S. m. ou plus grand, en Mathématiques, (Géographie) marque l'état le plus grand où une quantité variable puisse parvenir, eu égard aux lois qui en déterminent la variation.

Le Maximum est par-là opposé au minimum. Voyez MINIMUM.

Méthode de maximis et de minimis. La méthode qui en porte le nom est employée par les Mathématiciens pour découvrir le point, le lieu ou le moment, où une quantité variable devient la plus grande, ou la plus petite qu'il est possible, eu égard à sa loi de variation.

Si les ordonnées d'une courbe croissent ou décroissent jusqu'à un certain terme, passé lequel elles commencent au contraire à décroitre, ou croitre ; les méthodes qui peuvent servir à déterminer les maxima et minima de ces ordonnées, c'est-à-dire, leur plus grands ou plus petits états, seront donc des méthodes de maximis et minimis. Or, lorsqu'il s'agit de déterminer les maxima et minima de quelque quantité que ce sait, qui croisse ou décroisse, jusqu'à un certain terme, on peut se représenter toujours ces quantités comme des ordonnées de courbe ; et ainsi les méthodes qu'on peut suivre dans tous les cas possibles, se reduisent à celles qui enseignent à déterminer les maxima et minima des ordonnées des courbes.

Supposons qu'il faille déterminer ce maximum ou minimum d'une quantité variable ou fluente quelconque, qui entre dans une équation donnée et a deux variables aussi quelconques ; la règle prescrit de trouver d'abord les fluxions, et de supposer ensuite = 0 la fluxion de la variable ou fluente, qui doit devenir un maximum. Par ce moyen on formera par-là une nouvelle équation en fluentes seulement, parce qu'elle ne contiendra d'abord qu'une seule fluxion, par laquelle on pourra la diviser ; et cette équation en fluentes étant combinée avec la proposée pour faire disparaitre une de leur variable, donnera une résultante déterminée, d'où l'on tirera, selon qu'on le jugera à-propos, ou la position du maximum cherché, ou sa quantité. Eclaircissons cette méthode par deux exemples.

Nous supposerons dans le premier, qu'il s'agit de déterminer les plus grandes ou plus petites ordonnées d'une courbe algébrique. Puisque dans les courbes qui ont un maximum ou minimum, la tangente T M change enfin en D E, et devient parallèle à l'axe. Pl. d'Anal. fig. 4 et 26. Il faut donc que dans le cas du maximum ou du minimum la soutangente P T devienne infinie. Mais cette soutangente P T = ; donc = , c'est-à-dire (au-moins y restant fini, ce qui fait le seul cas du maximum ou minimum proprement dit) que d x = par rapport à d y, ou bien que d y = 0 par rapport à d Xe Nous prendrons donc l'équation des fluxions de la proposée, et négligeant tous les termes affectés de d y, que nous devons faire en effet = 0, nous diviserons les autres termes par la seule fluxion d x qu'ils contiendront, et nous ferons de plus ce quotient de cette division égal à zéro ; cela donnera une nouvelle équation fluente à comparer avec la proposée, pour en tirer au moyen de leurs réductions en une seule, une résultante en x ou en y seulement, selon qu'on l'aimera le mieux, laquelle servira à découvrir ou la valeur de x convenable au maximum ou minimum cherché, ou bien la valeur elle-même de ce maximum ou minimum ; sauf à employer, lorsque les circonstances indiqueront de le faire, des moyens abrégés au lieu de la réduction de deux équations en une seule.

Supposons en second lieu, qu'il faille couper une droite A B (fig. 6.) au point D, de manière que le rectangle des deux parties A D et D B se trouve être le plus grand qu'il soit possible de construire de la sorte. Nous nommerons A B, a, A D, x ; B D sera donc a - x et A D x D B = a x - x x sera la quantité qui doit être un maximum ; sa différentielle ou sa fluxion doit donc être = 0 ; or si nous nommons y la quantité variable qui doit devenir un maximum, nous aurons en

De sorte qu'il n'y a, pour résoudre le problème, qu'à couper la ligne A B en deux parties égales ; donc le carré de la moitié de A B est plus grand que tout le rectangle qu'on pourrait faire de deux autres parties quelconques de A B, lesquelles prises ensemble seraient égales à A B.

On trouve dans les Mém. de l'acad. des Sciences de Paris de 1706 un mémoire de M. Guisnée, qui contient plusieurs éclaircissements sur cette méthode. Ce mémoire, qui peut être utîle à certains égards, n'est pas exempt d'erreurs. Elles ont été relevées par M. Saurin, dans un mémoire imprimé en 1723.

La méthode de maximis et minimis est fondée sur un principe bien simple. Quand une quantité Ve d'abord en croissant, et ensuite en décroissant, sa différence est d'abord positive, et ensuite négative ; c'est le contraire si elle Ve d'abord en décroissant, et ensuite en croissant : or une quantité qui passe du positif au négatif, ou du négatif au positif, doit dans le passage être = 0 ou = à l'infini. Le passage par zéro est le plus ordinaire ; c'est pour cela que la règle la plus commune pour trouver les maxima et les minima, est de faire la différentielle = 0 ; mais il y a aussi des cas où il faut faire la différentielle = . Il est vrai que dans ces derniers cas il y a de plus un point de rebroussement à l'endroit du maximum ou du minimum. Voyez fig. 5. Ainsi on peut dire que les vrais points de maximum ou de minimum considérés comme des points simples et qui n'ont aucune autre propriété, sont ceux où d y = 0.

