S. m. en Géométrie, signifie une surface à laquelle une ligne droite se peut appliquer en tout sens, de manière qu'elle coincide toujours avec cette surface. Voyez SURFACE.

Comme la ligne droite est la distance la plus courte qu'il y ait d'un point à un autre, le plan est aussi la plus courte surface qu'il puisse y avoir entre deux lignes. Voyez COURBE.

En Géométrie, en Astronomie, etc. on se sert fort souvent de plans, etc. pour faire concevoir des surfaces imaginaires, qui sont supposées couper ou passer à-travers des corps solides ; et c'est de-là que dépend toute la doctrine de la sphère, et la formation des courbes appelées sections coniques ou sections du cône.

Quand un plan coupe un cône parallélement à l'un de ses côtés, la section est une parabole ; s'il la coupe parallélement à sa base, c'est un cercle. Voyez CONIQUES.

Toute la sphère s'explique par des plans que l'on imagine passer par les corps célestes, etc. Voyez SPHERE et CERCLE.

Les Astronomes démontrent que le plan de l'orbite de la lune est incliné au plan de l'orbite de la terre, ou de l'écliptique, sous un angle d'environ cinq degrés ; et que ce plan passe par le centre de la terre. Voyez ORBITE.

L'intersection de ce plan avec celui de l'écliptique, a un mouvement propre d'orient en occident ; de manière que les nœuds répondent successivement à tous les degrés de l'écliptique, et font une révolution au-tour de la terre dans l'espace d'environ 19 ans. Voyez NOEUD et LUNE.

Les plans des orbites des autres planètes, comme celui de l'écliptique, passent par le centre du soleil, et sont différemment inclinés les uns aux autres. Voyez INCLINAISON.

Comme le centre de la terre est dans le plan de l'orbite de la lune, la section circulaire de ce plan sur le disque de la lune nous est représentée sous la forme d'une ligne droite qui passe par le centre de la lune, cette ligne est inclinée au plan de l'écliptique, en faisant un angle de 5°, quand la lune est dans ses nœuds ; mais cette inclinaison diminue, à mesure que cette planète s'éloigne des nœuds ; et lorsqu'elle en est distante d'environ 90 degrés, la section de l'orbite de la lune sur son disque devient à-peu-près paralléle au plan de l'écliptique. Les planètes du premier ordre devraient montrer les mêmes apparences à un spectateur placé dans le soleil.

Mais ces apparences sont différentes dans ces mêmes planètes, lorsqu'elles sont vues d'une autre planète, comme de la terre, les plans de leurs orbites ne paraissent passer par le centre de la terre, que quand elles sont dans leurs nœuds ; en toute autre situation la section circulaire du plan de l'orbite sur le disque ou la surface de la planète, ne parait pas une ligne droite, mais une ellipse plus large ou plus étroite, selon que la terre est plus ou moins élevée au-dessus du plan de l'orbite de la planète.

Plan, en mécanique. Un plan horizontal est un plan de niveau, ou paralléle à l'horizon. Voyez HORISON et HORISONTAL.

Tout l'art du nivellement consiste à déterminer de combien un plan donné s'éloigne du plan horizontal. Voyez NIVELLEMENT.

Plan incliné, en mécanique, est un plan qui fait un angle oblique avec un plan horizontal. Voyez OBLIQUE et INCLINE.

La théorie du mouvement des corps sur des plans inclinés est un des points principaux de la mécanique.

Le P. Sebastien a trouvé une machine pour mesurer l'accélération d'un corps qui tombe sur un plan incliné, et pour la comparer avec celle que l'on découvre dans la chute des corps qui tombent en liberté. On en voit la description dans les mémoires de l'académie royale des Sciences 1699 pag. 343. Voyez aussi PESANTEUR.

Lais de la descente des corps sur des plans inclinés. 1°. Si un corps est placé sur un plan incliné, sa pesanteur absolue sera à sa pesanteur relative, comme la longueur du plan A C est à sa hauteur A B. Pl. méch. fig. 58.

En effet, un corps qui est sur un plan incliné tend, en vertu de sa pesanteur, à tomber suivant la verticale Q F ; mais il ne peut tomber dans cette direction à cause du plan qui s'y oppose. Or l'action de la pesanteur, suivant Q F, est composée de deux autres actions ; l'une suivant Q G, perpendiculaire à A C ; l'autre suivant Q E, dans la direction de A C : l'effort suivant Q G, étant perpendiculaire à A C, est détruit et soutenu par le plan ; et il ne reste plus que l'effort suivant Q E, avec lequel le corps tend à tomber ou à glisser le long du plan, et glisserait effectivement si quelque puissance ne le retenait pas. Or l'effort Q E avec lequel le corps tend à tomber, est plus petit que l'effort absolu de la pesanteur suivant Q F, parce que l'hypothenuse Q F du triangle rectangle Q F E est plus grande que le côté O E ; ainsi on voit que le corps D tend à glisser sur le plan avec une force moindre que sa pesanteur, et que le plan en soutient une partie. De plus les triangles Q E F, A C B sont semblables ; car les angles en E et en B sont droits, et l'angle Q est égal à l'angle A ; d'où il s'ensuit que Q E est à Q F, comme A B est à A C ; donc l'effort du poids pour glisser est à son poids absolu, comme la hauteur du plan est à sa longueur ; donc la puissance nécessaire pour vaincre la tendance du poids à glisser, est au poids D dans le même rapport de la hauteur du plan à sa longueur.

