La règle pour trouver les points de rebroussement, est la même en général, que pour trouver les points d'inflexion ; c'est faire
Rebroussement de la seconde espèce est un point A (fig. 7. Analys.), où les deux branches P m, p m, du rebroussement ne sont pas convexes l'une vers l'autre comme dans le rebroussement ordinaire, mais placées de manière que la concavité de l'une regarde la convexité de l'autre. Sait une courbe qui ait pour équation y2 - 2 Xe y + Xe - n5 = 0. (A P = Xe P M = y). Cette courbe aura à son origine en A un point de rebroussement de la seconde espèce ; car on aura y = Xe + ; d'où l'on voit 1°. que x positive donne deux valeurs de y, lesquelles lorsque x est infiniment petite, sont toutes deux positives : 2°. d y = 2 x d x + 5/2 x 2/3 d x ; d'où l'on voit que d y = 0 dans les deux branches, lorsque x = 0, et qu'ainsi les deux branches A M, A m, tournent toutes deux à leur origine leur convexité vers l'axe A P ; 3°. que x négative donne y imaginaire, et qu'ainsi la courbe n'a que les deux branches A M, A m, et par conséquent doit avoir en A un point de rebroussement de la seconde espèce, puisque ces deux branches à l'origine A, tournent toutes deux leurs convexités vers le même côté. Voyez à ce sujet les recherches sur le calcul intégral, imprimées dans le second volume en français des mém. de l'acad. des Sciences de Prusse.
Je suis le premier qui ait démontré invinciblement l'existence de ces points, que d'habiles géomètres avaient attaquée, comme le savant M. Euler l'a reconnu dans les mém. de l'acad. de Berlin de 1750, pag. 112.