un point quelconque B (fig. 13.) on tire les droites B H et B I aux foyers, leur somme sera égale au grand axe ; et si l'on divise par la ligne B a l'angle I B H que font ces deux lignes, en deux parties égales, cette ligne B a sera perpendiculaire à l'ellipse dans le point B.

9°. Un corps décrivant l'ellipse D F K autour du foyer H, est dans sa plus grande distance à ce foyer H, lorsqu'il est en K ; dans sa plus petite, lorsqu'il est en D ; et dans ses moyennes distances, lorsqu'il est en F et en E.

10°. De plus, cette moyenne distance F H et E H est égale à la moitié du grand axe.

11°. L'aire d'une ellipse est à celle du cercle circonscrit D m K, comme le petit axe est au grand axe. Il en est de même de toutes les parties correspondantes M I K, m i K de ces mêmes aires. Cette propriété suit de celle-ci, que chaque demi-ordonnée M I de l'ellipse, est à la demi-ordonnée m I du cercle dans la raison du petit axe au grand. Ce serait le contraire, si on comparait un cercle à une ellipse circonscrite, c'est-à-dire qui aurait pour petit axe le diamètre de ce cercle.

12°. Tous les parallélogrammes décrits autour des diamètres conjugués des ellipses, sont égaux entr'eux. Le parallélogramme (fig. 14.) par exemple, est égal au parallélogramme

. M. Euler a étendu cette propriété à d'autres courbes. Voyez le premier volume de l'histoire française de l'académie de Berlin, 1745.

13°. Si la ligne droite B I passant par l'un des foyers, se meut en telle sorte que l'aire qu'elle décrit soit proportionnelle au temps, le mouvement angulaire de B H autour de l'autre foyer, lorsque l'ellipse ne diffère pas beaucoup du cercle, est fort approchant d'être uniforme ou égal. Car dans une ellipse qui diffère peu d'un cercle, les secteurs quelconques B I D, F I D, etc. sont entr'eux à très-peu près comme les angles correspondants B H D. Voyez Inst. Astron. de M. le Monnier, pag. 506. et suiv.

Description de la parabole. Y L K (fig. 15. sect. coniq.) est une équerre dont on fait mouvoir la branche Y L le long d'une règle fixe Y I ; P F est un fil dont une extrémité est attachée en X à cette équerre, et l'autre en F à un point fixe F. Si pendant le mouvement de cette équerre on tend continuellement le fil par le moyen d'un stylet P, qui suive toujours l'équerre, le stylet décrira la courbe appelée parabole.

La ligne L I est nommée la directrice ; F le foyer ; le point T qui divise en deux parties égales la perpendiculaire F I à la directrice, est le sommet de la parabole. La droite T F, prolongée indéfiniment, l'axe.

Toute ligne comme n i parallèle à l'axe, est appelée un diamètre. Les lignes comme Hl terminées à deux points H, l de l'ellipse, et menées parallèlement à la tangente au sommet d'un diamètre, sont les ordonnées à ce diamètre. Les parties i q sont les abscisses. Le quadruple de la distance du point i au point F, est le paramètre du diamètre i n : d'où il suit que le quadruple de F T est le paramètre de l'axe, qu'on appelle aussi le paramètre de la parabole.

Propriétés de la parabole. 1°. Les ordonnées à un diamètre quelconque, sont toujours coupées en deux parties égales par ce diamètre.

2°. Les ordonnées à l'axe lui sont perpendiculaires, et sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diamètre ; les autres sont d'autant plus obliques, que le diamètre dont elles sont les ordonnées, est plus éloigné de l'axe.

3°. Le carré d'une demi-ordonnée quelconque q l, est égal au rectangle de l'abscisse correspondante i q, par le paramètre du diamètre i n de ces ordonnées : c'est de cette égalité qu'est tiré le nom de la parabole, , signifiant égalité ou comparaison.

4°. Le paramètre de la parabole, c'est-à-dire le paramètre de l'axe, est égal à l'ordonnée à l'axe, laquelle passe par le foyer F, et se termine de part et d'autre à la parabole.