D'où il s'ensuit 1°. que le corps D ne pesant sur le plan incliné qu'avec sa pesanteur respective ou relative, le poids L appliqué dans une direction verticale, le retiendra ou le soutiendra, pourvu que sa pesanteur soit à celle du corps D comme la hauteur du plan B A est à sa longueur A C.

2°. Si l'on prend pour sinus total la longueur du plan C A, A B sera le sinus de l'angle d'inclinaison A C B ; c'est pourquoi la pesanteur absolue du corps est à sa pesanteur respective, suivant le plan incliné, et le poids D est aussi au poids L, agissant suivant la direction L A ou A D sur le poids D qu'il soutient, comme le sinus total est au sinus de l'angle d'inclinaison.

3°. Les pesanteurs respectives du même corps sur différents plans inclinés, sont l'une à l'autre comme les sinus des angles d'inclinaison.

4°. Plus l'angle d'inclinaison est grand, plus aussi est grande la pesanteur respective.

5°. Ainsi dans un plan vertical où l'angle d'inclinaison est le plus grand, puisqu'il est formé par une perpendiculaire, la pesanteur respective est égale à la pesanteur absolue ; et dans un plan horizontal, où il n'y a aucune inclinaison, la pesanteur respective s'anéantit totalement.

II. Pour trouver le sinus de l'angle d'inclinaison que doit avoir un plan, afin qu'une puissance donnée y puisse soutenir un poids donné, dites : le poids donné est à la puissance donnée, comme le sinus total est au sinus de l'angle d'inclinaison du plan : ainsi supposant qu'un poids de 1000 livres doive être soutenu par une puissance de 50, on trouvera que l'angle d'inclinaison doit être de 2°. 52'.

Au reste, nous supposons dans toute cette théorie que la puissance tire parallélement à A C, c'est-à-dire, à la longueur du plan ; et c'est la manière la plus avantageuse dont elle puisse être appliquée. Mais si elle tire dans toute autre direction, il ne sera pas fort difficile de déterminer le rapport de la puissance au poids. Pour cela on menera par le point de concours de la direction verticale du poids, et de la direction de la puissance, une perpendiculaire au plan A C ; or pour qu'il y ait équilibre, il faut 1°. que cette perpendiculaire tombe sur la base du corps, et non au-delà ou en-deçà, car autrement le corps glisserait ; 1°. qu'elle soit la direction de la force résultante de l'action du poids et de celle de la puissance ; car il faut que la force résultante de ces deux actions soit détruite par la résistance du plan, et elle ne peut être détruite à moins qu'elle ne soit pas perpendiculaire au plan ; on fera donc un parallélogramme dont la diagonale soit cette perpendiculaire, et dont les côtés seront pris sur les directions de la puissance et du poids, et le rapport des côtés de ce parallélogramme sera celui de la puissance et du poids. Ceux qui voudront voir cette matière plus approfondie peuvent consulter la Mécanique de Varignon.

III. Si le poids L descend selon la direction perpendiculaire A B, en élevant le poids D dans une direction parallèle au plan incliné, la hauteur de l'élévation du poids D sera à celle de la descente du poids L, comme le sinus de l'angle d'inclinaison C est au sinus total.

D'où il s'ensuit 1°. que la hauteur de la descente du poids L est à la hauteur de l'élévation du poids D réciproquement, comme le poids D est au poids équivalent L.

2°. Que des puissances sont égales lorsqu'elles élèvent des poids à des hauteurs qui sont réciproquement proportionnelles à ces poids ; et c'est ce que Descartes prend comme un principe par lequel il démontre les forces des machines.

On voit aussi la raison pourquoi il est beaucoup plus difficile de tirer un chariot chargé sur un plan incliné, que sur un plan horizontal, parce qu'on a à vaincre une partie du poids qui est à la pesanteur totale dans le rapport de la hauteur du plan à sa longueur.

IV. Les poids E F, fig. 53. n. 2. qui pesent également sur des plans inclinés A C, C B, de même hauteur C D, sont l'un à l'autre comme les longueurs des plans A C, C B.

Stevin a donné une espèce de démonstration expérimentale de ce théorème : nous l'ajouterons ici à cause qu'elle est facile et assez ingénieuse. Sur un triangle G I H mettons une chaîne, dont les parties ou chainons soient tous uniformes et également pesans, fig. 59. il est évident que les parties G H, K H se balanceront l'une l'autre. Si donc I H ne balançait pas G I, la partie plus pesante l'emporterait, et par conséquent il s'ensuivrait un mouvement perpétuel de la chaîne autour du triangle G I H ; mais comme cela est impossible, il est clair que les parties de la chaîne I H, G I, et par conséquent tous les autres corps qui sont comme les longueurs des plans I H et I G se balanceront l'un l'autre.

