S. f. (Physique et Géométrie) c'est l'étendue d'un corps considéré en tant qu'il est mesurable, ou susceptible de mesure. Voyez EXTENSION et MESURE.
Ainsi, comme nous concevons que les corps sont étendus en longueur, largeur, et profondeur ou épaisseur, nous concevons aussi ces trois dimensions dans la matière ; la longueur toute seule s'appelle ligne ; la longueur combinée avec la largeur prend le nom de surface : enfin la longueur, la largeur, et la profondeur ou l'épaisseur, combinées ensemble, produisent ce que l'on nomme un solide. Voyez LIGNE, SURFACE, SOLIDE.
On se sert particulièrement du mot dimension pour exprimer les puissances des racines ou valeurs des quantités inconnues des équations, que l'on appelle les dimensions de ces racines. Voyez RACINE.
Ainsi dans une équation simple ou du premier degré ; la quantité inconnue n'a qu'une dimension, comme x = a + b. Dans une équation du second degré, l'inconnue est de deux dimensions, comme Xe = a2 + b2. Dans une équation cubique, telle que Xe = a3 - b3, elle a trois dimensions. Voyez EQUATION, PUISSANCE, etc.
En général on dit, en Algèbre, qu'une quantité comme a b c d, a b c, a b, etc. est d'autant de dimensions qu'il y a de lettres ou de facteurs dont elle est composée. Ainsi a b c d est de quatre dimensions, a b c de trois, etc. On sent assez la raison de cette dénomination prise de la Géométrie. Si, par exemple, les produisans ou facteurs a, b, c, du produit a b c, sont représentés par des lignes, le produit a b c sera représenté par un solide ou parallèlepipede, dont l'une des dimensions est a, l'autre b, l'autre c ; de même le produit a b est de deux dimensions, parce qu'il peut représenter une surface ou figure rectangle de deux dimensions a, b, etc. Au reste il ne peut y avoir proprement que des quantités de trois dimensions ; car passé le solide, on n'en peut concevoir d'autre. Qu'est-ce donc que les quantités comme a4, a5, qu'on emploie dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie ? Ces quantités peuvent être considerées sous deux points de vue. Ou la ligne a est représentée par un nombre arithmétique, et en ce cas a4 est la quatrième puissance de ce nombre ; ou bien on doit supposer a 4 divisé par une certaine ligne à volonté, qui réduise le nombre des dimensions à 3. Par exemple, soit Xe + a Xe + b5 = 0, je dis que cette équation est la même chose que (x5 + a Xe + b5)/ c2 = 0, ce qui réduit les dimensions à trois.
Remarquez qu'on peut toujours faire cette division ; car dans la Géometrie tout se réduit toujours à des équations. On ne considère a 4 que pour le comparer à quelque autre quantité de même dimension ; et il est visible qu'une équation continue d'avoir lieu, lorsqu'on divise tous ses termes par une quantité constante quelconque. Ou bien on peut regarder a et b dans l'équation comme des nombres, qui soient entr'eux comme les lignes représentées par a et b, et alors x sera un nombre, et on n'aura que faire de division. Cette manière de considérer les quantités de plus de trois dimensions, est aussi exacte que l'autre ; car les lettres algébriques peuvent toujours être regardées comme représentant des nombres, rationnels ou non. J'ai dit plus haut qu'il n'était pas possible de concevoir plus de trois dimensions. Un homme d'esprit de ma connaissance croit qu'on pourrait cependant regarder la durée comme une quatrième dimension, et que le produit du temps par la solidité serait en quelque manière un produit de quatre dimensions ; cette idée peut être contestée, mais elle a, ce me semble, quelque mérite, quand ce ne serait que celui de la nouveauté.
Dans les fractions algébriques la dimension est égale à celle du numérateur moins celle du dénominateur, ainsi a3/ a ou a3/ b est de deux dimensions. En effet on peut supposer a3/ b = c c. Par la même raison a3/ a3 ou a3/ b3 est de dimension nulle ; et on appelle ainsi en général toute fraction où le numérateur a une dimension égale à celle du dénominateur. a3/ b4 serait de la dimension - 1 ; ce qui ne signifie autre chose, sinon que cette quantité étant multipliée par une quantité de dimension positive m, le produit serait de la dimension m - 1 ; car voilà tout le mystère des dimensions négatives et des exposans négatifs. Voyez EXPOSANT. (O)