approximatio, s. f. (Mathématiques) est une opération par laquelle on approche toujours de plus en plus de la valeur d'une quantité cherchée, sans cependant en trouver jamais la valeur exacte. Voyez RACINE.

Wallis, Raphson, Halley, et d'autres, nous ont donné différentes méthodes d'approximation : toutes ces méthodes consistent à trouver des séries convergentes, à l'aide desquelles on approche si près qu'on veut de la valeur exacte d'une quantité cherchée ; et cela plus ou moins rapidement, selon la nature de la série. Voyez CONVERGENT et SERIE.

Si un nombre n'est point un carré parfait, il ne faut pas s'attendre d'en pouvoir tirer la racine exacte en nombres rationnels, entiers, ou rompus ; dans ces cas il faut avoir recours aux méthodes d'approximation, et se contenter d'une valeur qui ne diffère que d'une très-petite quantité de la valeur exacte de la racine cherchée. Il en est de même de la racine cubique d'un nombre qui n'est pas un cube parfait, et ainsi des autres puissances, comme on peut voir dans les Transact. philos. n°. 215.

La méthode la plus simple et la plus facîle d'approcher de la racine d'un nombre, est celle-ci : je suppose, par exemple, qu'on veuille tirer la racine carrée de 2 ; au lieu de 2, j'écris la fraction 20000/10000, qui lui est égale, ayant soin que le dénominateur 10000 soit un nombre carré, c'est-à-dire, renferme un nombre pair de zéros ; ensuite je tire la racine carrée du numérateur 20000 ; cette racine, que je peux avoir à une unité près, étant divisée par 100, qui est la racine du dénominateur, j'aurai à 1/100 près la racine de 20000/10000, c'est-à-dire de 2.

Si on voulait avoir la racine plus approchée, il faudrait écrire 2000000/1000000, et on aurait la racine à 1/1000 près, etc. de même pour avoir la racine cubique de 2, il faudrait écrire 2000000/1000000, 1000000 étant un nombre cubique, et on aurait la racine à 1/100 près, et ainsi à l'infini.

Sait a a + b un nombre quelconque qui ne soit pas un carré parfait, et a3 + b un nombre quelconque qui ne soit pas un cube parfait. Sait a a le plus grand carré parfait, contenu dans le premier de ces nombres. Sait a 3 le plus grand cube parfait contenu dans le second de ces nombres, on aura

(a a + b) = a + (b /2 a) - (3 b b)/(8 a3) etc. et (a3 + b) = a + (b /(3 a2)) - (b b)/(9 a5), etc. Voyez BINOME. A l'aide de ces équations, on aura facilement des expressions fort approchées des racines carrées et cubiques que l'on cherchera.

Sait proposé d'avoir la racine d'une équation par APPROXIMATION, 1°. d'une équation du second degré. Sait l'équation donnée du second degré dont il faut avoir la racine par approximation, Xe - 5 x - 31 = 0, on suppose que l'on sache déjà que la racine est à-peu-près 8 ; ce que l'on peut trouver aisément par différentes méthodes, dont plusieurs sont exposées dans le VI. livre de l'analyse démontrée du P. Reyneau.

Sait 8 + y la racine de l'équation proposée, en sorte que y soit une fraction égale à la quantité, dont 8 est plus grand ou plus petit que la racine cherchée, on aura donc

Or comme une fraction devient d'autant plus petite que la puissance à laquelle elle se trouve élevée est grande, et que nous ne nous proposons que d'avoir une valeur approchée de la racine de l'équation, nous négligerons le terme y2 ; et la dernière équation se réduira à

Réduisant les fractions au même dénominateur, on aura l'équation suivante :

Sait maintenant cette équation du troisième degré, dont il faut chercher la racine par approximation, Xe + 2 Xe - 23 x - 70 = 0, et dont on suppose que l'on sache à-peu-près la valeur de la racine, par exemple 5.

Sait donc la racine de cette équation 5 + y. Comme on peut négliger les termes où y se trouve au second et au troisième degré, il n'est pas nécessaire de les exprimer dans la transformation. On aura donc seulement

Donc x = 5.1 + 0.0348 = 5.1340, et ainsi de suite à l'infini. Il est évident que plus on réitérera l'opération, plus la valeur de x approchera de la valeur exacte de la racine de l'équation proposée.

Cette méthode pour approcher des racines des équations numériques, est dû. à M. Newton. Dans les mém. de l'acad. de 1744, on trouve un mémoire de M. le marquis de Courtivron, où il perfectionne et simplifie cette méthode. Dans les mêmes mémoires, M. Nicole donne aussi une méthode pour approcher des racines des équations du troisième degré dans le cas irréductible ; et M. Clairaut, dans ses éléments d'Algèbre, enseigne aussi une manière d'approcher de la racine d'une équation du troisième degré dans ce même cas. Voyez CAS IRREDUCTIBLE du troisième degré. (O)