ou CADRAN SOLAIRE, (Ordre encyclopédique, Entendement, Raison, Philosophie ou Science, Science de la nature, Mathématiques, Mathématiques mixtes, Astronomie géométrique, Gnomonique, ou Art de faire des Cadrans) c'est une surface sur laquelle on trace certaines lignes qui servent à mesurer le temps par le moyen de l'ombre du soleil sur ces lignes. Voyez TEMS et OMBRE.

Les anciens donnaient aussi aux cadrants le nom de sciatériques, parce que l'ombre, , sert à y marquer les heures.

On définit plus exactement le cadran, la description de certaines lignes sur un plan, ou sur la surface d'un corps donné, faite de telle manière que l'ombre d'un style, ou les rayons du soleil passant à-travers un trou pratiqué au style, tombent sur de certains points à certaines heures. Voyez STYLE.

La diversité des cadrants solaires vient de la différente situation des plans et de la différente figure des surfaces sur lesquelles on les décrit : c'est pourquoi il y a des cadrants équinoctiaux, horizontaux, verticaux, polaires, directs, élevés, déclinans, inclinans, réclinans, cylindriques, etc. Voyez PLAN, GNOMONIQUE.

Pour montrer l'heure sur la surface des cadrants, on y met deux sortes de styles : l'un appelé droit, qui consiste en une verge pointue, laquelle par son extrémité et par la pointe de son ombre, marque l'heure ou partie d'heure qu'il est. Au lieu de ces verges on peut se contenter d'une plaque de métal, élevée parallèlement au cadran, et percée d'un trou par où passe l'image du soleil : ce trou représente l'extrémité supérieure de la verge, comme on le voit à presque toutes les méridiennes. Voyez MERIDIENNE. L'autre espèce de style est nommé style oblique ou incliné, ou bien axe, et montre l'heure par une ombre étendue.

Le bout du style droit de tous les cadrants représente le centre du monde, et par conséquent aussi le centre de l'horizon, de l'équateur, des méridiens, des verticaux, etc. en un mot de tous les grands cercles de la sphère. Le plan du cadran est supposé éloigné du centre de la terre d'une quantité égale à la longueur du style droit.

En effet la distance du soleil au centre de la terre est si grande, que l'on peut regarder tous les points de la superficie de la terre que nous habitons, comme s'ils étaient réunis au centre sans que l'on puisse s'apercevoir que la différence de leur distance réciproque, qui est tout au plus le diamètre de la terre, apporte aucun changement sensible au mouvement journalier du soleil autour du centre de la terre ou autour d'une ligne qui représente ce centre, et que l'on nomme l'axe du monde. C'est pourquoi l'extrémité du style de tous les cadrants peut être prise pour le centre de la terre, et la ligne parallèle à l'axe du monde qui passe par l'extrémité de ce style, peut être considérée comme l'axe du monde.

Les lignes horaires que l'on trace sur les plans des cadrants sont la rencontre des cercles horaires, c'est-à-dire des méridiens où le soleil se trouve aux différentes heures, avec le plan du cadran.

Le centre du cadran est la rencontre de sa surface avec l'axe du cadran qui passe par l'extrémité du style et qui est parallèle à l'axe du monde. Toutes les lignes horaires se rencontrent au centre du cadran ; d'où il s'ensuit qu'une ligne tirée par l'extrémité du style et par le point de rencontre des lignes horaires, est parallèle à l'axe du monde.

Tous les plans des cadrants peuvent avoir un centre, excepté ceux dont le plan est placé de manière qu'il soit parallèle à l'axe du monde ; car alors la ligne tirée par l'extrémité du style parallèlement à cet axe, est parallèle au plan du cadran, et par conséquent elle ne rencontre point ce plan : ainsi le cadran n'a point alors de centre, et les lignes horaires ne se rencontrent point ; par conséquent elles sont parallèles.

La verticale du plan du cadran est une ligne qui passant par l'extrémité du style, rencontre perpendiculairement ce plan, et y détermine le pied ou le lieu du style. On appelle hauteur du style, la distance du pied du style à sa pointe.

La ligne horizontale est une ligne parallèle à l'horizon, qui est la rencontre du plan du cadran avec un plan horizontal. qu'on imagine passer par la pointe ou par le pied du style.

La verticale du lieu est à ligne droite, qui passant par le pied du style, est perpendiculaire à l'horizon.

On appelle encore verticale, celle des lignes d'un cadran, qui passant par le pied du style, est perpendiculaire à la ligne horizontale : cette ligne est la section que fait avec la surface du cadran, le cercle vertical qui lui est perpendiculaire.

Il y a aussi deux méridiennes, dont l'une est la méridienne propre du plan ou la soustylaire, parce que son cercle qui est un des méridiens, passe par la verticale du plan, et par conséquent par le pied du style ; l'autre qui est la méridienne du lieu, a son cercle méridien qui passe par la verticale du lieu.

Lorsque le cadran ne décline point vers l'orient ou vers l'occident, c'est-à-dire qu'il regarde directement le nord ou le midi, ces deux méridiennes se confondent.

La ligne équinoctiale est la section ou rencontre du plan du cadran avec le plan de l'équinoctial ou de l'équateur : cette ligne est toujours d'équerre avec la soustylaire.

Le point où se rencontrent la soustylaire et la méridienne, est le centre du cadran ; car le centre du cadran est déterminé par la rencontre de deux lignes qui soient les sections du plan du cadran avec deux méridiens. Or la soustylaire et la méridienne sont les sections du plan du cadran avec deux méridiens : ainsi le point où ces deux lignes se rencontrent, doit être le centre. Ces principes posés, nous allons enseigner la description des principaux cadrants. Voyez Bion, description des instruments de mathématique.

Les cadrants se distinguent quelquefois en deux espèces.

Les cadrants de la première espèce sont ceux qui sont tracés sur le plan de l'horizon, et que l'on appelle cadrants horizontaux ; ou bien perpendiculaires à l'horizon sur les plans du méridien ou du premier vertical, et qui sont appelés cadrants verticaux ; au nombre desquels on met aussi ordinairement ceux que l'on trace sur des plans polaires et équinoctiaux quoiqu'ils ne soient ni horizontaux ni verticaux.

Les cadrants de la seconde espèce sont ceux qui sont tracés sur des plans déclinans, ou inclinés, ou reclinés, ou déinclinés. On trouvera dans la suite de cet article les explications d e tous ces mots.

Le cadran équinoctial se décrit sur un plan équinoctial, c'est-à-dire sur un plan qui représente l'équateur. Voyez EQUINOCTIAL et EQUATEUR.

Un plan oblique à l'horizon s'incline d'un côté et fait un angle aigu avec l'horizon, ou se renverse en arrière en faisant un angle obtus : on appelle ce dernier un plan réclinant ; si sa réclinaison est égale au complément de la latitude du lieu, il se trouve dans le plan de l'équinoctial : ainsi un cadran tracé dessus, prend le nom de cadran équinoctial.

Les cadrants équinoctiaux se distinguent ordinairement en supérieurs, qui regardent le zénith, et en inférieurs qui regardent le nadir.

Or comme le soleil n'éclaire que la surface supérieure d'un plan équinoctial, quand il est sur notre hémisphère ou du côté septentrional de l'équateur, un cadran équinoctial supérieur ne marquera les heures que dans les saisons du printemps et de l'été.

De même, comme le soleil n'éclaire que la surface inférieure d'un plan équinoctial, quand il est dans l'hémisphère méridional ou de l'autre côté de l'équateur, un cadran équinoctial inférieur ne marquera les heures qu'en automne et en hiver.