V. Un corps pesant descend sur un plan incliné avec un mouvement uniformément accéléré. En effet il doit descendre suivant la même loi que les corps graves qui tombent verticalement, avec cette seule différence qu'il descend avec une pesanteur moindre. Voyez MOUVEMENT et ACCELERATION.

D'où il s'ensuit 1° que les espaces de la descente sont en raison doublée des temps, de même qu'en raison doublée des vitesses, c'est pourquoi les espaces parcourus en temps égaux, croissent comme les nombres impairs, 1, 3, 5, 7, 9, etc.

2°. L'espace parcouru par un corps pesant qui descend sur un plan incliné, est sousdouble de celui qu'il parcourait dans le même temps avec la vitesse acquise à la fin de sa chute.

3°. Ainsi en général les corps pesans en descendant sur des plans inclinés, suivent les mêmes lois que s'ils tombaient perpendiculairement. Cette raison détermina Galilée, qui voulait découvrir les lois du mouvement des corps dont la chute est perpendiculaire, à faire ses expériences sur des plans inclinés, à cause que le mouvement y est plus lent. Les théorèmes suivants vont nous apprendre celles qu'il y découvrit.

VI. Si un corps pesant descend sur un plan incliné, sa vitesse à la fin d'un temps donné quelconque, est à la vitesse qu'il acquérait en tombant perpendiculairement dans le même temps, comme la hauteur du plan incliné est à sa longueur.

VII. L'espace parcouru par un corps pesant sur un plan incliné A D, fig. 60, est à l'espace A B qu'il parcourait en même temps dans un plan perpendiculaire, comme la vitesse du corps sur le plan incliné au bout d'un temps quelconque, est à la vitesse que ce même corps aurait acquise en tombant perpendiculairement durant le même temps.

D'où il s'ensuit 1° que l'espace parcouru sur le plan incliné, est à l'espace qui serait parcouru en temps égal dans un plan perpendiculaire, comme la hauteur du plan A B est à sa longueur A C, et par conséquent comme le sinus de l'angle d'inclinaison C D est au sinus total.

2°. Or si de l'angle droit B l'on abaisse une perpendiculaire sur A C, l'on aura A C, A B : : A B, A D, donc un corps descendant sur un plan incliné viendrait du point A en D, dans le même temps qu'il tomberait en ligne perpendiculaire du point A au point B.

3°. C'est pourquoi étant donné l'espace de la descente perpendiculaire dans la hauteur du plan A B ; si on fait tomber une perpendiculaire du point B sur A C, l'on a l'espace A D qui doit être parcouru dans le même temps sur le plan incliné.

4°. Pareillement étant donné l'espace A D parcouru sur le plan incliné, l'on a l'espace A B qui serait parcouru perpendiculairement dans le même temps, en élevant une perpendiculaire qui rencontre le plan vertical en B.

5°. D'où il s'ensuit que dans le demi-cercle C D E F, fig. 61, un corps descendra en un temps égal par tous les plans A D, A E, A F, A C, c'est-à-dire dans le même temps qu'il tomberait par le diamètre A B, en le supposant perpendiculaire au plan horizontal L M.

VIII. L'espace A D, fig. 60, parcouru sur un plan incliné A C étant donné, détermine l'espace qui serait parcouru dans le même temps, sur un autre plan incliné. Du point D élevez une perpendiculaire D B qui rencontre la verticale A B au point B, la longueur A B sera l'espace que le corps parcourt pendant ce temps en tombant perpendiculairement : c'est pourquoi si du point B l'on abaisse une perpendiculaire B E sur le plan A F, A E sera la partie de ce plan incliné que le corps parcourra dans le même temps qu'il tomberait perpendiculairement du point A au point B, et par conséquent dans le même temps qu'il parcourait la partie A D dans l'autre plan incliné A C.

Ainsi puisque A B est à A D comme le sinus total est au sinus de l'angle d'inclinaison C, et que A B est à A E comme le sinus total est au sinus de l'angle d'inclinaison F, les espaces A D, A E, que le corps parcourt dans le même temps sur différents plans inclinés, seront comme les sinus des angles d'inclinaisons C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans ; et par conséquent aussi réciproquement, comme les longueurs des plans d'égale hauteur A C, A F : d'où l'on voit que le problème peut être résolu de différentes manières par le calcul.

IX. Les vitesses acquises dans le même temps sur différents plans inclinés sont, comme les espaces parcourus dans le même temps. Il s'ensuit de-là qu'elles sont aussi comme les sinus des angles d'inclinaison C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans, et réciproquement comme les longueurs des plans A C, A F, d'égale hauteur.

X. Quand un corps qui descend sur un plan incliné A C arrive à la ligne horizontale C B, il a acquis la même vitesse qu'il aurait acquise en descendant verticalement jusqu'à la même ligne horizontale C B.

Cela se peut prouver aisément par le principe d e = u d u de l'article FORCES ACCELERATRICES ; car on voit que u u est proportionnelle à e, et comme les forces accélératrices sur A C et sur A B sont entr'elles en raison inverse des longueurs parcourues A C et A B, c'est-à-dire en raison inverse de e, il s'ensuit qu'aux points C et B on a e égal de part et d'autre. Donc, etc.

