S. m. pl. terme de Pratique, se dit des payements d'une rente ou redevance annuelle, pour raison desquels le débiteur est en retard. On ne peut pas demander au-delà de 29 années d'arrérages d'une rente foncière, ni plus de cinq d'une rente constituée. Tous les arrérages échus antérieurement aux 29 années ou aux cinq, sont prescrits par le laps de temps ; à moins que la prescription n'en ait été interrompue par des commandements ou demandes judiciaires. Voyez RENTE, INTERET, etc. (H)

Toute rente peut être regardée comme le denier d'une certaine somme prêtée ; soit donc a la somme prêtée, et m le denier, c'est-à-dire la fraction qui désigne la partie de la somme qu'on doit payer pour la rente : si l'intérêt est simple, la somme dû. au bout d'un nombre d'années q pour les arrérages sera a m q ; c'est-à-dire l'intérêt dû à la fin de chaque année, multiplié par le nombre des années : et si l'intérêt est composé, la somme dû. au bout de ce temps sera a (1 + m)q - a , c'est-à-dire la somme totale dû. à la fin du nombre d'années exprimé par q ; de laquelle somme il faut retrancher le principal.

Pour avoir l'expression arithmétique de a (1 + m)q - a , supposons que la somme prêtée ou le principal soit 1000000 liv. que le nombre des années soit 10, et que le denier soit 20 ; il faudra chercher une fraction qui soit égale à 21/20 multiplié par lui-même 10 fois moins une, c'est-à-dire 9 fois ; ce qu'on peut trouver aisément par le secours des logarithmes (Voyez LOGARITHME) ; et cette fraction étant diminuée de l'unité et multipliée par 1000000, donnera la somme cherchée.

Ceux de nos lecteurs qui sont un peu algébristes, verront aisément sur quoi ces deux formules sont fondées. Les autres en trouveront la raison à l'article INTERET, avec beaucoup d'autres remarques importantes sur cette matière.

On pourrait au reste se proposer ici une difficulté. Dans le cas où l'intérêt est simple, ce qui dépend de la convention entre le débiteur et le créancier, le débiteur ne doit en tout à la fin d'un nombre d'années q, que la somme totale a + a m q, composée du principal a, et du denier a m répété autant de fois qu'il y a d'années : ainsi retranchant de la somme totale qui est dû., le principal a, il ne reste que a m q d'arrérages à payer en argent comptant. Mais dans le cas où l'intérêt est composé, l'intérêt joint au principal devient chaque année un nouveau principal ; ainsi à la fin de la q - 1e année, ou ce qui revient au même, au commencement de la qe année, le débiteur est dans le même cas que s'il recevait du créancier la somme a (1 + m)(q - 1) de principal. Cette somme travaillant pendant l'année, le débiteur doit à la fin de cette année la somme totale a (1 + m)q, d'où retranchant le principal a (1 + m)(q - 1) qui est censé prêté à la fin de l'année précédente, il s'ensuit, ou il parait s'ensuivre, que le débiteur à la fin de la qe année doit payer au créancier en argent comptant la somme a (1 + m)q - a (1 + m)(q - 1) et non pas a (1 + m)q - a. Pour rendre cette difficulté plus sensible, examinons en quoi consiste proprement le payement d'une rente. Un particulier prête une somme à un autre ; au bout de l'année le débiteur doit la somme totale a + a m, tant pour le principal que pour l'intérêt ; de cette somme totale il ne paye que la partie a m ; ainsi il reste débiteur de la partie a comme au commencement de la première année : donc le débiteur qui paye exactement sa rente est dans le même cas que si chaque année il rendait au créancier la somme a + a m, et qu'en même temps le créancier lui reprêtât la somme a : donc tout ce que le débiteur ne rend point au créancier est censé au commencement de chaque année former un nouveau principal dont il doit à la fin de l'année les intérêts en argent comptant. Ainsi à la fin de la q - 1e année le débiteur est censé recevoir a (1 + m)(q - 1) de principal : donc à la fin de l'année suivante il doit payer a (1 + m)q - a (1 + m)(q - 1) d'argent comptant, par la même raison que s'il recevait b en argent comptant, il devrait payer à la fin de l'année b (1 + m) - b.

La réponse à cette difficulté est que la quantité d'argent que le débiteur doit payer, dépend absolument de la convention qu'il fera avec le créancier, et que d'une manière ou d'une autre le créancier n'est nullement lésé ; car si le débiteur paye à la fin de la qe année la somme a (1 + m)q - a, il ne devra donc plus au créancier au commencement de l'année suivante que la somme a ; il se retrouvera dans le même cas où il était avant le temps où il a cessé de payer, et à la fin de l'année q + 1e il ne devra au créancier que la somme a m. Mais si le débiteur ne paye que la somme a (1 + m)q - a (1 + m)(q - 1), laquelle est moindre que a (m + 1)q - a, toutes les fois que q est plus grand que 1, comme on le suppose ici ; alors le débiteur au commencement de la q + 1e année se trouvera redevable d'une somme plus grande que a ; et s'il veut en faire la rente annuelle, il devra payer a (1 + m)q x m d'intérêt chaque année en argent comptant. Ainsi le créancier recevra une somme moindre ou plus grande dans les années qui suivront celle du payement des arrérages, selon que le débiteur aura donné pour le payement de ces arrérages une somme plus ou moins grande. Il n'est donc lésé ni dans l'un ni dans l'autre cas, et tout dépend de la convention qu'il voudra faire avec le débiteur.