5°. La distance P F d'un point quelconque P de la parabole au foyer F, est égale à la distance P L du même point à la directrice L I ; cette propriété suit évidemment de la description de la courbe.

6°. Lorsque l'abscisse est égale au paramètre, la demi-ordonnée est aussi de la même longueur.

7°. Les carrés des deux ordonnées au même diamètre, qui répondent à deux différents points de la parabole, sont entr'eux dans la même proportion que les deux abscisses de ces ordonnées.

8°. L'angle h i n entre la tangente h t au point quelconque i, et le diamètre i n au même point, est toujours égal à l'angle t i F, que cette tangente fait avec la ligne i F tirée au foyer. Ainsi, si H i l représente la surface d'un miroir exposée aux rayons de lumière de manière qu'ils viennent parallèlement à l'axe, ils seront tous réfléchis au point F, où ils bruleront par leur réunion : c'est ce qui fait qu'on a nommé ce point le foyer. Voyez MIROIR ARDENT.

9°. La parabole est une courbe qui s'étend à l'infini à droite et à gauche de son axe.

10°. La parabole à mesure qu'elle s'éloigne du sommet, a une direction plus approchante du parallelisme à l'axe, et n'y arrive jamais qu'après un cours infini.

11°. Si deux paraboles ont le même axe et le même sommet, leurs ordonnées à l'axe répondant aux mêmes abscisses, seront toujours entr'elles en raison sous-doublée de leurs paramètres, ainsi que les aires terminées par ces ordonnées.

12°. La valeur d'un espace quelconque i q H, renfermé entre un arc de parabole, le diamètre i q au point i, et l'ordonnée H q au point H, est toujours le double de l'espace i h H renfermé entre le même arc i H, la tangente i h, et le parallèle h H à i q ; ou ce qui revient au même, l'espace i H q est toujours les deux tiers du parallélogramme circonscrit.

13° Si d'un point quelconque H de la parabole, on mène une tangente H m à cette courbe, la partie i m comprise entre le point où cette tangente rencontre un diamètre quelconque et le point i sommet de ce diamètre, est toujours égale à l'abscisse i q, qui répond à l'ordonnée q H de ce diamètre pour le point H.

14°. Toutes les paraboles sont semblables entr'elles et de la même espèce, ainsi que les cercles.

15°. Si on fait passer un diamètre par le concours de deux tangentes quelconques, ce diamètre divisera en deux parties égales la ligne qui joint les deux points de contact : cette propriété est commune à toutes les sections coniques.

Description de l'hyperbole. La règle I B T, (fig. 16.) est attachée au point fixe I, autour duquel elle a la liberté de tourner. A l'extrémité T de cette règle est attaché un fil H B T, dont la longueur est moindre que I T ; l'autre bout de ce fil est attaché à un autre point fixe H, dont la distance au premier l est plus grande que la différence qui est entre le fil et la règle I T, et plus petite que la longueur de cette règle. Cela posé, si pendant que la règle I T tourne autour du point I, on tend continuellement le fil par le moyen d'un stylet qui suive toujours cette règle, ce stylet décrira la courbe appelée hyperbole.

Les points H et I sont appelés les foyers. Le point C qui divise en deux parties égales l'intervalle I H, est le centre. Le point D qui est celui où tombe le point B, lorsque la règle I T tombe sur la ligne I H, est le sommet de l'hyperbole. La droite D K double de D C, est l'axe transverse ; la figure S K L égale et semblable à B D T, que l'on décrirait de la même manière en attachant la règle en H, au lieu de l'attacher en I, serait l'hyperbole opposée à la première.

Le rapport qui est entre la distance des points H et I, et la différence du fil à la règle, est ce qui caractérise l'espèce de l'hyperbole.

Il y a une autre manière de décrire l'hyperbole, qui rend plus facile la démonstration de la plupart de ses propriétés. Voici cette méthode.