C'est pourquoi afin d'avoir un cadran équinoctial qui serve pendant toute l'année, il faut joindre ensemble le supérieur et l'inférieur, c'est-à-dire qu'il faut tracer un cadran sur chaque côté du plan.

Et puisque le soleil luit pendant tout le jour sur l'un ou l'autre côté d'un plan équinoctial, un cadran de cette espèce marquera toutes les heures d'un jour quelconque.

Tracer géométriquement un cadran équinoctial. Le cadran équinoctial est le premier, le plus aisé et le plus naturel de tous : mais la nécessité de le faire double, est cause que l'on n'en fait pas un grand usage. Néanmoins comme sa construction fait entendre celle des cadrants des autres espèces, et qu'elle fournit même une bonne méthode de les tracer, nous allons en enseigner ici la pratique.

1°. Pour décrire un cadran équinoctial supérieur d'un centre C (Pl. I. de Gnomon. fig. 4.) décrivez un cercle A B D E, et par deux diamètres A D et B E, qui s'entre-coupent à angles droits, divisez ce cercle en quatre quarts A B, B D, D E, et E A ; subdivisez chaque quart en six parties égales par les lignes droites C 1, C 2, C 3, etc. ces lignes seront les lignes horaires. Au centre C attachez un style perpendiculaire au plan A B D E.

Après que le cadran a été ainsi tracé, disposez-le de manière qu'il soit parallèle au plan de l'équateur, que la ligne C 12 soit dans le plan du méridien, et que le point A regarde le sud ou le midi ; l'ombre du style marquera les heures avant et après midi.

Car les cercles horaires divisent l'équateur en arcs de quinze degrés (voyez EQUATION DU TEMS) ; par conséquent le plan A B D E étant supposé dans le plan de l'équateur, les cercles horaires diviseront pareillement le cercle A B D E en arcs de quinze degrés chacun. C'est pourquoi puisque les angles 12 C 11, 11 C 10, 10 C 9, etc. sont supposés chacun de 15 degrés, les lignes C 12, C 11, C 10, C 9, sont les intersections des cercles horaires avec le plan de l'équinoctial.

De plus, puisque le style qui passe par le centre C représente l'axe du monde, et qu'il est outre cela le diamètre commun des cercles horaires ou méridiens, son ombre couvrira la ligne horaire C 12, quand le Soleil sera dans le méridien ou dans le cercle de douze heures ; la ligne C 11, quand il sera dans le cercle de onze heures ; la ligne C 10, quand il sera dans le cercle de dix heures.

Pour disposer le plan du cadran parallèlement au plan de l'équateur, il ne faut qu'avoir un triangle rectangle de bois dont l'angle oblique à la base soit égal à l'élévation de l'équateur, (par exemple, 41d 10' pour Paris) et d'appliquer le plan du cadran à l'hypoténuse ou grand côté de ce triangle, dont on placera la base horizontalement ; et pour mettre la ligne A D dans la direction de la méridienne, il faut savoir trouver la méridienne. Voyez LIGNE MERIDIENNE.

2°. Pour décrire un cadran équinoctial inférieur, la méthode n'est pas différente de celle que nous venons de suivre pour tracer le supérieur, excepté que l'on ne doit pas tracer les lignes horaires au-delà de la ligne de six heures ; parce que ces cadrants ne peuvent servir qu'en autonne et en hiver, où les jours ne passent pas six heures.

3° Pour décrire un cadran équinoctial universel, joignez deux plans de métal ou d'ivoire A B C D et C D E F (fig. 5.), qui soient mobiles à l'endroit où ils se joignent : sur la surface supérieure du plan A B C D, décrivez un cadran équinoctial supérieur, et un inférieur sur la surface inférieure, ainsi qu'on l'a déjà enseigné, et placez un style au centre I : placez une boite G dans le plan D E F C, et mettez-y une aiguille aimantée : ajustez sur le même plan un quart de cercle de cuivre A E bien exactement divisé, et qui passe par un trou fait au plan A B C D : cela posé, moyennant l'aiguille aimantée, on peut placer le plan A B C D de manière que la ligne I 12 soit dans le plan du méridien ; et par le moyen du quart de cercle, on peut le disposer de manière que l'angle B C F soit égal à l'élévation de l'équateur. On pourra donc se servir de ce cadran en quelqu'endroit du monde que ce sait. Il est à remarquer que le jour de l'équinoxe, les cadrants équinoctiaux ne marquent point l'heure ? parce qu'ils ne sont point éclairés par le Soleil, qui ces jours-là est dans le plan de l'équateur.

Le cadran horizontal est celui qui est tracé sur un plan horizontal ou parallèle à l'horizon. Voyez HORISON.

Puisque le Soleil peut éclairer un plan horizontal pendant toute l'année, lorsqu'il est au-dessus de l'horizon : un cadran horizontal peut montrer toutes les heures du jour pendant toute l'année ; ainsi l'on ne saurait avoir un cadran plus parfait.

Tracer géométriquement un cadran horizontal. Tirez une ligne méridienne A B (fig. 6.) sur le plan immobîle donné. Ou tracez-là à volonté sur un plan immobile. Voyez LIGNE MERIDIENNE.

D'un point pris à volonté, comme C, élevez une perpendiculaire C D, et faites l'angle C A D égal à l'élévation du pôle. En D faites un autre angle C D E égal aussi à l'élévation du pôle, et tirez la ligne droite D E qui rencontre A B en E. Ensuite faites E B = E D, et du centre B avec le rayon E B, décrivez un quart de cercle E B F, et divisez-le en six parties égales. Par E tirez la ligne droite G H, qui coupe A B à angles droits. Du centre B par les divisions du quart de cercle E F tirez les lignes droites B a, B b, B c, B d, B H, qui rencontrent la ligne G H aux points a, b, c, d, H. Du point E sur la ligne droite E G portez les intervalles E a, E b, etc. c'est-à-dire portez E a de E en e, E b de E en f, E c de E en g, etc. Du centre A décrivez un petit cercle, et mettant une petite règle sur le point A et sur les différents points de division a, b, c, d, H, et f, g, h, G, tirez les lignes A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 et A 11, A 10, A 9, A 8, A 7. Par le point A tirez une ligne droite 6 6, perpendiculaire à la ligne A B. Prolongez la ligne droite A 7, au-delà du petit cercle jusqu'en 7, A 8 jusqu'en 8, A 5 jusqu'en 5, A 4 jusqu'en 4. Autour de tout le plan, tracez un carré, un cercle, ou un ovale. Enfin au point A fixez un style, qui fasse avec le méridien A B un angle égal à l'élévation du pôle : ou bien élevez en C un style perpendiculaire égal à C D ; ou bien sur la ligne A E placez un triangle A D E perpendiculaire au plan du cadran.

Les lignes A 11, A 10, A 9, etc. sont les lignes horaires d'avant midi ; et les lignes A 1, A 2, A 3, etc. sont celles d'après midi. Et l'ombre des styles dont on a parlé ci-dessus, tombera à chaque heure sur les lignes horaires respectives.

Si on s'est contenté de tracer à volonté la ligne méridienne, et de décrire ensuite toutes les lignes du cadran, ce qui n'est permis que quand le plan du cadran est mobile, il faut alors orienter le cadran de manière que la ligne méridienne qu'on y a tracée se trouve dans le plan du méridien : on peut en venir à bout par différents moyens, entr'autres par le moyen de la boussole : mais cette méthode n'est pas extrêmement exacte, parce que la déclinaison de l'aiguille aimantée varie ; ainsi il vaut mieux tracer géométriquement la méridienne sur un plan horizontal immobile.

