S. f. en Géométrie ; est une figure qui nait de la section du cône, quand il est coupé par un plan parallèle à un de ses côtés. Voyez SECTION et CONIQUE, voyez aussi la fig. 10 des coniques.

M. Wolf définit la parabole, une courbe dans laquelle a x = y 2, c'est-à-dire, dans laquelle le carré de l'ordonnée est égal au rectangle de l'abscisse et d'une ligne droite donnée, qu'on appelle paramètre de l'axe, ou latus rectum. Voyez PARAMETRE.

Donc une parabole est une courbe du premier ordre, dans laquelle les abscisses croissant, les ordonnées croissent pareillement, cela est évident par l'équation a x = y 2 ; conséquemment cette courbe ne revient jamais sur elle-même.

Décrire une parabole. Le paramètre A B, (Pl. con. fig. 8.) étant donné, continuez-le jusqu'en C, et de B laissez tomber une perpendiculaire B N ; décrivez ensuite sur les diamètres A 1, A 2, A 3, etc. pris à volonté, les arcs de cercle I 1, II 2, III 3, etc. qui coupent la ligne droite B C en 1, 2, 3, 4, 5, etc. B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, etc. représenteront les abscisses de la parabole, et B I, B II, B III, B IV, B V, etc. les ordonnées. C'est pourquoi si les lignes B 1, B 2, B 3, etc. sont transférées de la ligne B C, à la ligne B N, et que sur les points 1, 2, 3, 4, etc. on élève les perpendiculaires 1 I = B I, 2 II = B II, 3 III = B III, etc. la courbe passant par les points I, II, III, etc. sera parabole, et B N son axe.

On peut aussi déterminer géométriquement chaque point de la parabole : par exemple, qu'on demande si le point M est dans la parabole ou non ; tirez une perpendiculaire de M sur B N, et décrivez un demi-cercle, dont le diamètre B N, soit tel que P N soit égale au paramètre : si ce demi-cercle passe par M, le point M est dans la parabole.

Dans une parabole, la distance du foyer au sommet est égale au quart du paramètre ; et le carré de la demi-ordonnée est quadruple du rectangle de la distance du foyer au sommet par l'abscisse. Voyez FOYER et CONIQUE.

Décrire une parabole par un mouvement continu. Prenant une ligne droite pour un axe, soit f A, fig. 9. = A F = 1/4 a. Fixez au point f une règle D B qui coupe l'axe f D à angles droits. A l'extrémité C d'une autre règle E C attachez un fil fixé par son autre extrémité au foyer ; ensuite faites mouvoir la règle C E B le long de D E, en tenant toujours le fil F M C tendu par le moyen d'un stylet M ; ce stylet décrira une parabole.

Propriétés de la parabole. Les carrés des ordonnées sont entr'eux comme les abscisses ; et les ordonnées sont en raison sous-doublées des abscisses.

Dans une parabole, le rectangle de la demi-ordonnée par l'abscisse est au carré de l'abscisse, comme le paramètre à la demi-ordonnée. Ces deux propositions sont une suite de l'équation a x = y 2.

Dans une parabole, la soutangente est double de l'abscisse, et la sous-perpendiculaire est sous-double du paramètre. Voyez SOUTANGENTE et SOUS-PERPENDICULAIRE.

Quadrature de la parabole. Voyez QUADRATURE.

Les paraboles d'un genre plus élevé sont des courbes algebriques déterminées par l'équation am-1 x = ym par exemple, par a 2 x = y 3, a 3 x = y 4, a 4 x = y 5, a 5 x = y 6, etc. Voyez COURBE.

Quelques-uns les nomment paraboloïdes : si a 2 x = y 3 ; ils appellent la parabole, paraboloïde cubique. Si a 3 x = y 4, ils la nomment paraboloïde biquadratique, ou paraboloïde sursolide. Voyez CUBIQUE ; et ils appellent la parabole de la première espèce, que nous avons déterminée ci-dessus, parabole apollonienne. Voyez APOLLONIEN.

On doit pareillement rapporter aux paraboles les courbes dans lesquelles a x(m-1) = ym, comme par exemple a x 3 = y 3 ; a x 3 = y 4, que quelques-uns appellent des demi-paraboles. On les comprend toutes sous la commune équation am Xe = yt, qui s'étend aux autres paraboles, par exemple, à celles dans lesquelles a 2 x 3 = y 5, a 3 x 4 = y 7.

Dans les paraboles dont l'équation est ym = a(m-1) x ; si toute autre ordonnée est appelée Ve et les abscisses qui y correspondent z, nous aurons Ve = a(m-1) z, et par conséquent ym : Ve : : az(m-1) : ax(m-1) z ; c'est-à-dire, : : x : z ; donc c'est une propriété commune de ces paraboles, que les puissances des ordonnées sont en raison des abscisses. Dans les demi-paraboles ym : Ve : : ax(m-1) : az(m-1) = a(m-1) : z(m-1), c'est-à-dire, les puissances des ordonnées sont comme les puissances des abscisses d'un degré plus bas ; par exemple, dans les demi- paraboles cubiques les cubes ordonnées y 3 et v 3, sont comme les carrés des abscisses x 2, et z 2.