L L et M M (fig. 17.) étant deux droites quelconques données de position qui se coupent en un point C, et c D d C un parallélogramme donné, si on trace une courbe e D h qui ait cette propriété qu'en menant de chacun de ses points e les parallèles e d, et e c à LL et MM, le parallélogramme c e dC soit égal au parallélogramme D c C d, cette courbe sera une hyperbole.

La courbe égale et semblable à cette courbe que l'on décrirait de la même manière dans l'angle opposé des lignes MM, LL, serait l'hyperbole opposée.

Les deux hyperboles que l'on décrirait avec le même parallélogramme entre les deux autres angles qui sont les compléments à deux droits des deux premiers, seraient les deux courbes appelées les hyperboles conjuguées aux premiers. Voyez CONJUGUE.

Le point C où les deux droites M M, L L, se rencontrent, est le centre de toutes ces hyperboles.

Toute ligne passant par le centre, et terminée aux deux hyperboles opposées, est un diamètre de ces hyperboles. Toutes les droites menées parallèlement à la tangente au sommet de ce diamètre et terminées par l'hyperbole, sont des ordonnées à ce diamètre ; et les parties correspondantes du prolongement de ce diamètre, lesquelles sont terminées par le sommet de ce diamètre et par les ordonnées, sont les abscisses.

Un diamètre quelconque de deux hyperboles opposées, a pour diamètre conjugué celui des hyperboles conjuguées qui a été mené parallèlement aux ordonnées du premier.

Le paramètre d'un diamètre quelconque, est la troisième proportionnelle à ce diamètre et à son conjugué.

Les lignes L L, M M sont appelées les asymptotes, tant des hyperboles opposées que des conjuguées. Voyez ASYMPTOTE.

Propriétés de l'hyperbole. 1°. Les ordonnées à un diamètre quelconque sont toujours coupées en deux parties égales par ce diamètre.

2°. Les ordonnées à l'axe sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diamètre ; les autres sont d'autant plus obliques, que le diamètre est plus écarté de l'axe ; et en comparant deux hyperboles de différentes espèces, les diamètres qui seront à même distance de l'axe, auront des ordonnées d'autant plus obliques, que la différence de l'angle L C M à son complément sera plus grande.

3°. Le carré d'une ordonnée à un diamètre quelconque est au carré d'une autre ordonnée quelconque au même diamètre, comme le produit de l'abscisse correspondante à cette première ordonnée par la somme de cette abscisse et du diamètre, est au produit de l'abscisse correspondante à la seconde ordonnée, par la somme de cette abscisse et du diamètre.

4°. Le paramètre de l'axe transverse est égal à l'ordonnée qui passe par le foyer.

5°. Le carré d'une demi-ordonnée à un diamètre est plus grand que le rectangle de l'abscisse correspondante par le paramètre de ce diamètre. C'est de cet excès, appelé en grec , qu'est venu le nom de l'hyperbole.

6°. Si d'un point quelconque B (fig. 16.) on tire deux lignes B H, B I aux foyers, leur différence sera égale au grand axe ; ce qui suit évidemment de la première description de l'hyperbole.

7°. Si on divise en deux parties égales l'angle H B I, compris les deux lignes qui vont d'un point quelconque aux foyers, la ligne de bissection sera tangente à l'hyperbole en B.

8°. Les lignes droites L L, M M (fig. 17.) dans lesquelles sont renfermées les deux hyperboles opposées et leurs conjuguées, sont asymptotes de ces quatre hyperboles, c'est-à-dire qu'elles en approchent continuellement sans jamais les rencontrer, mais qu'elles peuvent en approcher de plus près que d'une distance donnée, si petite qu'on la suppose.

9°. L'ouverture de l'angle que font les asymptotes des deux hyperboles opposées, caractérise l'espèce de cette hyperbole. Lorsque cet angle est droit, l'hyperbole s'appelle équilatère, à cause que son axe (latus transversum) et son paramètre (latus rectum) sont égaux entr'eux. Cette hyperbole est à l'égard des autres, ce que le cercle est à l'égard des ellipses. Si par exemple sur le même axe, en variant l'axe conjugué, on construit différentes hyperboles, les ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront les mêmes abscisses, seront à l'ordonnée correspondante de l'hyperbole équilatère, comme l'axe conjugué est à l'axe transverse.