Décrire un cadran horizontal trigonométriquement. Dans les grands cadrants, où l'on a besoin de la plus grande exactitude, il vaut mieux se passer des lignes géométriques, et déterminer les lignes du cadran par un calcul trigonométrique. M. Clapiès, dans les Mémoires de l'académie royale des Sciences, pour l'année 1707, nous a donné un moyen très-aisé et très-expéditif de calculer les lignes horaires : nous rapporterons ses règles ou ses analogies pour chaque espèce de cadran dont nous aurons à parler.

Pour le cadran horizontal : l'élévation du pôle du lieu étant donnée, trouver les angles que les lignes horaires font avec le méridien, au centre du cadran.

Voici la règle ou l'analogie ; comme le sinus total est au sinus de l'élévation du pôle du lieu proposé, ainsi la tangente de la distance du Soleil au méridien pour l'heure requise, est à la tangente de l'angle cherché.

Le cadran vertical est un cadran tracé sur le plan d'un cercle vertical. Voyez VERTICAL.

Ces sortes de cadrants varient selon le vertical que l'on choisit. Les verticaux qui sont principalement en usage, sont le méridien, et le premier vertical, c'est-à-dire le cercle vertical perpendiculaire au méridien : d'où viennent les cadrants méridionaux, septentrionaux, orientaux, et occidentaux.

Les cadrants qui regardent les points cardinaux de l'horizon, s'appellent particulièrement cadrants directs. Voyez DIRECT.

Si l'on prend un autre vertical, on dit que le cadran décline. Voyez DECLINANT.

De plus en général, si le plan sur lequel on opere, est perpendiculaire à l'horizon, comme on le doit supposer dans tous les cas dont il est question à présent, les cadrants sont appelés particulièrement des cadrants droits. Par exemple on dit : un cadran droit méridional, ou septentrional, &c.

Si le plan du cadran est oblique à l'horizon, on dit qu'il incline, ou qu'il récline. Voyez INCLINAISON, RECLINANT, etc.

Le cadran méridional, ou pour le désigner plus particulièrement, cadran droit directement méridional, est celui que l'on décrit sur la surface du premier vertical, qui regarde le midi.

Le Soleil éclaire le plan du premier vertical qui regarde le midi, lorsque dans sa course il passe de ce vertical au méridien, ou qu'il Ve du méridien au premier vertical : en quoi il emploie six heures avant midi et six heures après le jour de l'équinoxe ; et environ quatre heures et demie avant midi, et quatre heures et demie après le jour du solstice d'été, et ainsi des autres jours ; et en hiver, le Soleil ne parait sur l'horizon qu'après six heures : d'où il s'ensuit qu'un cadran méridional ne peut marquer les heures que depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir.

Tracer un cadran vertical méridional. Sur le plan du vertical qui regarde le midi, tracez une ligne méridienne A B (fig. 9.) et prenant l'intervalle A C à volonté pour la grandeur du cadran proposé, élevez en C une perpendiculaire d'une longueur indéfinie C D ; et faisant un angle C A D égal à l'élévation de l'équateur, tirez une ligne droite A D qui rencontre la perpendiculaire C D en D ; ensuite faites au point D l'angle C D E égal aussi à l'élévation de l'équateur en tirant la ligne droite D E qui coupe le méridien en E par le point E tirez la ligne droite G H qui coupe le méridien A B à angles droits. Prenez E C égal à E D, et avec ce rayon décrivez un quart de cercle E F. Le reste se fait comme dans le cadran horizontal, excepté que les heures d'après midi doivent être écrites à main droite, et celles d'avant midi à main gauche, ainsi que la figure le fait comprendre. Enfin au point A fixez un style oblique, qui fasse un angle égal à l'élévation de l'équateur ; ou bien, élevez en C un style perpendiculaire égal à C D ; ou enfin, élevez sur A E un triangle A D E, qui soit perpendiculaire au plan du cadran.

L'ombre du style couvrira les différentes lignes horaires aux heures qui répondent à ces lignes.

Le cadran septentrional, ou le cadran droit directement septentrional, se trace sur la surface du premier vertical qui regarde le nord. Voyez NORD.

Le Soleil n'éclaire cette surface que quand il avance de l'orient au premier vertical, ou qu'il vient de ce même vertical au couchant : de plus le Soleil est dans le premier vertical à six heures du matin et à six heures du soir le jour de l'équinoxe ; le jour du solstice d'été il se lève sur l'horizon de Paris à quatre heures, et arrive au premier vertical vers les sept heures et demie ; et en hiver le Soleil n'éclaire point du tout ce plan septentrional : d'où il est évident que le cadran septentrional ne peut marquer que les heures d'avant sept heures et demie du matin, et celles d'après sept heures et demie du soir. C'est pourquoi comme dans l'automne et dans l'hiver le Soleil ne se lève pas avant six heures, et qu'il se couche avant six heures du soir, on voit que pendant toutes ces deux saisons, le cadran septentrional n'est d'aucun usage : mais en le joignant au cadran méridional, il supplée ce qui manque à celui-ci.

Décrire un cadran vertical septentrional. Tirez une ligne méridienne E B (fig. 10.) et du point A décrivez un petit cercle à volonté : au point A faites l'angle D A C égal à l'élévation de l'équateur, et du point C pris à volonté, élevez une perpendiculaire C D qui rencontre A D au point D. Faites un autre angle C D E égal aussi à l'élévation de l'équateur, et tirez pareillement une ligne D E qui rencontre A E au point E. Ensuite prenez I B égal à E D, et par I tirez G H qui coupe S B à angles droits. Du centre B avec le rayon I B décrivez un quart de cercle ; et divisez-le en six parties égales. Par les deux dernières divisions tirez des lignes du centre B, c'est-à-dire B h et B G qui rencontrent G H en h et G, et faites I d égal à I h, et I H égal à I G. Ensuite appliquant une règle aux points A, d et H, et encore aux points A, h et G, tirez les lignes droites A 5, A 4, A 7, A 8. Enfin, au point A, fixez un style oblique A D, faisant un angle D A E, avec la ligne méridienne dans le plan du méridien, égal à l'élévation de l'équateur : ou bien un style perpendiculaire en C, égal à C D ; ou, au lieu d'un style, mettez sur la ligne méridienne E A un triangle E D A perpendiculaire au plan du cadran.

Les lignes A 4, A 5, A 6, marqueront les heures du matin ; et les lignes A 6, A 7, A 8, marqueront celles de l'après-midi, et par conséquent l'ombre de l'index montrera ces heures.

Ou bien encore, opérez de la manière suivante. Dans le cadran méridional (fig. 9.) si les lignes horaires 4 et 5, de même que 7 et 8, sont continuées au-delà de la ligne 6 A 6, et que le triangle A D E tourne autour de son pôle A, jusqu'à ce que A E tombe sur le prolongement de A 12 ; il est évident que par ce moyen on a un cadran septentrional, observant seulement ce que l'on dit sur la manière de marquer les heures.

Si sur l'extrémité I K d'un cadran horizontal (fig. 7. Gnomon.) on élève à angles droits un plan vertical I K N M, et qu'on prolonge l'index horaire A L du cadran horizontal jusqu'à ce qu'il rencontre le plan vertical en L, on n'aura qu'à tirer ensuite du point L à la ligne de contingence ou de rencontre I K des deux plans, des lignes droites qui passent par les différents points des heures marquées sur cette ligne I K : on aura un cadran vertical méridional, dont L sera le centre ; ce qui est évident, puisque l'ombre du style marquera les mêmes heures sur les deux cadrants.