Il suit de-là 1° qu'un corps pesant qui descend par différents plans inclinés A C, A G, A F, a acquis la même vitesse quand il arrive à la même ligne horizontale C F.

XI. Le temps de la descente le long d'un plan incliné A C est au temps de la descente perpendiculaire par A B, comme la longueur du plan A C est à sa hauteur A B ; et les temps de la descente par différents plans inclinés d'égale hauteur A C, A G, sont comme les longueurs des plans : car dans le mouvement uniformément accéleré lorsque les vitesses finales sont égales, les temps sont entr'eux comme les espaces parcourus. C'est une suite des principes posés au mot ACCELERATION.

XII. Si le diamètre d'un cercle A B, fig. 61, est perpendiculaire à la ligne horizontale L M, un corps descendra d'un point quelconque de la circonférence D E le long des plans inclinés D B, E B, C B, etc. dans le même temps qu'il descendrait par le diamètre A B ; cela se déduit aisément des propositions précédentes.

Toutes ces propositions sur les plans inclinés peuvent se démontrer aisément par la méthode suivante ; soit p la pesanteur, h le sinus d'inclinaison du plan, I étant le sinus total, p h sera la partie de la pesanteur qui agit pour mouvoir le corps le long du plan ; et si on nomme x la longueur d'une partie quelconque du plan, à commencer du point d'où le corps est parti, et u la vitesse du corps, on aura par le principe des forces accélératrices (voyez FORCES ACCELERATRICES), p h d x = u d u, et u u = 2 p h Xe de plus le temps d t sera = = ; donc t = . On remarquera de plus, que si un corps tombait de la hauteur x perpendiculairement, on aurait sa vitesse = , et le temps = . En voilà assez pour démontrer aisément toutes les propositions précédentes sur les plans inclinés.

Lais de l'ascension des corps sur des plans inclinés. I. Si un corps monte dans un milieu qui ne résiste point, suivant une direction quelconque perpendiculairement, ou le long d'un plan incliné, son mouvement sera uniformément retardé.

D'où il suit 1° qu'un corps qui monte perpendiculairement ou obliquement dans un milieu de cette nature, parcourt un espace sousdouble de celui qu'il parcourait dans le même temps sur un plan horizontal avec une vitesse uniforme, égale à celle qu'il a au commencement de son mouvement.

2°. Les espaces parcourus en temps égaux par un corps qui remonte ainsi, décroissent dans un ordre renversé, comme les nombres impairs 7, 5, 3, 1 ; et quand la force imprimée est épuisée, le corps redescend par la force de la pesanteur.

3°. C'est pourquoi ces espaces sont dans un ordre renversé, comme les espaces parcourus en temps égaux, par un corps qui descend le long de la même hauteur. Car supposons le temps divisé en quatre parties ; dans le premier moment, le corps A descend par l'espace 1, et B monte par 7 ; dans le second, A descend par 3, B monte par 5, etc.

4°. D'où il suit qu'un corps qui s'élève avec une certaine vitesse, monte à une hauteur égale à celle d'où il faut qu'il tombe pour acquérir à sa chute la vitesse initiale, avec laquelle il a monté.

5°. Donc réciproquement un corps qui tombe acquiert par sa chute une force propre à le faire remonter à la hauteur d'où il est tombé. Voyez PENDULE.

II. Etant donné le temps qu'un corps emploie à monter à une hauteur donnée, déterminer l'espace parcouru à chaque instant ; supposez que le corps descende de cette même hauteur dans le même temps, et trouvez l'espace parcouru à chaque instant. Voyez MOUVEMENT et DESCENTE. En prenant ces espaces dans un ordre renversé, ils seront les mêmes que ceux que l'on cherche.

Supposez, par exemple, qu'on corps jeté perpendiculairement monte à une hauteur de 240 pieds pendant le temps de quatre secondes, et que l'on demande les espaces qui sont parcourus dans les différents temps de cette ascension ; si le corps était descendu, l'espace parcouru dans la première minute aurait été 15 pieds, dans la seconde 45, dans la troisième 75, dans la quatrième 105, etc. par conséquent l'espace parcouru en remontant dans la première minute sera 105, dans la seconde 75, etc.

III. Si un corps descend perpendiculairement par A D, fig. 62, ou dans toute autre surface F E D, et qu'avec la vitesse qu'il y a acquise, il remonte le long d'une autre surface C D à des points d'égale hauteur ; par exemple, en G il aura la même vitesse. Cette proposition est encore une suite des précédentes sur les plans inclinés.

Lorsqu'un corps se meut sur un plan et qu'il rencontre un autre plan, il est facile de voir par le principe de la décomposition des forces, que sa vitesse le long du nouveau plan est à sa vitesse le long du premier plan, comme le cosinus de l'angle des plans est au lieu total : donc la vitesse perdue est comme le sinus verse de l'angle des plans ; or si cet angle est infiniment petit, le sinus verse est infiniment petit du second ordre. Ainsi lorsqu'un corps se meut sur une courbe, la perte de vitesse qu'il fait à chaque instant est infiniment petite du second ordre, et par conséquent infiniment petite du premier ordre ou nulle dans un temps fini.