10°. Si par le sommet d'un diamètre quelconque on tire une tangente à l'hyperbole, l'intervalle retranché sur cette tangente par les asymptotes, est toujours égal au diamètre conjugué.

11°. Si par un point quelconque m de l'hyperbole (fig. 29.) on tire à volonté des lignes K m H, r m R qui rencontrent les deux asymptotes, on aura M R = m r, H E = m K : ce qui fournit une manière bien simple de décrire une hyperbole, dont les asymptotes C Q, C T soient données, et qui passe par un point donné m : car menant par m une ligne quelconque K m H, et prenant H E = m K, le point E sera à l'hyperbole. On trouvera de même un autre point M de l'hyperbole, en menant une autre ligne r m R, et prenant M R = m r ; et ainsi des autres.

12°. Si sur l'une des asymptotes O M (fig. 17.) l'on prend les parties C I, C I I, C I I I, C I V, C V, etc. qui soient en progression géométrique, et qu'on mène par les points C I, C I I, C I I I, C I V, les parallèles Ii, II 2, III 3, IV 4, V 5, etc. à l'autre asymptote, les espaces I 2, II 3, III 4, IV 5, V 6, etc. seront tous égaux. D'où il suit que si l'on prend les parties C I, C I I, C I I I, etc. suivant l'ordre des nombres naturels ; les espaces I 2, I I 3, I I I 4, etc. représenteront les logarithmes de ces nombres.

De toutes les propriétés des sections coniques on peut conclure : 1°. que ces courbes font toutes ensemble un système de figures régulières, tellement liées les unes aux autres, que chacune peut dans le passage à l'infini, changer d'espèce et devenir successivement de toutes les autres. Le cercle, par exemple, en changeant infiniment peu le plan coupant, devient une ellipse ; et l'ellipse en reculant son centre à l'infini, devient une parabole, dont la position étant ensuite un peu changée, elle devient la première hyperbole : toutes ces hyperboles vont ensuite en s'élevant, jusqu'à se confondre avec la ligne droite, qui est le côté du cone.

On voit, 2°. que dans le cercle le paramètre est double de la distance du sommet au foyer ou centre ; dans l'ellipse, le paramètre de tout diamètre est à l'égard de cette distance dans une raison qui est entre la double et la quadruple, dans la parabole cette raison est précisément le quadruple, et dans l'hyperbole la raison passe le quadruple.

3°. Que tous les diamètres des cercles et des ellipses se coupent au centre et en-dedans de la courbe ; que ceux de la parabole sont tous parallèles entr'eux et à l'axe ; que ceux de l'hyperbole se coupent au centre, aussi-bien que ceux de l'ellipse, mais avec cette différence que c'est en-dehors de la courbe.

On peut s'instruire des principales propriétés des sections coniques, dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, par M. Guisnée : ceux qui voudront les apprendre plus en détail, auront recours à l'ouvrage de M. le marquis de l'Hopital, qui a pour titre, traité analytique des sections coniques : enfin on trouvera les propriétés des sections coniques traitées fort au long dans l'ouvrage in-folio de M. de la Hire, qui a pour titre, sectiones conicae in novem libros distributae ; mais les démonstrations en sont pour la plupart très-longues, et pleines d'une synthèse difficile et embarrassée. Enfin M. de la Chapelle, de la société royale de Londres, vient de publier sur cette matière un traité instructif et assez court, approuvé par l'académie royale des Sciences.