Tracer par la Trigonométrie un cadran vertical septentrional ou méridional. La description de ces cadrants ne diffère de celle du cadran horizontal, qu'en ce que l'angle C A D, est égal au complément de l'élévation du pôle du lieu ; de sorte que l'on doit se servir de la même analogie que pour le cadran horizontal : en observant seulement que le second terme soit le complément de l'élévation du pôle pour le lieu où l'on trace le cadran.

Le cadran oriental, ou le cadran droit directement oriental, c'est celui que l'on trace sur le côté du méridien qui regarde l'orient. Voyez ORIENT.

Comme le Soleil n'éclaire le plan du méridien qui regarde l'orient, qu'avant midi ; un cadran oriental ne peut marquer les heures que jusqu'à midi.

Tracer un cadran oriental. Sur le côté oriental du plan du méridien, tirez une ligne droite A B (fig. 11.) parallèle à l'horizon, joignez-y la ligne A K, qui fasse avec elle un angle K A B, égal à l'élévation de l'équateur. Ensuite avec le rayon D E décrivez un cercle, et par le centre D, tirez E C perpendiculaire à A K ; moyennant quoi le cercle sera divisé en quatre quarts. Subdivisez chacun de ces quarts en six parties égales. Et du centre D, par les différentes divisions, tirez les lignes droites D 4, D 5, D 6, D 7, D 8, D 9, D 10, D 11. Enfin, en D élevez un style égal au rayon D E perpendiculairement au plan, ou sur deux petites pièces fixées perpendiculairement en E, C, et égales au même rayon D E, attachez un style parallèle à E C.

Par ce moyen, chaque index aux différentes heures, rejettera une ombre sur les lignes respectives 44 55, 66, etc.

Le cadran occidental, ou le cadran droit directement occidental, se trace sur le côté occidental du méridien. Voyez OCCIDENT.

Comme le Soleil n'éclaire qu'après-midi le côté du plan du méridien, qui regarde l'occident, on voit qu'un cadran occidental ne peut marquer les heures que depuis midi jusqu'au Soleil couchant.

Ainsi en joignant le cadran occidental avec l'oriental, ces deux cadrants marqueront toutes les heures du jour.

Tracer un cadran occidental. La construction est précisément la même que celle du cadran orient al, excepté que sa situation est renversée, et les heures écrites conformément à cette disposition.

Le cadran polaire est tracé sur un plan qu'on imagine passer par les pôles du monde, et par les points de l'orient et de l'occident de l'horizon. Il y en a de deux espèces ; ceux de la première espèce regardent le zénith, et sont appelés polaires supérieurs ; ceux de la seconde regardent le nadir, et sont appelés polaires inférieurs.

Ainsi le cadran polaire est incliné à l'horizon, avec lequel il fait un angle égal à l'élevation du pôle.

Comme le plan polaire P O, Q S, (figure 12.) passe par les points O et S de l'orient et de l'occident, il y a un quart de l'équateur, et de chacun des parallèles à l'équateur, intercepté entre ce plan et le méridien P H Q : donc la surface supérieure est éclairée par le soleil depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir ; et la surface inférieure depuis le lever du soleil jusqu'à six heures du matin, et depuis six heures du soir jusqu'au coucher du soleil.

C'est pourquoi un cadran polaire inférieur marque les heures du matin depuis le lever du soleil jusqu'à six heures, et celles du soir depuis six heures jusqu'à son coucher ; et un cadran polaire supérieur marque les heures depuis six heures du matin jusqu'à six heures du soir.

Tracer un cadran polaire supérieur. Tirez une ligne droite A B (figure 13.) parallèle à l'horizon ; et si le plan est immobile, trouvez la ligne méridienne C E : divisez C E en deux parties égales, et par C tirez une ligne droite F G, parallèle à A B ; ensuite du centre D avec l'intervalle D E, décrivez un quart de cercle, et divisez-le en six parties égales : du centre D, par les différents points de division, tirez les lignes droites D 1, D 2, D 3, D 4, D 5, et placez en sens contraire les intervalles E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, c'est-à-dire E 11, 10, 9, 8 et 7 des points 5, 4, 3, 2, 1, etc. élevez des perpendiculaires qui rencontrent la ligne FG aux points correspondants, enfin élevez en D un style perpendiculaire égal à D E ; ou sur deux styles égaux à E D, placez une verge horizontale, parallèle à E C, les lignes 12, 12, 11, 22, 33, etc. seront les lignes horaires.

Un cadran polaire supérieur ne diffère des cadrants orientaux et occidentaux que par sa situation, et que par la manière d'écrire les heures.

On a un cadran polaire inférieur, ne négligeant les heures d'avant midi, 9, 10 et 11, et celles d'après midi, 1, 2 et 3, avec l'heure 12 de midi ; et en ne laissant que les heures 7 et 8 du matin, et 4 et 5 du soir, qui deviendront alors les heures 7 et 8 du soir, et 4 et 5 du matin, en renversant le cadran c'en-dessus-dessous.

Tracer tous les cadrants de la première espèce sur le même corps irrégulier. 1°. Supposons que le plan ABCD (fig. 12.) dans la situation naturelle du corps, soit horizontal : décrivez dessus un cadran horizontal, comme il a été enseigné plus haut.

2°. Tirez les lignes E M et F L parallèles à D C, qui seront par conséquent parallèles à l'horizon dans la situation naturelle du corps. Si on suppose ensuite que le plan B N M C fasse un angle C M E avec E M, égal à l'élévation du pôle, décrivez dessus un cadran polaire supérieur.

3°. Supposant que le plan opposé A D E fasse avec E M un angle D E M égal à l'élévation de l'équateur, tracez sur ce plan un cadran équinoctial supérieur.

4°. Supposant que le plan K L H fasse avec L F un angle H L F égal à l'élévation de l'équateur, tracez sur ce plan un cadran équinoctial inférieur.

5°. Si le plan opposé F G fait avec F L un angle G F L égal à l'élévation du pôle, tracez-y un cadran polaire inférieur.

6°. Si le plan M N K L et l'opposé E F sont perpendiculaires à F L, sur l'un deux tracez un cadran méridional, et sur l'autre un cadran septentrional.

7°. Sur le plan E M L F décrivez un cadran occidental, et un oriental sur le plan opposé.

Nous avons expliqué plus haut, et fort en détail, les méthodes dont on doit se servir pour tracer ces différentes espèces de cadrants.

Cela fait, si le corps est disposé de manière que le plan M N K L regarde le midi, et que le plan du méridien le coupe en deux dans la ligne de 12 heures du cadran horizontal A B C D ; et du cadran méridional M N K L, tous ces différents plans marqueront en même temps les heures du jour.

Les cadrants secondaires, ou de la seconde espèce, sont tous ceux que l'on place sur les plans de cercles différents de l'horizon, du premier vertical, de l'équinoctial, et des cercles polaires ; c'est-à-dire sur des plans qui déclinent, inclinent, réclinent.

Les cadrants verticaux déclinans, sont des cadrants droits ou verticaux qui déclinent, ou qui ne regardent pas directement quelqu'un des points cardinaux.

Les cadrants déclinans sont d'un usage fort ordinaire ; car les murailles des maisons sur lesquelles on trace communément les cadrants, ne sont pas directement exposées aux points cardinaux. Voyez DECLINANT.

Il y a différentes espèces de cadrants déclinans qui prennent leurs noms des points cardinaux vers lesquels ils paraissent le plus tournés, mais dont ils déclinent réellement : il y en a qui déclinent du midi ou du nord, et même du zénith.

