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Catégorie : Arithmétique & Commerce
S. m. (Arithmétique et Commerce) C'est en général la remise que fait le créancier, ou la perte à laquelle il se soumet en faveur du payement anticipé qu'on lui fait d'une somme avant l'échéance du terme.

1. Plus particulièrement escompter sur une somme, c'est en séparer les intérêts qu'on y suppose noyés et confondus avec leur capital.

2. Il y a deux manières d'énoncer l'escompte ; on dit qu'il se fait à tant pour % par an (ou tel autre terme), ou qu'il se fait à tel denier. Nous nous en tiendrons à la première expression qui s'entend mieux, et qui est la plus usitée. Quant au moyen de ramener l'une à l'autre, voyez INTERET. Nous aurons souvent occasion de renvoyer à cet article, à cause de l'intime liaison qu'il y a entre les deux calculs ; et surtout parce que l'article INTERET (dont l'autre se déduit) devant naturellement précéder, si l'ordre alphabétique de cet ouvrage ne s'y opposait, la matière s'y trouve traitée plus à fond ; on y aura donc recours, même sans en être averti, s'il se trouve quelque point qui ne paraisse pas ici suffisamment expliqué.

3. Quand on dit que l'escompte se fait à tant pour % par an, par mois, par etc. un an, un mois, etc. est ce que nous nommerons terme d'escompte.

4. Dans toutes les questions de ce genre il entre nécessairement cinq éléments.

5. Comme c'est à exprimer t qu'on se trouve ordinairement le plus embarrassé, ce point demande quelque éclaircissement : t est proprement l'exposant du rapport du terme d'escompte au temps que le payement a été anticipé, c'est-à-dire celui-ci divisé par celui-là. La fraction subsiste, lorsque le diviseur n'est pas soumultiple du dividende ; elle disparait dans l'autre cas, qui est le plus ordinaire. C'est ce que les exemples feront mieux entendre.

6. Pour avoir r, faites d + it : d : : a : (a d)/(d + i t) = a x d/(d + i t).

Ainsi.... r = a x d/(d + i t).

7. Premier exemple. Un homme doit 1344 liv. payables dans quatre ans ; son créancier offre de lui escompter à raison de 3 pour % par an, s'il paye actuellement ; acceptant l'offre, que doit-il payer ?

Le même exemple retourné. Un homme qui devait 1344 liv. exigibles dans un certain temps, s'acquitte en payant actuellement 1200 liv. l'escompte étant à 3 pour % par an ; de combien d'années a-t-il anticipé le payement ?

Substituant dans la quatrième formule, on trouve t = 100 x 144/3600 = 144/36 = 4.

8. Second exemple. Un homme doit 2000 liv. payables dans deux ans ; on offre de lui escompter à raison de 5 pour % par an, du jour qu'il pourra anticiper le payement ; il paye au bout de sept mois : quelle somme doit-il compter ?

Le payement est anticipé de deux ans-sept mois, ou réduisant les années en mois de 24 - 7 = 17. Prenant donc 17 pour numérateur de la fraction qui (n°. 5.) représente t, et lui donnant pour dénominateur le terme d'escompte un an aussi réduit en mois, on a t = 17/12.

Le même exemple retourné. Un homme qui devait 2000 liv. payables dans deux ans, s'est acquitté en payant au bout de sept mois 1867 liv. 181/257 ou 480000/257 liv. à combien pour % par an s'est fait l'escompte ?

Substituant dans la troisième formule, on trouve (sous une expression que les fractions rendent nécessairement un peu compliquée)

i = 100 x = 100 x

= 1048560/209712 = 5.

9. La règle de change n'est souvent qu'une règle d'escompte ; et cela arrive lorsque le change se prend en-dedans de la somme principale. Un homme, par exemple, comptant à un banquier, sous cette condition, une somme de 3000 livres, de combien (le change supposé à 3 pour %) sera la lettre qu'il en recevra ?... appliquant la formule (& négligeant t qui n'est ici de nulle considération), on trouve qu'elle sera de 3000 x 100/103 = 300000/103 = 2912 liv. 64/103, le banquier retenant pour son droit 87 liv. 39/103.