Les sections coniques, en y comprenant le cercle, composent tout le système des lignes du second ordre ou courbes du premier genre, la ligne droite étant appelée ligne du premier ordre. Ces lignes du second ordre ou courbes du premier genre, sont celles dans l'équation desquelles les indéterminées Xe y, montent au second degré. Ainsi pour représenter en général toutes les sections coniques, il faut prendre une équation dans laquelle Xe y, montent au second degré, et qui soit la plus composée qui se puisse ; c'est-à-dire qui contienne, outre les carrés x x et y y, 1°. le plan x y, 2°. un terme qui renferme x linéaire, 3°. un terme qui contienne y linéaire, et enfin un terme tout constant. Ainsi l'équation générale des sections coniques sera y y + p x y + b x x + c x + a = 0.

+ q y

Cela posé, voici comment on peut réduire cette équation à représenter quelqu'une des sections coniques en particulier.

Sait y + px /2 + q /2 = z, on aura z z - p2 x2/4 - 2 p q x/4 + b x x - q q/4 + c x + a = 0. Equation qu'on peut changer en celle-ci.

z z + A x x + B x + C = 0. On verra facilement que les nouvelles coordonnées de la courbe sont z, et une autre ligne u qui est en rapport donné avec Xe de sorte qu'on peut supposer x = m u ; ainsi l'équation pour les coordonnées z, u, sera

z z + D u u + F u + G = 0.

Or, 1°. si D = 0, la courbe est une parabole : 2°. si D est négatif, la courbe est une ellipse ; et elle sera un cercle, si D = - 1, et que l'angle des coordonnées z et u soit droit : 3°. si D est positif, la courbe sera une hyperbole. Au reste il arrivera quelquefois que la courbe sera imaginaire, lorsque la valeur de z en u sera imaginaire.

C'est ainsi qu'on pourrait parvenir à donner un traité vraiment analytique des sections coniques ; c'est-à-dire où les propriétés de ces courbes seraient déduites immédiatement de leur équation générale, et non pas comme dans l'ouvrage de M. le marquis de l'Hopital, de leur description sur un plan. M. l'abbé de Gua a fait sur ce sujet de fort bonnes réflexions dans son ouvrage intitulé, usage de l'analyse de Descartes, et il y trace le plan d'un pareil traité.

M. le marquis de l'Hopital, après avoir donné dans les trois premiers livres de son ouvrage les propriétés de chacune des sections coniques en particulier, a consacré le quatrième livre à exposer les propriétés qui leur sont communes à toutes : par exemple, que toutes les ordonnées à un même diamètre soient coupées en deux également par ce diamètre, que les tangentes aux deux extrémités d'une même ordonnée aboutissent au même point du diamètre, etc.

Les anciens avaient considéré d'abord les sections coniques dans le cone où elles sont nées ; et la meilleure manière de traiter ces courbes, serait peut-être de les envisager d'abord dans le cone, d'y chercher leur équation, et de les transporter ensuite sur le plan pour trouver plus facilement par le moyen de cette équation leurs autres propriétés ; c'est ce que M. de la Chapelle s'est proposé de faire dans l'ouvrage dont nous avons parlé.

Quelques auteurs, non contens de démontrer les propriétés des sections coniques sur le plan, ont encore cherché le moyen de démontrer ces propriétés, en considérant les sections coniques dans le cone même. Ainsi M. le marquis de l'Hopital a consacré le sixième livre de son ouvrage à faire voir comment on retrouve dans le solide les mêmes propriétés des sections coniques démontrées sur le plan : il a rempli cet objet avec beaucoup de clarté et de simplicité. Dans cet article nous avons envisagé les sections coniques de la manière qui demande le moins d'apprêt, mais qui n'est peut-être pas la plus naturelle : la méthode que nous avons suivie convenait mieux à un ouvrage tel que celui-ci ; et celle que nous proposons conviendrait mieux à un ouvrage en forme sur les sections coniques. Voyez les articles COURBE, LIEU, CONSTRUCTION, etc.