Tracer trigonométriquement un cadran vertical déclinant. 1°. La déclinaison du plan et l'élévation du pôle du lieu étant donnés, voici la règle pour trouver l'angle formé au centre du cadran par la méridienne et la soustylaire. Comme le sinus total est à la tangente du complément de la hauteur du pôle du lieu, ainsi le sinus de l'angle de déclinaison du plan est à la tangente de l'angle cherché.

2°. La déclinaison du plan étant donnée, avec l'élévation du pôle du lieu, voici comment on trouve l'angle formé au centre d'un cadran vertical déclinant, par la soustylaire et l'axe.

Regle. Comme le sinus total est au sinus du complément de l'élévation du pôle, ainsi le sinus du complément de déclinaison du plan est au sinus de l'angle cherché.

3°. La déclinaison du plan et l'élévation du pôle étant données, si on veut trouver l'arc de l'équateur compris entre le méridien du lieu et le méridien du plan, voici la règle.

Comme le sinus total est au sinus de la hauteur du pôle du lieu, ainsi la tangente du complément de déclinaison du plan est à la tangente du complément de l'angle cherché, que nous appellerons, pour abréger, angle de la différence des longitudes.

4°. L'angle de la différence des longitudes, et celui de l'axe avec la soustylaire, étant donnés, on demande les angles formés au centre d'un cadran vertical déclinant, entre la soustylaire et les lignes horaires.

Ce problème a trois cas ; car les lignes horaires dont on cherche les angles, peuvent être, 1°. entre le méridien et la soustylaire ; ou, 2°. au-delà de la soustylaire ; ou, 3°. du côté du méridien où la soustylaire n'est pas. Dans les deux premiers cas, on doit prendre la différence entre la distance du soleil au méridien à chaque heure, et l'angle de la différence des longitudes trouvées par le dernier problème ; et dans le troisième cas on doit prendre la somme de ces deux angles, et faire usage de la règle suivante.

Regle. Comme le sinus total est au sinus de l'angle entre l'axe et la soustylaire, ainsi la tangente de la différence de la distance du soleil au méridien, et de la différence des longitudes, ou la tangente de la somme de ces deux angles est à la tangente de l'angle cherché.

5°. L'angle formé par la soustylaire avec les lignes horaires, et celui de la soustylaire avec le méridien, étant donnés, on peut trouver les angles formés entre le méridien et les lignes horaires, au centre des cadrants verticaux déclinans.

Les angles des lignes horaires entre le méridien et la soustylaire, se trouvent en ôtant l'angle formé par la soustylaire avec la ligne horaire, de l'angle formé par la soustylaire avec la méridienne.

Les angles au-delà de la soustylaire, et du côté opposé à celui du méridien, se trouvent en ajoutant ces deux angles.

On trouve ceux qui sont de l'autre côté du méridien, en prenant leur différence.

Décrire géométriquement un cadran vertical qui décline du midi à l'orient ou au couchant. Trouvez la déclinaison du plan, ainsi qu'il est enseigné à l'article DECLINAISON et DECLINATEUR.

Ensuite tracez sur le papier un cadran horizontal, en supposant que G H soit la ligne de contingence, ou de rencontre du plan avec le plan équinoctial, (figure 16.) : par le point E où la ligne méridienne A E coupe la ligne G H, tirez une ligne droite I K qui fasse avec G H un angle H E K, égal à la déclinaison du plan donné ; ainsi comme G H représente l'intersection du premier vertical avec l'horizon, I K sera l'intersection du plan déclinant et de l'horizon : c'est pourquoi la partie I E doit être élevée au-dessus de G E, en cas que le plan donné décline vers l'occident ; ou bien au-dessous de G H, si le plan décline vers l'orient. Tirez une ligne droite parallèle à l'horizon, sur le plan ou sur le mur donné pour représenter I K ; et prenant sur cette ligne un point correspondant au point E, transportez-y les différentes distances horaires E 1, E 2, E 3, etc. marquées dans la ligne I K tracée sur le papier : ensuite du point E élevez une perpendiculaire B C, égale à la distance qu'il y aurait de la ligne de contingence G H au centre d'un cadran méridional élevé sur G H, et dont le style passerait par le centre de ce cadran et par le point A : de-là tirez aux différents points 1, 2, 3, etc. les lignes C 1, C 2, C 3, etc. qui seront les lignes horaires ; ensuite faites tomber une perpendiculaire A D du centre A du cadran horizontal, sur la ligne de contingence I K, et transportez la distance E D du point E sur la muraille, C D sera la ligne soustylaire. Voyez SOUSTYLAIRE.

C'est pourquoi joignant A D et D C à angles droits, l'hypothénuse A C sera un style oblique, qui doit être attaché sur la muraille au point C, de manière que le côté C D tombe sur le côté C D, et que A D soit perpendiculaire au plan de la muraille. Il faut bien remarquer que la ligne I K qui est tracée obliquement sur le papier, doit être horizontale sur le plan ; et comme on suppose que le soleil éclaire la face du plan qui est tournée vers A, il faut que sur le cadran le point C soit en-haut, et le point E en-bas.

Tracez un cadran vertical déclinant du nord vers l'orient ou l'occident. Trouvez d'abord la déclinaison du plan ; ensuite tracez un cadran vertical déclinant du midi, dans lequel le point C soit en-haut, et le point E en-bas ; renversez-le de manière que le centre C soit en-bas, et le point E en-haut, et portez sur la gauche les heures de la main droite ; et au contraire, en supprimant toutes les lignes horaires que l'on ne peut pas voir dans un plan de cette espèce.

La meilleure méthode dans la pratique, c'est après que l'on a tracé sur le papier un cadran méridional déclinant, d'en piquer les différents points en les perçant avec une épingle ; appliquant ensuite à la muraille la face du papier sur laquelle le cadran est tracé, et ayant soin de mettre le point C en-bas ; le revers donnera tous les points nécessaires pour tracer un cadran septentrional déclinant.

Si le cadran décline trop, en sorte que le point C doive être trop éloigné, on se contentera de ne tracer qu'une partie des lignes horaires ; et au lieu du style triangulaire A C D, on ne mettra qu'une partie du style A C soutenue par deux appuis ; de manière pourtant que cette partie de style étant prolongée, ainsi que les lignes horaires, puisse rencontrer le plan du cadran au point C.

Les cadrants inclinés sont ceux que l'on trace sur des plans qui ne sont point verticaux, mais qui s'inclinent ou qui panchent vers le côté méridional de l'horizon, en faisant un angle plus grand ou plus petit que le plan équinoctial. Voyez INCLINAISON.

On peut concevoir un plan incliné, en supposant que le plan de l'équateur se rapproche du zénith d'un côté, et de l'autre s'abaisse vers le nadir, en tournant sur une ligne tirée du point est au point ouest de l'horizon.

Tracer un cadran incliné. 1°. L'inclinaison du plan, comme D C (fig. 17.), étant trouvée par le moyen d'un déclinateur, ainsi qu'il sera enseigné à l'article DECLINATEUR, si ce plan tombe entre le plan équinoctial C E et le vertical C B, de manière que l'angle d'inclinaison D C A soit plus grand que l'élévation de l'équateur E C A, sur le côté supérieur tracez un cadran septentrional, et sur le côté inférieur un méridional pour une élévation de l'équateur, qui soit égale à la somme de l'élévation de l'équateur du lieu donné, et du complément de l'inclinaison du plan à un quart de cercle.