Le plan de gravité ou de gravitation, est un plan que l'on suppose passer par le centre de gravité d'un corps et dans la direction de sa tendance, c'est-à-dire perpendiculaire à l'horizon. Voyez GRAVITE et CENTRE.

Plan de réflexion, en Captoptrique, c'est un plan qui passe par le point de réflexion, et qui est perpendiculaire au plan du miroir ou à la surface du corps réfléchissant. Voyez REFLEXION.

Plan de réfraction est, un plan qui passe par le rayon incident et le rayon réfracté ou rompu. Voyez REFRACTION.

Plan du tableau, en Perspective, c'est une surface plane qu'on imagine comme transparente, ordinairement perpendiculaire à l'horizon, et placée entre l'oeil du spectateur et l'objet qu'il voit, on suppose que les rayons optiques qui viennent des différents points de l'objet jusqu'à l'oeil passent à travers cette surface, et qu'ils laissent dans leur passage des marques qui les représentent sur le plan. Voyez PERSPECTIVE.

Tel est le plan H I, Pl. perspect. fig. 1, que l'on appelle plan du tableau ; parce que l'on suppose que la figure de l'objet est tracée sur ce plan.

Plan géométral, en Perspective, est un plan parallèle à l'horizon, sur lequel on suppose placé l'objet que l'on se propose de mettre en perspective. Tel est le plan L M, Pl. persp. fig. 1 ; ce plan coupe ordinairement à angles droits le plan du tableau.

Plan horizontal, en Perspective, est un plan qui passe par l'oeil du spectateur parallélement à l'horizon, coupant à angles droits le plan du tableau quand celui-ci est perpendiculaire au plan géométral.

Plan vertical, en Perspective, c'est un plan qui passe par l'oeil du spectateur perpendiculairement au plan géométral, et ordinairement parallèle au plan du tableau. Voyez VERTICAL.

Plan de projection, dans la projection stéréographique de la sphère, est le plan sur lequel on suppose que les points de la sphère sont projetés, et que la sphère est représentée. Voyez PROJECTION, etc.

Plan d'un cadran, c'est la surface sur laquelle un cadran est tracé. Voyez CADRAN.

Déclinaison d'un plan. Voyez l'article DECLINAISON. Chambers. (O)

PLAN, pris substantivement, signifie aussi, en Géométrie, la représentation que l'on fait sur le papier de la figure et de différentes parties d'un champ, d'une maison, ou de quelqu'autre chose semblable. Voyez l'article suivant.

PLAN, LEVER UN, chez les Arpenteurs, c'est l'art de décrire sur le papier les différents angles et les différentes lignes d'un terrain, dont on a pris les mesures avec un graphomètre, ou un instrument semblable, et avec une chaîne. Voyez ARPENTAGE.

Quand on lève un terrain avec la planchette, on n'a point besoin d'en faire le plan, il est tout fait ; cet instrument donnant sur le champ les différents angles et les différences en même temps qu'on les prend sur le terrain. Voyez PLANCHETTE.

Mais en travaillant avec le graphomètre, ou le demi-cercle, on prend les angles en degrés, et les distances en chaînes et en chainons. Voyez GRAPHOMETRE, DEMI-CERCLE, PLANCHETTE RONDE, ÉQUERRE D'ARPENTEUR, etc. Ensorte qu'il reste à faire une autre opération pour réduire ces nombres en lignes, et lever le plan ou la carte. Voyez CARTE.

Cela s'exécute par le moyen de deux instruments, le rapporteur et l'échelle. Par le moyen du rapporteur, les différents angles que l'on a observés sur le terrain avec le graphomètre ou instrument semblable, et dont on a écrit les degrés sur un registre, sont tracés sur le papier dans leur juste grandeur. Voyez RAPPORTEUR.

L'échelle sert à donner les véritables proportions aux différentes distances mesurées avec la chaîne, quand il s'agit de les tracer sur une carte. Voyez ÉCHELLE.

Sous ces deux articles on trouve séparément l'usage de ces instruments respectifs, pour prendre des angles et des distances ; nous les donnerons ici conjointement, en exposant la manière de faire le plan d'un terrain ou d'un champ, que l'on a levé avec la planchette ronde, ou avec le graphomètre, l'un et l'autre garnis d'une boussole.

Méthode de faire un plan quand on a fait usage sur le terrain de la planchette ronde. Supposons que l'on ait levé le terrain A B C D E F G H K (Pl. d'Arpent. fig. 21.) que l'on ait pris les différents angles avec la planchette ronde, en tournant tout-autour, que l'on en ait mesuré les différentes longueurs avec une chaîne, et que l'on ait écrit sur un registre de la grandeur des angles des distances, tel que la table suivante le représente.

1°. Sur un papier ou sur une carte, dont les dimensions soient convenables, tel que L M N O (fig. 31.), tirez un nombre de lignes parallèles à égale distance, qui représentent des méridiens exprimés par les lignes ponctuées.

L'usage de ces lignes est de diriger la position du rapporteur, dont le diamètre doit toujours être placé sur l'une de ces lignes, ou parallèlement à l'une d'elles.