Cependant le cas de d y = 0 ne donne pas nécessairement un maximum ou un minimum ; car d y = 0 indique seulement que la tangente est parallèle à l'axe, comme d y = indique seulement que la tangente est perpendiculaire à ce même axe. Or si le point où la tangente est parallèle à l'axe, était un point d'inflexion, comme cela peut arriver dans plusieurs cas, alors il est aisé de voir que l'ordonnée passant par le point où d y = 0, ne serait ni un maximum ni un minimum. Pour éclaircir ces difficultés, supposons = Z, et imaginons une nouvelle courbe qui ait Z pour ordonnée, et pour abscisses les abscisses X de la première. On remarquera que pour qu'il y ait un maximum ou un minimum au point où z = 0, il faut que les ordonnées z au-dessus et au-dessous de ce point, soient de différents signes ; c'est-à-dire que si on transporte en ce point l'origine des coordonnées, voyez COURBES et TRANSFORMATION DES AXES, et qu'on nomme les coordonnées nouvelles u et t, au lieu de x et z, il faut que l'équation en u et en t, soit telle que quand u est infiniment petite, soit positive, soit négative, on ait u m = A t n, m et u étant des nombres entiers positifs et impairs, voyez REBROUSSEMENT : or cela se peut reconnaître par la règle du parallélogramme de M. Newton. Voyez SERIE ou SUITE, RALLELOGRAMMEAMME.

Dans tout autre cas que celui des nombres m et n impairs, le point où z = 0 ne sera point un maximum : de plus pour distinguer si ce point donne un maximum ou un minimum, il n'y a qu'à voir si z est positif ou négatif avant d'être = 0. Dans le premier cas l'ordonnée sera un maximum ; elle sera un minimum dans le second : or le premier cas aura lieu si A est négatif, et le second s'il est positif.

Voilà pour le calcul de d y = 0. A l'égard du calcul de d y = , nous observerons d'abord que c'est une façon de parler très-impropre, que de faire une différentielle = , puisqu'une différentielle est une quantité infiniment petite, ou considérée comme telle. Voyez DIFFERENTIELLE. Ce n'est point d y qu'on fait = ; c'est le rapport de d y à d x ou z : or dans ce cas il faut que l'équation en u et en t, soit telle que quand u est infiniment petite, soit positive, soit négative, on ait u m = A t n, m exprimant un nombre négatif impair, et n un nombre positif impair. Voyez BRANCHE.

Nous ne faisons ici que donner l'esprit de la méthode. Ceux qui désireront un plus grand détail, peuvent recourir à l'analyse des courbes de M. Cramer, où cette matière est bien traitée. Voyez le ch. XIe de cet ouvrage. Souvent au reste la nature du problème seul, sans aucune autre considération, indique si d y = 0, donne réellement au point de maximum ou de minimum, et si c'est le premier cas ou le second. Par exemple, si on propose de trouver un point dans un demi-cercle, tel que le produit des deux lignes menées de ce point aux extrémités du diamètre, soit un maximum, on voit bien que la solution de ce problême donnera en effet un maximum, et de plus que ce sera un maximum, et non pas un minimum ; car la quantité qu'on cherche est évidemment égale à 0 à chacune des deux extrémités du diamètre ; et cette quantité est toujours réelle entre ces deux extrémités, donc il y a un ou plusieurs points où elle est nécessairement dans la plus grande valeur possible : car cela doit arriver nécessairement à une quantité qui part de 0, et qui y retourne.

Il y a encore une attention à faire dans la recherche du maximum ou du minimum, c'est qu'après avoir trouvé l'équation en Xe qui donne l'abscisse répondant au point cherché, il faut voir non-seulement si cette valeur de x est réelle, mais encore si étant substituée dans l'équation de la courbe, elle donne pour y une valeur réelle ; sans ces deux conditions, il n'y a point de vrai maximum ni minimum. Voyez ÉQUATION, ÉVANOUIR, IMAGINAIRE, RACINE, COURBE, etc.

Nous citons ici l'article ÉVANOUIR, parce qu'il fournit des méthodes sures pour faire évanouir telle inconnue qu'on juge à-propos d'un certain nombre d'équations, et que par conséquent il sera très-utîle dans cette recherche : car on a 1°. l'équation de la courbe en x et en y. 2°. L'équation du maximum aussi en x et en y. Je suppose dans cette équation a au lieu de Xe et b au lieu de y, et par la comparaison des deux équations, on aura la valeur de a et celle de b par deux équations qui n'auront chacune que x ou y d'inconnues. 3°. On a de plus une équation entre x et z, en faisant = 0 dans l'équation différentielle de la courbe. Ensuite on a u = x - a, et y = z - b : ce qui donnera une nouvelle équation en u et en t, de laquelle on peut aussi faire évanouir a et b, si on le juge à propos. En un mot on combinera ces équations entr'elles, de la manière qu'on jugera la plus facîle et la plus expéditive pour parvenir à la solution du problême ; et l'article ÉVANOUIR, ainsi que toutes les remarques précédentes, fournissent pour cela différents moyens. (O)

MAXIMUM