La parabole qui a pour équation a 2 x = y 3, s'appelle ordinairement première parabole cubique ; et celle qui a pour équation a x 2 = y 3, seconde parabole cubique ; et en général toute parabole qui a pour équation yt = am xn, s'appelle une parabole du degré t. Par exemple, la parabole dont l'équation est y 3 = a 2 x 3, s'appelle parabole du 5e. degré, etc. Toutes ces paraboles ne peuvent avoir que trois figures différentes, qu'il est bon d'indiquer ici. Car 1°. soit t un nombre pair, et n un nombre impair ; il est certain qu'à une même x positive, il répondra deux valeurs égales et réelles de y ; et qu'à une même x négative, il ne répondra que des valeurs imaginaires de y. Ainsi la parabole aura la même figure B A M, fig. 10, n. 2, sect. con. que la parabole ordinaire ou apollonienne. Voyez APOLLONIEN. 2°. t étant un nombre impair, si n est aussi un nombre impair ; il ne répondra qu'une valeur réelle et positive de y à chaque valeur positive de Xe et une valeur réelle et négative de y à chaque valeur négative de Xe et la parabole aura la figure B A M, fig. 10, n. 3, 3°. t étant un nombre impair, et n un nombre pair, il ne répondra qu'une valeur réelle et positive de y à chaque valeur tant positive que négative de Xe et la parabole aura la figure B A M, figure 10, n. 4. 4°. Enfin, si n et t sont tous deux des nombres pairs, en ce cas m en sera un aussi, et on pourra abaisser l'équation en cette sorte a m/2 X n/2 = y t/2 ou à m X n/4 = y t/4, etc. jusqu'à ce qu'elle retombe dans un des trois cas précédents.

C'est une erreur que de regarder (comme l'ont fait quelques géometres) l'équation a m x n = y t, comme l'équation d'une seule et unique parabole, lorsque n et t sont tous deux pairs. Car, par exemple, soit y 4 = a 2 x 2, cette équation se décompose en ces deux-ci y 2 = a x et y 2 = - a x ; ce qui donne le système de deux paraboles apolloniennes, qui ont des directions opposées, et qui se touchent par leur sommet, en tournant leurs convexités l'une vers l'autre. En général l'équation d'une courbe n'appartient proprement à une seule et même courbe que quand on ne peut pas la décomposer en deux ou plusieurs autres équations, sur quoi voyez l'article COURBE ; voyez aussi CONJUGUE.

La parabole ordinaire ou apollonienne n'est qu'une ellipse infiniment allongée ; car dans l'ellipse y y = a x - ; a étant le paramètre, et r l'axe ; si l'on suppose que l'ellipse s'allonge infiniment, a sera infiniment petit par rapport à r, et le terme peut être regardé comme nul. Donc alors y y = a Xe qui est l'équation de la parabole. Cette courbe a été appelée parabole d'un mot grec qui signifie égaliser, parce que dans cette courbe le carré de l'ordonnée est égal au rectangle du paramètre par l'abscisse, au-lieu que dans l'ellipse il est moindre, et plus grand dans l'hyperbole. Voyez ELLIPSE, etc. (O)

PARABOLE, s. f. (Critique sacrée) , ce terme grec que nous avons reçu, signifie communément dans l'Ecriture un discours qui présente un sens, et qui en a un autre que comprennent fort bien les personnes intelligentes. Les paraboles de l'Ecriture sont des instructions détournées, des sentences où il entre des comparaisons, des emblèmes.

Cette manière d'enseigner par des paraboles, des énigmes, des discours figurés, était fort du goût des Orientaux. Les prophetes s'en servaient pour rendre plus sensibles aux princes les menaces et les promesses qu'ils leur faisaient ; ils reprennent aussi souvent les infidèles de leur nation sous la parabole d'une épouse adultère. Ils décrivent les violences des peuples ennemis des Juifs, sous l'idée de quelque animal féroce. Nathan reproche à David son crime, sous la parabole d'un homme qui a enlevé la brebis d'un pauvre.

Jesus-Christ adopta l'usage des paraboles, des similitudes, et des discours figurés, dans la plupart de ses instructions, soit aux Juifs, soit à ses disciples, comme il parait par la lecture des Evangélistes, sur quoi Clément d'Alexandrie fait une excellente remarque, c'est qu'en ce genre il ne convient pas de presser les termes, ni de demander que l'allégorie soit par-tout soutenue ; mais il s'agit de considérer seulement le sujet principal, et ne faire attention qu'au but et à l'esprit de la parabole.

Selon cette règle, il faut glisser sur les termes lorsqu'ils pechent à certains égards ; par exemple, dans la parabole des talents, Matt. xxv. 24. le serviteur dit à son seigneur, " je sais que vous êtes un homme rude, qui moissonnez où vous n'avez point semé, et qui recueillez où vous n'avez rien fourni " le n'est pas certainement trop bien observé dans ce propos ; car ce n'est pas le langage qu'un serviteur tient à son maître, ou un affranchi à son patron ; mais il doit suffire que le but de la parabole soit de peindre par de telles expressions, quoiqu'outrées, la vaine excuse d'un mauvais serviteur.

Le mot parabole désigne quelquefois une simple comparaison qui montre le rapport de deux choses ; par exemple, " comme il arriva au jour de Noé, autant en sera-t-il au jour de la venue du fils de l'homme ", Matt. xxiv. 37. 2°. il signifie toute similitude obscure, Matt. XVe 15. expliquez-nous votre similitude , dit Pierre à Jesus-Christ ; 3°. une simple allégorie à ce qui se passe pour les convives d'un festin ; 4°. une maxime, une sentence, comme au III. des Rais, iv. 32. où l'auteur dit que Salomon composa trois mille paraboles ; 5°. ce mot se prend dans un sens de mépris ; Dieu menace son peuple de le rendre la risée des autres, tradere in parabolam, IIe Paralip. VIIe 20. enfin il signifie un discours frivole, nonne per parabolas loquitur iste ? Ezéch. xx. 49. n'est-ce point des fadaises qu'il nous conte ?

PARABOLE