Le même homme, s'il eut voulu que la lettre fût de 3000 liv. en plein, eut dû compter 3090 liv. le change montant alors à 90 liv.

Mais, demandera-t-on, pourquoi cette différence ? pourquoi l'intérêt étant le même, ajoute-t-on dans un cas 90 liv. et que dans l'autre on n'ôte que 87 liv. 39/103 ? la réponse est bien simple, c'est que dans les deux cas on opère sur deux sommes différentes. Là, ce sont les intérêts de la somme même de 3000 liv. qu'on lui ajoute ; ici, les intérêts qu'on ôte ne sont pas ceux de 3000 liv. mais d'une somme moindre qui y est renfermée et confondue avec eux. Cette somme même est 2912 liv. 64/103, dont les intérêts à 3 pour % produisent en effet 87 liv. 39/103 ; en sorte que la somme et ses intérêts font ensemble 3000 liv.

Tout ceci, comme on voit, n'est que la règle de trois dirigée par le jugement, et maniée avec un peu de dextérité.

On ne connait dans le Commerce qu'une espèce d'escompte ; c'est celle qu'on vient de voir, et qui correspond à l'intérêt simple : néanmoins comme escompter n'est proprement, ainsi qu'on l'a déjà observé, que séparer d'un capital un intérêt qui y est, ou du moins qu'on y suppose confondu, et que l'intérêt est de deux sortes, il semble qu'il doit y avoir aussi deux espèces d'escompte, relatives chacune à l'espèce d'intérêt qu'il est question de démêler d'avec le capital. En adoptant, si l'on veut, cette idée, nous avertissons que le supplément qu'elle semble exiger (& qui n'est guère que de pure curiosité) se trouve à l'article INTERET REDOUBLE, la seconde des formules qu'on y voit n'ayant pour objet que de retrouver une somme primitive confondue avec les intérêts et les intérêts d'intérêts. Nous y renvoyons donc pour éviter les redites. Cet article est de M. RALLIER DES OURMES, Conseiller d'honneur au présidial de Rennes.

En général soit 1/ m l'intérêt d'une somme S dû au bout d'un an, il est évident qu'on devra au bout de l'année S (1 + 1/ m) ; soit maintenant t le rapport d'un temps quelconque à une année, il est évident que dans le cas de l'intérêt simple (voyez INTERET), on devra au bout du temps t la somme S (1 + t/m), et que dans le cas de l'intérêt composé on devra la somme S (1 + 1/ m)t. Or si t = 1, ces deux quantités sont égales ; si t > 1, la seconde est plus grande que la première, comme il est aisé de le voir ; si t < 1, la première est plus grande que la seconde. Sait à présent S ce qu'on doit, en escomptant pour le temps t la somme q, on aura S (1 + t/m) = q dans le premier cas, et S (1 + 1/ m)t = q dans le second. Donc, 1°. si t = 1, l'escompte est le même dans le cas des deux intérêts. 2°. Si t > 1, la remise est plus grande dans le second cas que dans le premier ; c'est le contraire, si t < 1. Ainsi quand on escompte pour moins d'un an, il est avantageux à celui pour qui on escompte de supposer qu'il prête à intérêt compose ; c'est le contraire, si on escompte pour plus d'un an. C'est qu'en général l'intérêt composé est favorable au créancier pour les termes au-delà de l'année, et au débiteur pour les termes en-deçà. Voyez INTERET.

On voit aussi que pour trouver l'escompte de 100. liv. payables au bout d'un an, au denier 20, il faut prendre 100/(1 + 1/20) = (100. 20)/21 = 95 l. 4. s. 9 d. et non pas 95 l. comme l'on paye ordinairement. En effet il saute aux yeux que 95 liv. au bout d'un an doivent produire seulement 99 liv. 15 s. au den. 10, et non pas 100 liv. M. Deparcieux a déjà fait cette remarque, pag. 10 et 11 de son essai sur les probabilités de la durée de la vie humaine. La raison arithmétique de cette fausse opération, c'est que les banquiers prennent 100/(1 + 1/20) pour la même chose que 100 (1 - 1/20) : or 1/(1 + 1/20) est un peu plus grand que 1 - 1/20, puisque 1 est un peu plus grand que 1 - 1/400. (O)




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