Pour démontrer les propriétés des sections coniques dans le cone, il est bon de prouver d'abord que toute section conique est une courbe du second ordre, c'est-à-dire où les inconnues ne forment pas une équation plus haute que le second degré. Cela se peut prouver très-aisément par l'Algèbre, en imaginant un cercle qui serve de base à ce cone, en faisant les ordonnées de la section conique parallèles à celles du cercle, et en formant des triangles semblables qui aient pour sommet commun celui du cone, et pour bases les ordonnées parallèles, etc. Nous ne faisons qu'indiquer la méthode : les lecteurs intelligens la trouveront sans peine ; et les autres peuvent avoir recours à la théorie des ombres dans l'ouvrage de M. l'abbé de Gua, qui a pour titre usages de l'analyse de Descartes, &c.

Cela bien démontré, il est visible que la section d'un cone par un plan qui le traverse entièrement, ne peut être qu'une ellipse ou un cercle ; car cette section rentre en elle-même, et ne saurait être par conséquent ni hyperbole ni parabole : de plus, son équation ne monte qu'au second degré, ainsi elle ne peut être que cercle ou ellipse. Mais on n'a pas trop bien démontré dans quel cas la section est un cercle ou une ellipse.

1°. Elle est un cercle, lorsqu'elle est parallèle à la base du cone.

2°. Elle est encore un cercle, lorsqu'elle forme une section sous-contraire, et lorsqu'elle est de plus perpendiculaire au triangle passant par l'axe du cone, et perpendiculaire lui-même à la base ; cela est démontré dans plusieurs livres. Voyez SOUS-CONTRAIRE.

3°. Il est aisé de conclure de la démonstration qu'on donne d'ordinaire de cette proposition, et qu'on peut voir, si l'on veut, dans le traité des sections coniques de M. de la Chapelle, que toute section perpendiculaire au triangle par l'axe, et qui ne fait pas une section sous-contraire, est une ellipse. Mais si la section n'est pas perpendiculaire à ce triangle, il devient un peu plus difficile de le démontrer. Voici comment il faut s'y prendre.

En premier lieu, si dans cette hyperbole la section conique passe par une autre ligne que celle que forme la section sous-contraire avec le triangle par l'axe, il est aisé de voir que le produit des segments de deux lignes tirées dans le plan de la courbe ne sera pas égal de part et d'autre ; et qu'ainsi la courbe n'est pas un cercle, puisque dans le cercle les produits des segments sont égaux.

En second lieu, si dans cette même hypothèse le plan de la courbe passe par une ligne que forme la section sous-contraire avec le triangle par l'axe, il n'y a qu'à imaginer un autre triangle perpendiculaire à celui-ci, et passant par l'axe ; on verra aisément 1°. que ce triangle sera isocele ; 2°. que la section de ce triangle avec la section sous-contraire, sera parallèle à la base ; 3°. que par conséquent le plan dont il s'agit étant différent de la section sous-contraire (hyp.), coupera ce nouveau triangle suivant une ligne oblique à la base ; et il est très-aisé de voir que les segments de cette ligne font un produit plus grand que celui des segments de la ligne parallèle à la base. Or ce second produit est égal au produit des segments de la section sous-contraire, puisque cette section est un cercle ; donc le premier produit est plus grand ; donc la section est une ellipse. Je ne sache pas que cette proposition ait été démontrée dans aucun livre. Ceux qui travailleront dans la suite sur les coniques, pourront faire usage des vues qu'on leur donne ici. (O)

CONIQUE, en Artillerie, se dit d'une pièce d'artillerie dont l'âme est plus large vers la bouche que vers la culasse.

Les premiers canons étaient coniques, selon Diego Uffano ; c'est-à-dire que l'intérieur de l'âme de la pièce finissait en pointe, et que l'âme de la pièce allait en augmentant jusqu'à sa bouche. Cette figure n'était guère convenable à faire agir la poudre sur le boulet avec tout l'effort dont elle est capable. D'ailleurs, les pièces se trouvaient par cette construction avoir moins de métal à la partie où elles en ont le plus de besoin, c'est-à-dire à la culasse. Aussi cette forme n'a-t-elle pas duré longtemps ; on trouva qu'il était plus avantageux de faire l'âme également large dans toute son étendue : c'est ce qu'on observe encore aujourd'hui. Voyez CANON. (Q)