Après avoir ainsi préparé la carte ou le papier, prenez un point sur quelque méridien, comme A ; placez-y le centre du rapporteur, et couchez son diamètre le long de ce méridien. Voyez après cela sur le mémoire ou le devis de votre terrain quelle est la grandeur du premier angle ; c'est-à-dire quel est le nombre de degrés coupés par l'aiguille aimantée de l'instrument au point A, que la table vous donne de 191 degrés.

Présentement, puisque 191 degrés sont plus grands qu'un demi-cercle ou que 180 degrés, il faut mettre en bas le demi-cercle du rapport, et l'arrêtant avec un style au point où est placé son centre, faites une marque vis-à-vis 191 du point A, tirez par cette marque la ligne indéfinie A b.

Le premier angle ainsi tracé, consultez encore votre mémoire, pour savoir quelle est la longueur de la première ligne A B, vous y trouverez 10 chaînes 95 chainons ; c'est pourquoi d'une échelle convenable, construite sur l'échelle d'arpenteur, prenez l'étendue de 10 chaînes, 75 chainons ; avec un compas ordinaire, et mettant une de ses pointes au point A, marquez l'endroit où l'autre point tombe sur la ligne A b, supposons que ce soit en B ; tirez par conséquent la ligne pleine A B, pour le premier côté de votre terrain.

Procédez ensuite au second angle, et mettant le centre du rapport au point B, avec le diamètre disposé comme ci-dessus, faites une marque, telle que c, vis-à-vis de 297, qui exprime les degrés coupés au point B, et tirez la ligne indéfinie B c. Sur cette ligne prenez, comme ci-dessus, avec l'échelle d'arpenteur, la longueur de votre seconde ligne, c'est-à-dire, 6 chaînes, 83 chainons ; laquelle s'étendant de B en C, tirez la ligne B C pour le second côté.

Procédez maintenant au troisième angle ou à la troisième station : mettez donc, comme ci-dessus, le centre du rapporteur au point C ; faites une marque, telle que d, vis-à-vis le nombre des degrés coupés au point C, c'est-à-dire, vis-à-vis 216 ; tirez la ligne indéfinie C d, et prenez dessus la troisième distance ou 7 chaînes, 82 chainons ; laquelle se terminant par exemple en D, tirez la ligne pleine C D, pour troisième côté.

Procédez à-présent au quatrième angle D, et mettant le centre du rapporteur sur la pointe D, vis-à-vis 325 degrés coupés par l'aiguille aimantée, faites une marque e, tirez la ligne D e au crayon, et prenez sur elle la distance 6 chaînes, 96 chainons, laquelle se terminant en E, tirez D E pour la quatrième ligne, et allez au cinquième angle, c'est-à-dire au point E.

Les degrés qui sont coupés par l'aiguille aimantée étant marqués 12°. 24'. (ce qui est plus petit qu'un demi-cercle) il faut placer le centre du rapporteur au point E, et le diamètre sur le méridien, le limbe demi-circulaire tourne en-dessus. Dans cette situation, faites une marque comme ci-dessus, vis-à-vis le nombre des degrés coupé par l'index au point E, c'est-à-dire vis-à-vis 12°. 24'. tirez la ligne E f, sur laquelle vous n'avez qu'à prendre la cinquième distance, c'est-à-dire, 9 chaînes, 71 chainons ; laquelle s'étendant de E en F, tirez la ligne pleine E F pour le cinquième côté de votre terrain.

Procédant de la même manière et par ordre aux angles F, G, H, K, en plaçant le rapporteur, faites des marques vis-à-vis les degrés respectifs, tirez des lignes au crayon indéfinies, sur lesquelles vous n'avez qu'à prendre, comme ci-dessus, les distances respectives, vous aurez le plan de tout le terrain A B C, etc.

Telle est la méthode générale de construire un plan dont le terrain a été levé avec la planchette ronde. Mais il faut observer qu'en procédant de cette façon les lignes de station, c'est-à-dire, les lignes où l'on a placé l'instrument pour prendre les angles, et sur lesquelles on a fait courir la chaîne pour mesurer les distances ou les longueurs ; il faut observer, dis-je, que ce sont proprement ces lignes dont on a tracé le plan ; c'est pourquoi lorsque dans un arpentage les lignes de station sont à quelque distance des haies ou des limites du terrain, etc. on reprend les parties négligées, c'est-à-dire qu'à chaque station on mesure la distance de la haie à la ligne de station ; et même, s'il se rencontre dans les intervalles quelques enfoncements considérables, on doit y avoir égard.

C'est pourquoi après avoir tracé les lignes de station comme ci-dessus, il faut décrire sur le papier les bandes ou les parties du terrain qui règnent depuis ces lignes jusqu'aux limites du champ, c'est-à-dire, qu'il faut élever sur le plan des perpendiculaires, qui en marquent les véritables longueurs depuis les lignes de station. Si l'on joint par des lignes les extrémités de ces perpendiculaires, elles donneront le plan tel qu'il doit être.