Autre question qu'on peut faire sur les arrérages dans le cas d'intérêt composé. Nous avons Ve que le débiteur au commencement de la qe année doit la somme totale a (1 + m)(q - 1) ; supposons qu'il veuille s'acquitter au milieu de l'année suivante, et non pas à la fin, que doit-il payer pour les arrérages ? Il est visible que pour résoudre cette question il faut d'abord savoir ce que le débiteur doit au milieu de la qe année. En premier lieu, le principal ou somme totale a (1 + m)(q - 1) étant multiplié par 1 + m, doit donner la somme qui sera dû. à la fin de la qe année, savoir a (1 + m)q, ou, ce qui revient au même, le débiteur devra à la fin de cette année a (1 + m)(q - 1) plus l'intérêt de cette somme, c'est-à-dire a (1 + m)(q - 1) x m. Dans le cours de l'année, il doit d'abord a (1 + m)(q - 1) qui est le principal ; il doit de plus une portion de ce principal pour l'intérêt qui court depuis le commencement de l'année : cette portion doit certainement être moindre que a (1 + m)(q - 1) x m, qui est l'intérêt dû à la fin de l'année : mais quelle doit-elle être ? Bien des gens s'imaginent que pour l'intérêt de la demi-année il faut prendre la moitié de l'intérêt de l'année, c'est-à-dire a (1 + m)(q - 1) x m/2, le tiers de l'intérêt pour le tiers de l'année, et ainsi du reste : mais ils sont dans l'erreur. En effet, qu'arrive-t-il dans le cas de l'intérêt composé ? c'est que les sommes dû.s au bout de chaque année sont en progression géométrique, comme il est aisé de le voir. Or pourquoi cette loi n'aurait-elle pas lieu aussi pour les portions d'années, comme pour les années entières ? J'avoue que je ne vois point quelle en pourrait être la raison. La somme dû. à la fin de la q - 1e année est a (1 + m)(q - 1), celle qui est dû. à la fin de la qe année est a (1 + m)q, celle qui serait dû. à la fin de la q + 1e serait a (1 + m)(q + 1) ; et ces trois sommes sont dans une proportion géométrique continue. Donc la somme dû. au milieu de la qe année doit être moyenne proportionnelle géométrique entre les deux sommes dû.s au commencement et à la fin de cette année, c'est-à-dire entre a (1 + m)(q - 1) et a (1 + m)q ; donc cette somme sera a (1 + m)(q - 1/2) = a (1 + m)(q - 1) x (1 + m) 1/2. Or cette somme est moindre que a (1 + m)(q - 1) + a (1 + m)(q - 1) x m /2 qui serait dû. suivant l'hypothèse que nous combattons.

De même s'il est question de ce qui est dû au bout du tiers de la qe année, on trouvera que la somme cherchée est la première de deux moyennes proportionnelles géométriques entre a (1 + m)(q - 1) et a (1 + m)q, c'est-à-dire a (1 + m)(q - 2/3) ; et en général k étant un nombre quelconque d'années entier, rompu, ou en partie entier, et en partie fractionnaire, on aura a (1 + m)k pour la somme dû. à la fin de ce nombre d'années.

Dans l'hypothèse que nous combattons, on suppose que l'intérêt est regardé comme composé d'une année à l'autre, mais que dans le cours d'une seule et unique année il est traité comme intérêt simple ; supposition bizarre, qui ne peut être admise que dans le cas d'une convention formelle entre le créancier et le débiteur. En effet, dans cette supposition le débiteur payerait plus qu'il ne doit réellement payer, comme nous l'avons Ve tout-à-l'heure. Nous traiterons cette matière plus à fond à l'article INTERET, et nous espérons la mettre dans tout son jour, et y joindre plusieurs autres remarques curieuses. Mais comme l'observation précédente peut être utile, et est assez peu connue, nous avons cru devoir la placer d'avance dans cet article.

Sait donc 1/ r la portion d'année écoulée ; il est visible, par ce que nous venons de dire, que le créancier doit au bout de cette portion la somme totale a (1 + m)(q - 1) + 1/ r ; et pour avoir les arrérages, il faudra retrancher de cette somme ou le principal a, ou le principal a (1 + m)(q - 1) ; ce qui dépend, comme nous l'avons observé, de la convention mutuelle du débiteur et du créancier.

On peut proposer une autre question dans le cas de l'intérêt simple. Dans ce cas il y a cette convention, du moins tacite, entre le créancier et le débiteur, que le principal seul, touché par le débiteur, et prêté par le créancier, produit chaque année a m d'intérêt, et que l'intérêt (non payé chaque année) est un argent mort, ou un principal qui ne produit point d'intérêt ; ainsi dans le cas où cette convention tacite serait sans restriction, la somme totale dû. à la fin de la qe année serait a + a m q, et les arrérages seraient a m q. Mais si la convention entre le débiteur et le créancier était, par exemple, que le débiteur payât tous les cinq ans l'intérêt simple 5 a m, et que le débiteur fût quinze ans sans payer, alors la somme a + 5 a m dû. à la fin de la cinquième année, est regardée comme un nouveau principal sur le payement et les intérêts duquel le créancier peut faire au débiteur telles conditions qu'il lui plait. Supposons, par exemple, que par leur convention il doive porter intérêt simple durant cinq ans, en ce cas, au bout des cinq années qui suivent les cinq premières, la somme totale dû. par le débiteur sera a + 5 a m + a m + 25 a m m ; et à la fin des cinq années suivantes, c'est-à-dire au bout des quinze années révolues, la somme dû. sera a + 5 a m + 5 a m + 25 a m m + 5 a m + 25 a m m + 25 a m m + 125 a m3 = a + 15 a m + 75 a m m + 125 a m3. Voyez INTERET, ANNUITE, RENTE, TONTINE, etc. (O)

ARRÉRAGES