Pour trouver la solidité du dodecahedre, il suffit donc de trouver celle d'une de ces pyramides, et de la multiplier ensuite par 12. Or la solidité d'une des pyramides se trouve en multipliant sa base par le tiers de la distance de cette base au centre ; et pour trouver cette distance, il faut prendre la moitié de la distance entre deux faces parallèles. Voyez l'article PYRAMIDE.

Le diamétre de la sphère étant donné, le côté du dodecahedre se trouve par ce théorème ; le carré du diamétre de la sphère est égal au rectangle sous la somme des côtés du dodecahedre et de l'exahedre, inscrit à la même sphère, et le triple du côté du dodecahedre. Ainsi le diamétre de la sphère étant 1, le côté du dodecahedre inscrit sera ( 5/3 - 1/3) : 2 ; par conséquent ce côté est au diamétre de la sphère : : 5/3 - 1/3 est à 2, et le carré de ce côté au carré du diamètre, comme est à 4. Par conséquent le diamètre de la sphère est incommensurable, tant en grandeur qu'en puissance, au côté du dodecahedre inscrit. Voyez INCOMMENSURABLE. (E)