Si au lieu de tourner autour du champ, on a pris tous les angles et les distances par une seule station, l'exemple ci-dessus montre évidemment le procédé que l'on doit tenir pour lever le plan, puisqu'il suffit en ce cas de tracer, suivant la manière que l'on a déjà décrite, les différents angles et les différentes distances que l'on a prise sur le terrain au même point de station ; de les tracer, dis-je, sur le papier, en les faisant partir du même point ou centre. En joignant par des lignes les extrémités de ces lignes ainsi déterminées, on aura le plan requis.

Si le terrain a été levé par deux stations, on doit d'abord, comme ci-dessus, tracer la ligne de station ; prendre ensuite les angles et les distances de chaque point de station sur le terrain, et les rapporter sur le plan aux points respectifs.

La méthode de lever des plans, quand on a pris les angles avec le graphomètre, est un peu différente. Voyez GRAPHOMETRE.

On ne fait point usage dans cette méthode de lignes parallèles, et au lieu de mettre constamment le rapporteur sur les méridiens ou sur des lignes parallèles aux méridiens, sa direction varie à chaque angle. La pratique en est telle qu'on peut la voir dans la description suivante.

Supposons qu'on ait levé le terrain ci-dessus avec le graphomètre, et que l'on ait trouvé la quantité de chaque angle, soit tirée à volonté une ligne indéfinie, comme A K, fig. 31. et que l'on ait pris sur cette ligne la distance mesurée ; par exemple, 8 chaînes, 22 chainons, ainsi qu'on l'a exécuté dans le premier exemple.

Maintenant, si la quantité de l'angle A a été trouvée de 140 degrés, on doit placer sur la ligne A K le diamètre du rapporteur, son centre sur A ; et vis-à-vis le nombre des degrés, c'est-à-dire, vis-à-vis 140 faire une remarque ; tirer par-là au crayon une ligne indéterminée, et porter sur cette ligne avec l'échelle la longueur de la ligne A B.

On Ve de même au point B, sur lequel posant le centre du rapporteur, son diamètre le long de la ligne A B, on rapporte l'angle B, en faisant une marque vis-à-vis le nombre de ses degrés, en tirant une ligne au crayon, et prenant sur cette ligne la distance B C, comme ci-dessus.

L'on procede ensuite au point C, en mettant le diamètre du rapporteur sur B C, son centre sur C, rapportez l'angle C, et tirez la ligne C D ; en procédant ainsi par ordre à tous les angles et à tous les côtés, vous aurez le plan de tout le terrain A B C, etc. comme ci-dessus. Chambers. (E)

PLAN, se prend aussi adjectivement : figure plane, en Géométrie, c'est une figure décrite sur un plan, ou qu'on peut supposer avoir été décrite sur un plan, c'est-à-dire, une figure telle que tous les points de sa circonférence sont dans un même plan. Voyez FIGURE, PLAN.

L'angle plan est un angle contenu entre deux lignes droites ou courbes tracées sur un même plan. Voyez ANGLE.

On l'appelle ainsi pour le distinguer d'un angle solide, qui est formé par des lignes situées en différents plans. Voyez ANGLE SOLIDE.

Un triangle plan est un triangle renfermé entre trois lignes droites ; on l'appelle ainsi par opposition au triangle sphérique, qui est renfermé par des arcs de cercle, et dont tous les points ne sont pas dans le même plan. Voyez TRIANGLE.

La Trigonométrie plane est la théorie des triangles plans, de leurs mesures, de leurs proportions, etc. Voyez TRIGONOMETRIE.

Verre ou miroir plan, en Optique, c'est un verre ou un miroir dont la surface est plate ou unie. Voyez les phénomènes et les loix des miroirs plans à l'article MIROIR.

Les miroirs plans sont appelés vulgairement miroirs tout court.

Carte plane, en Navigation, c'est une carte marine où les méridiens et les parallèles sont représentés par des lignes droites parallèles, et où par conséquent les degrés de longitude sont les mêmes dans tous les parallèles de latitude. Voyez CARTE REDUITE, CARTE DE MERCATOR, etc. et NAVIGATION.

Navigation plane ; c'est l'art de calculer par le moyen d'une carte plane, ou bien de représenter sur une pareille carte les différents cas et les différentes circonstances du mouvement d'un vaisseau. Voyez CARTE PLANE.

La navigation plane est fondée sur la supposition que la terre soit plate : quoique cette supposition soit manifestement fausse, néanmoins en plaçant sur une carte les lieux conformément à cette idée, si l'on divise un long voyage en un grand nombre de petits, on pourra, avec une pareille carte, naviguer assez juste. Voyez NAVIGATION. Chambers. (E)

Nombre plan est celui qui peut résulter de la multiplication de deux nombres l'un par l'autre ; ainsi 20 est un nombre plan, produit par la multiplication de 5 par 4. Voyez NOMBRE.

Un lieu plan, en Géométrie, est un terme dont se servaient les anciens géomètres pour exprimer un lieu géométrique, à la ligne droite ou au cercle par opposition à un lieu solide, qui était une parabole, une élipse ou une hyperbole. Voyez LIEU.