2°. Si le plan incliné F C tombe entre l'horizontal C A et l'équinoctial C E, tellement que l'angle d'inclinaison F C A soit plus petit que l'élévation de l'équateur E C A, décrivez un cadran horizontal pour une élévation du pôle égale, à la somme de l'élévation du pôle du lieu donné et de l'inclinaison du plan.

Les cadrants ainsi inclinés se tracent de la même manière que les cadrants de la première espèce, excepté que le style, dans le premier cas, doit être fixé sous l'angle A D C ; et dans le dernier cas, sous l'angle D F C ; et que la distance du centre du cadran à la ligne de contingence, dans le premier cas, est D C, et dans le dernier, est F C.

Les cadrants réclinans sont ceux que l'on trace sur des plans qui ne sont pas verticaux, mais penchés ; en s'écartant du zénith vers le nord, et faisant un angle plus grand ou plus petit que le plan polaire.

On peut concevoir un plan réclinant, en supposant que le plan polaire s'élève d'un côté vers le zénith, et de l'autre s'abaisse vers le nadir, en tournant autour d'une ligne tirée de l'orient à l'occident. Pour trouver la réclinaison d'un plan, voyez RECLINAISON.

Tracer un cadran réclinant. 1°. Si le plan réclinant II C tombe entre le plan vertical B C et le plan polaire I C, de manière que l'angle de réclinaison B C H soit plus petit que la distance du pôle au zénith B C I, décrivez deux cadrants verticaux, un septentrional et un méridional, pour une élévation de l'équateur égale à la différence entre l'élévation de l'équateur du lieu donné, et l'angle de réclinaison.

2°. Si le plan récliné comme K C, tombe entre se plan polaire I C, et l'horizontal C L, de manière que l'angle de réclinaison B C K soit plus grand que la distance du pôle au zénith I C B : décrivez dessus un cadran horizontal pour une élévation du pôle, égale à la différence entre l'angle de réclinaison et l'élévation de l'équateur du lieu donné.

On trace aussi par la Trigonométrie les cadrants inclinans et réclinans, l'inclinaison ou la réclinaison du plan, et l'élévation du pôle étant connues ; et l'on trouve les angles faits, au centre d'un cadran inclinant ou réclinant, par le méridien et les lignes horaires.

Un cadran de cette espèce est proprement un cadran horizontal pour une latitude égale à l'élévation particulière du pôle sur le plan du cadran : c'est pourquoi l'on détermine les angles par la règle que l'on a donnée pour les cadrants horizontaux.

Quant à l'élévation du pôle sur le plan du cadran, on la trouve de cette manière : le plan étant incliné, son élévation est plus grande que l'élévation du pôle du lieu, ou est plus petite, ou lui est égale ; dans les deux premiers cas, pour les cadrants supérieurs méridionaux, ou inférieurs septentrionaux, on a l'élévation particulière du pôle sur le plan en prenant la différence entre l'élévation du pôle du lieu, et l'inclinaison du plan : et dans le dernier cas, le cadran est un cadran polaire, où les lignes horaires seront parallèles, à cause que le plan étant placé sur l'axe du monde, aucun des deux pôles n'y peut être représenté.

Pour les cadrants supérieurs septentrionaux, et inférieurs méridionaux, 1°. si l'inclinaison est plus grande que le complément de l'élévation, il faut ajouter le complément de l'inclinaison au complément de l'élévation. 2°. Si elle est plus petite, il faut ajouter l'inclinaison à l'élévation. 3°. Si elle est égale, le cadran sera un cadran équinoctial, où les angles au centre seront égaux à la distance du soleil au méridien.

Les cadrants déinclinés sont ceux qui sont en même temps déclinans et réclinans ou inclinés.

On se sert rarement des cadrants inclinés, réclinans, et surtout des cadrants déinclinés ; c'est pourquoi la construction géométrique et trigonométrique en étant un peu compliquée, nous prenons le parti de la supprimer, et de renvoyer ceux qui auraient du goût ou de la curiosité pour les cadrants de cette espèce, à la méthode mécanique générale de tracer toutes sortes de cadrants : méthode que nous allons exposer en peu de mots.

Méthode facîle de tracer un cadran sur toutes sortes de plans par le moyen d'un cadran équinoctial mobile. Supposons, par exemple, que l'on demande un cadran sur un plan horizontal ; si le plan est immobile, comme A B D C (fig. 18.) déterminez sa ligne méridienne G F ; ou, si le plan est mobile, prenez une méridienne à volonté. Ensuite par le moyen du triangle E K F, dont vous appliquerez la base sur la ligne méridienne, élevez le cadran équinoctial H, jusqu'à ce que le stîle G I devienne parallèle à l'axe du monde ; ce qui se trouve en faisant l'angle K E F égal à l'élévation du pôle, et que la ligne de 12 heures du cadran soit bien directement au-dessus de la lige méridienne du plan ou de la base du triangle. Alors, si pendant la nuit une bougie allumée est appliquée à l'axe GI, de sorte que l'ombre de l'index ou le stîle G I tombe successivement sur les lignes horaires ; cette même ombre marquera les différentes lignes horaires sur le plan A B C D.

Ainsi marquant des points sur l'ombre, tirez par ces points des lignes au point G ; alors un index étant placé en G, suivant l'angle I G F, son ombre marquera les différentes heures, à la lumière du soleil.

Si vous voulez un cadran sur un plan vertical, ayant élevé le cercle équinoctial, comme on l'a dit ci-dessus, poussez en avant l'index G I, jusqu'à ce que sa pointe I touche le plan vertical sur lequel vous voulez tracer le cadran.

Si le plan est incliné à l'horizon, il faudra trouver l'élevation du pôle sur ce même plan, et l'on fera l'angle du triangle K E F égal à cette élévation.

Remarquez qu'outre les différentes espèces de cadrants ci-dessus mentionnés, qui sont des cadrants à centre, il y en a d'autres appelés des cadrants sans centre.

Les cadrants sans centre sont ceux dont les lignes horaires sont à la vérité convergentes, c'est-à-dire tendent à se réunir en un point, mais si lentement que l'on ne saurait marquer sur le plan donné le centre vers lequel elles sont convergentes.

Les cadrants horizontaux sans centre, doivent être faits pour les endroits où l'élévation du pôle est très-petite, ou, ce qui revient au même, l'élévation de l'équateur très-grande : en effet dans la fig. 6. si l'on suppose l'angle A E D presque droit, c'est-à-dire l'équateur presque perpendiculaire à l'horizon, le point A qui est le centre du cadran deviendra très-éloigné, et la ligne D A qui représente l'axe du monde, sera presque parallèle à l'horizon.

De-là il s'ensuit que les cadrants verticaux sans centre conviennent aux endroits qui sont fort près du pôle, et que les cadrants horizontaux sans centre conviennent aux endroits qui sont fort près de l'équateur.

Pour tracer un cadran horizontal sans centre (fig. 15.) on commencera par tracer la méridienne A O, et par un point quelconque E de cette méridienne, on tirera la perpendiculaire G H qui désignera la ligne de contingence de l'horizon et du plan de l'équateur. On fera l'angle C E D, égal à l'élévation de l'équateur ; et ensuite ayant porté E D en E B, on divisera la ligne de contingence comme pour un cadran horizontal ordinaire ; on élevera ensuite au point D une perpendiculaire D F de longueur arbitraire ; et ayant tiré la perpendiculaire F L à D F, on transportera F L en L O, et on divisera par le point O, la ligne M N, en intervalles horaires, comme on a divisé la ligne G H par le point B ; ensuite par les points horaires correspondants de ces deux lignes G H, M N, on tirera les lignes horaires X I I I ; enfin aux points E, L, on placera perpendiculairement au plan du cadran l'index E D F L, composé du stîle D F, et de deux appuis E D, F L, et le cadran sera achevé.

Pour tracer un cadran vertical méridional sans centre, on remarquera qu'un tel cadran n'est autre chose, qu'un cadran horizontal construit pour une hauteur de pôle égale au complément de l'élévation du pôle donnée ; ainsi la construction de ce cadran sera la même que celle du cadran horizontal sans centre.

Dans la sphère droite, c'est-à-dire dans les lieux situés sous l'équateur, le cadran horizontal est le même que le cadran polaire, et le cadran vertical est le même que le cadran équinoctial.

Dans la sphère parallèle, c'est-à-dire, pour les habitants des pôles, le cadran horizontal est le même que le cadran équinoctial ; et le cadran vertical est le même que le cadran polaire.

Outre la description des heures, on trace sur les cadrants solaires beaucoup d'autres choses qui leur servent comme d'accompagnement et d'ornement.

On décrit aussi les cadrants solaires sur la surface de différents corps irréguliers : nous avons déjà fait voir comment sur un corps irrégulier, on pouvait tracer tous les cadrants de la première espèce. On peut en tracer le plus sur différents autres corps ; par exemple, sur un bâton, sur un cylindre, on n'attend pas de nous que nous entrions sur ce sujet dans un plus grand détail, qui n'appartiendrait qu'à un ouvrage complet sur la Gnomonique. Ceux qui voudront en savoir davantage, pourront avoir recours aux différents traités qui en ont été publiés.

On trouvera aussi dans ces même traités des méthodes pour tracer géométriquement des cadrants universels ; mais nous ne nous y arrêterons point, parce qu'elles nous paraissent plus curieuses qu'utiles, et que dans un ouvrage de la nature de celui-ci, nous devons principalement faire mention de ce qui peut être le plus d'usage.

Nous ne dirons rien non plus des Cadrants qu'on appelle à réflexion et à réfraction. Voyez ces mots.

Le cadran nocturne ou de nuit, montre les heures de la nuit.

Il y en a de deux espèces ; le lunaire ou le cadran à la lune, et le sidéréal ou le cadran aux étoiles.

Le cadran à la lune ou le cadran lunaire est celui qui montre l'heure de la nuit, par le moyen de la lumière ou de l'ombre de la lune, qu'un index jette dessus.

Tracer un cadran lunaire. Supposons, par exemple, que l'on demande un cadran lunaire horizontal : décrivez d'abord un cadran solaire horizontal : élevez ensuite les deux perpendiculaires A B et C D, (fig. 19.) à la ligne de douze heures ; et divisant l'intervalle G F en douze parties égales, par les différents points de division, tirez des lignes parallèles. Maintenant si on destine la première ligne C D au jour de la nouvelle lune, et la seconde au jour où la lune arrive au méridien, une heure plus tard que le soleil ; et enfin la dernière ligne A B au jour de la pleine lune : les intersections de ces lignes avec les lignes horaires donneront des points, par lesquels on tracera une ligne courbe 12 12, qui sera la ligne méridienne de la lune ; on déterminera ensuite de la même manière les autres lignes horaires, 11, 22, 33, etc. lesquelles seront coupées aux heures solaires correspondantes et respectives, ou par l'ombre de la lune, que jettera le style du cadran. On effacera les lignes horaires du cadran solaire, aussi bien que les perpendiculaires, par où l'on a tiré les heures lunaires ; et on divisera l'intervalle G F par d'autres lignes parallèles en quinze parties égales, qui répondent aux quinze jours entre la nouvelle et la pleine lune. Enfin on écrira auprès de ces lignes les différents jours de l'âge de la lune.

Maintenant, connaissant par un calendrier l'âge de la lune, l'intersection de la ligne de l'âge de la lune, avec les lignes horaires de la lune, donnera l'heure de la nuit.

On peut de la même manière transformer tout autre cadran solaire en cadran lunaire.

Tracer un cadran lunaire portatif sur un plan ; qui peut être disposé selon l'élévation de l'équateur. Décrivez un cercle A B (fig. 20.) et divisez sa circonférence en 29 parties égales. Du même centre D décrivez un autre cercle mobîle D E, divisez-le en 24 parties ou en 24 heures égales. Au centre C placez un index, de même que pour un cadran équinoctial.

Si l'on place ce cadran, comme il faut, dans un plan parallèle à l'équateur, comme le cadran équinoctial, et que l'on porte la ligne de 12 heures au jour de l'âge de la lune, l'ombre du style donnera l'heure.

Pour se servir d'un cadran solaire, comme si c'était un cadran lunaire, c'est-à-dire trouver l'heure de la nuit, par le moyen d'un cadran solaire, on observera l'heure que l'ombre du style montre à la lumière de la lune. On trouvera l'âge de la lune dans le calendrier, et on multipliera le nombre des jours par 3/4 ; le produit est le nombre d'heures qu'il faut ajouter à l'heure marquée par l'ombre, afin d'avoir l'heure qu'on demande. La raison de cette pratique est, que la lune passe tous les jours au méridien, ou à quelque cercle horaire que ce sait, trois quarts d'heure plus tard que le jour précédent. Or le jour de la nouvelle et de la plaine lune, elle passe au méridien en même temps que le soleil ; d'où il s'ensuit que le troisième jour, par exemple, après la nouvelle lune, elle doit passer deux fois trois quarts d'heure plus tard au méridien, et ainsi des autres.

Si le nombre des jours multipliés par 3/4 et ajoutés au nombre des heures, excède 12, il faudra en ôter 12, pour avoir l'heure cherchée.

Si on veut connaître plus facilement et plus exactement l'heure de la nuit par le moyen de l'ombre de la lune sur un cadran solaire, on pourra se servir de la table suivante, et ajouter pour chacun des jours de l'âge de la lune, les heures marquées dans cette table, aux heures marquées sur le cadran par l'ombre de la lune.

Le cadran aux étoiles est un instrument par lequel on peut connaître l'heure de la nuit en observant quelque étoîle ; ce cadran se fait par la connaissance du mouvement journalier que font autour du pôle ou de l'étoîle polaire, qui n'en est présentement éloignée que de deux degrés, les deux étoiles de la grande ourse, qu'on appelle ses gardes, ou la claire du carré de la petite ourse : pour la construction de ce cadran, il faut savoir l'ascension droite de ces étoiles, ou à quel jour de l'année elles se trouvent dans le même cercle horaire que le soleil ; ce qui se peut connaître par le calcul astronomique, ou par un globe, ou avec un planisphère céleste construit sur les nouvelles observations, en mettant sous le méridien l'étoîle dont il s'agit, et en examinant quel degré de l'écliptique se trouve en même temps sous ce méridien. Voyez GLOBE.

Les jours de l'année où les deux étoiles ont la même ascension droite que le soleil, elles marqueront les mêmes heures que le soleil : mais comme les étoiles fixes retournent au méridien chaque jour plutôt que le soleil d'environ 1 degré ou 40 minutes d'heures ; ce qui fait 2 heures par mois, il faudra avoir égard à cette différence, pour avoir l'heure du soleil par le moyen des étoiles.

Le cadran, dont il s'agit, est composé de deux plaques circulaires appliquées l'une sur l'autre (fig. 21. Gnomon.) ; la plus grande a un manche pour tenir à la main l'instrument dans les usages qu'on en fait.