Problème plan, en Mathématiques, c'est un problème qui ne peut être résolu géométriquement que par l'intersection d'une ligne droite et d'un cercle, ou par l'intersection des circonférences des deux cercles. Voyez PROBLEME, ÉQUATION et CONSTRUCTION. Chambers. (E)

PLAN CONCAVE et PLAN CONVEXE, terme de Dioptrique, verre plan concave est celui dont une des surfaces est plane, et l'autre concave. Voyez VERRE et CONCAVE.

On suppose ici que la concavité soit sphérique, à moins que l'on ne dise expressément le contraire. Sur le foyer des verres plans concaves, voyez VERRE.

Plan convexe, verre plan convexe est celui dont une des surfaces est convexe, et l'autre plane. Voyez CONVEXE.

La convexité est supposée sphérique, à moins qu'on ne dise expressément le contraire. Sur le foyer de ces verres, voyez VERRE, etc.

Le verre plan convexe ou plan concave, a sa surface plane tournée vers l'objet, et sa surface convexe ou concave vers l'oeil ; et le verre convexe plan ou concave plan, a la surface plane tournée vers l'oeil, et la surface convexe ou concave vers l'objet. (O)

PLAN, (Architecture civile) Un plan est la représentation de la position des corps solides, qui composent les parties d'un bâtiment pour en connaitre la distribution.

On nomme plan géométral, celui dont les solides et les espaces sont représentés dans leur naturelle proportion.

Plan relevé, celui où l'élévation est élevée sur le géométral, en sorte que la distribution en est cachée.

Plan perspectif, celui qui est par dégradation selon les règles de la Perspective, pour rendre les plans intelligibles. On en marque les massifs d'un lavis noir, les saillies qui posent à terre se tracent par des lignes planes ; et celles qui sont supposées au-dessus, par des lignes ponctuées. On distingue les augmentations ou réparations à faire, d'une couleur différente de ce qui est construit ; et les plaintes ou lavis de chaque plan, se font plus clairs, à mesure que les étages s'élèvent.

Plan régulier, est celui qui est compris par des figures parfaites, dont les angles et les côtés opposés sont égaux.

Plan irrégulier, celui qui est au contraire de biais ou de travers, en tout ou en partie par quelque sujétion.

Plan figuré, celui qui est hors des figures, et est composé de plusieurs retours avec enfoncements carrés ou circulaires, angles saillans, pans coupés, et autres figures capricieuses qui peuvent tomber dans l'imagination des architectes, et qu'ils mettent en œuvre pour se distinguer par des productions extraordinaires.

Plan en grand, est celui qui est tracé aussi grand que l'ouvrage, ou sur le terrain avec des lignes ou cordeaux attachés à des piques, pour en marquer les encoignures, les retours et les centres ; et pour faire la couverture des fondements, ou sur une aire pour servir de parc aux appareilleurs, et planter avec exactitude le bâtiment.

On trouve dans les ouvrages d'architecture de Scamozzi, Palladio, Vignole, Goldman et Daviler, des modèles de plans d'architecture civile. (D.J.)

PLAN, (Architecture milit.) représentation du dessein ou trait fondamental d'un ouvrage de guerre, selon la longueur de ses lignes, selon les angles qu'elles forment, et selon les distances qui sont entr'elles, et qui déterminent les largeurs des fossés, et les épaisseurs des remparts et des parapets ; de sorte que le plan représente un ouvrage tel qu'il paraitrait à rez-de-chaussée, s'il était coupé de niveau sur ses fondements : mais il ne marque pas les hauteurs et les profondeurs des parties de l'ouvrage, ce qui est le propre du profil, qui aussi n'en marque pas les longueurs, chacun d'eux ayant cela de commun qu'ils figurent les largeurs et les épaisseurs de ces parties.

Un plan, en terme d'architecture militaire, est donc le circuit intérieur d'une forteresse accompagnée de ses ouvrages extérieurs. On sépare dans les plans les parties élevées des autres, par des ombres grisâtres. On donne un peu de rouge aux murailles, et un peu de jaune au terre-plein ; le talus extérieur se peint en verd foncé ; les parapets sont un peu plus clairs ; le glacis fort clair ; le terre-plein et le chemin-couvert brun, et l'eau du fossé bleuâtre. Lorsque le fossé est sec, on le teint en brun, et on le ponctue.

PLAN, (Jardinage) c'est le dessein sur le papier qu'on se propose d'exécuter, soit d'un bâtiment, soit d'un jardin, d'un bois, d'un potager et autres.

PLAN, en Peinture, signifie généralement tous les lieux sur lesquels posent les objets qui entrent dans la composition d'un tableau. On dit cette figure, cet arbre, cette colonne, ne sont pas sur le même plan. Il faut qu'on distingue les plans sur lesquels posent les objets.

PLAN A VEUE D'OISEAU, terme de Dessein, c'est un objet, un dessein représenté tel qu'on le verrait si l'on était élevé comme cet oiseau, on dit dessiner une ville à veue d'oiseau. (D.J.)

PLAN DE JARDIN, (Dessein de Perspect.) plan qui est ordinairement relevé sur le plan géométral, et dont les arbres, le treillage et la broderie sont colorés de verd, les eaux de bleu, et la terre de gris, ou d'une couleur rougeâtre.