La plus grande roue a environ deux pouces et demi de diamètre : elle est divisée en 12 pour les 12 mois de l'année, et chaque mois de 5 en 5 jours ; de telle sorte que le milieu du manche réponde justement au jour de l'année auquel l'étoile, dont on veut se servir, a la même ascension droite que le soleil. Et si on veut que le même cadran serve pour différentes étoiles, il faut rendre le manche mobîle autour de la roue, afin de l'arrêter où l'on voudra.

La roue de dessus, qui est la plus petite, doit être divisée en 24 parties égales, ou deux fois 12 heures pour les 24 heures du jour, et chaque heure en quarts ; ces 24 heures se distinguent par autant de dents, dont celles où sont marquées 12 heures, sont plus longues que les autres, afin de pouvoir compter la nuit les heures sans lumière.

A ces deux roues, on ajoute une règle ou alidade qui tourne autour du centre, et qui déborde au-delà de la plus grande circonférence.

Ces trois pièces doivent être jointes ensemble par le moyen d'un clou à tête, percé de telle sorte dans toute sa longueur, qu'il y ait au centre de ce clou un petit trou d'environ deux lignes de diamètre, pour voir facilement à-travers ce trou l'étoîle polaire.

L'instrument étant ainsi construit, si on veut savoir l'heure qu'il est de la nuit, on tournera la roue des heures jusqu'à ce que la plus grande dent où est marqué 12 heures, soit sur le jour du mois courant ; on approchera l'instrument de ses yeux, en le tenant par le manche, en sorte qu'il ne panche ni à droite ni à gauche, et qu'il regarde directement l'étoîle polaire, ou ce qui est la même chose, qu'il soit à-peu-près parallèle au plan de l'équinoctial ; ensuite ayant Ve par le trou du centre l'étoîle polaire, on tournera l'alidade jusqu'à ce que son extrémité, qui passe au-delà des circonférences des cercles, rase la claire du carré de la petite ourse, si l'instrument est disposé pour cette étoile. Alors la dent de la roue des heures, qui sera sous l'alidade, marquera l'heure qu'il est de la nuit. Voyez BION, instrument de Mathématique, et Wolf, Eléments de Gnomonique. On trace souvent sur la surface d'un cadran d'autres lignes que celles des heures, comme des lignes qui marquent les signes du zodiaque, la longueur des jours, les parallèles des déclinaisons, les azimuths, les méridiens des principales villes, les heures babyloniennes et italiques, etc. Voyez GNOMONIQUE.

L'analemme ou le trigone des signes, est l'instrument dont on se sert principalement pour tracer ces sortes de lignes et de points sur les cadrants. Voyez ANALEMME et TRIGONE DES SIGNES.

Au reste la description de ces sortes de lignes et de points est plus curieuse qu'utîle ; la condition la plus essentielle pour un bon cadran solaire, c'est que les lignes horaires, et surtout la méridienne, y soient bien tracées, et le stîle bien posé ; et toutes les autres lignes qu'on y peut décrire, pour marquer autre chose que les heures du lieu où l'on est, peuvent être quelquefois nuisibles par trop de confusion. (O)

CADRAN DE MER. Voyez BOUSSOLE.

CADRAN, dans les horloges, est une plaque sur laquelle sont peintes ou gravées les heures, les minutes, les secondes, et tout ce que la disposition du mouvement lui permet d'indiquer.

Ce que l'on exige principalement d'un cadran, c'est qu'il soit bien divisé, bien monté, et que toutes les parties s'en distinguent facilement.

Le cadran des montres est fait d'une plaque de cuivre rouge, recouverte d'une couche d'émail de l'épaisseur d'un liard environ.

Les cadrants tiennent pour l'ordinaire à la platine des piliers, par le moyen de plusieurs pieds soudés vers leur circonférence, au côté qu'on ne voit pas. Ces pieds entrent juste dans des trous percés à la platine ; ils la débordent et l'on fiche des goupilles dans de petits trous percés dans leur partie excédante : ainsi le cadran tient à la platine des piliers de la même manière que cette platine tient à celle du dessus. Voyez CAGE. Pl. I. Horl. fig. 1. (T)

CADRAN, se dit, en Architecture, de la décoration extérieure d'une horloge enrichie d'ornements d'architecture et de sculpture, comme le cadran du palais à Paris, où il y a pour attributs la loi et la justice, avec les armes de Henri III. roi de France et de Pologne. Cet ouvrage est du célèbre Germain Pilon.

On ne fait guère usage de ces sortes de décorations dans les bâtiments particuliers, mais elles sont presqu'indispensables aux édifices sacrés, tels que sont les paroisses, les couvens, communautés, etc. ou bien aux monuments publics, comme hôtels-de-ville, bourses, marchés ; alors il est convenable de rendre leurs attributs relatifs aux différents caractères de l'édifice, et surtout que les ornements soient unis avec des membres d'architecture qui paraissent liés avec le reste de l'ouvrage. Quelquefois ces cadrants sont surmontés par des lanternes, dans lesquelles sont pratiqués des carillons, tels qu'il s'en voyait au marché-neuf il y a quelques années, et qu'on en voit encore aujourd'hui à celle de la Samaritaine, bâtiment hydraulique situé sur le pont-neuf à Paris.

Les cadrants solaires qui sont placés sur la surface perpendiculaire des murailles dans les grandes cours ou jardins des hôtels, comme au palais royal à Paris, ou posés sur des piédestaux, s'ornent aussi de figures, attributs et allégories relatifs au sujet ; tel est celui qu'on voit à Fontainebleau dans le jardin de l'orangerie. (P)

CADRAN, s. m. (instrument du Lapidaire) est une machine fort ingénieusement inventée pour tenir le bâton à ciment, à l'extrémité duquel le diamant est attaché, soit avec du mastic ou de l'étain fondu, et lui faire prendre telle inclinaison que l'on souhaite à l'égard de la meule.

Cet instrument, qui est de bois, est composé de quatre pièces principales ; savoir, le corps, la base, et les deux noix. Le corps représenté séparément, fig. 13. Planche du Lapidaire, est une pièce de bois d'environ 5 ou 6 pouces de long et de 4 à 5 de large, dans laquelle est un trou K qui est le centre de l'arc h i percé à jour. Sur l'épaisseur de la face g g s'élève la vis m qui est dans le même plan, et par laquelle elle s'assemble avec la base u x en passant par le trou y ; elle y est retenue par l'écrou en S marqué z, ainsi qu'on peut le voir dans la figure 10. qui représente le cadran tout monté.

La base, outre le trou y, en a encore un autre x qui descend verticalement : ce trou reçoit le clou qui est fixé sur l'établi, comme on voit en R, fig. 5.

Le trou K du corps reçoit la noix I I. La partie o est celle qui entre dans le trou K, et la partie p faite en vis reçoit l'écrou Z, fig. 19. au moyen duquel elle se trouve fixée sur le corps du cadran.

L'ouverture circulaire h i reçoit la noix de la fig. 8. la partie r est celle qui entre dans l'ouverture h i ; cette partie est cavée du côté qui doit s'appliquer sur l'arc convexe de l'ouverture circulaire, et elle est de même que la première retenue par l'écrou 6, fig. 19.

Les deux noix sont chacune percées d'un trou, dans lequel passe le bâton à ciment 3, 1, 2, fig. 10. qui peut tourner sur son axe et se fixer dans les ouvertures des noix par le seul frottement, à quoi contribue beaucoup sa forme conique.

Voyez pour l'usage de cet instrument l'article LAPIDAIRE et la figure 5. R est le cadran monté sur son clou, en sorte que le diamant soudé au bout du bâton à ciment porte sur la meule K.

CADRA