S. m. (Arithmétique) nombre d'une progression arithmétique, lequel répond à un autre nombre dans une progression géométrique.

Pour faire comprendre la nature des logarithmes, d'une manière bien claire et bien distincte, prenons les deux espèces de progression qui ont donné naissance à ces nombres ; savoir, la progression géométrique, et la progression arithmétique : supposons donc que les termes de l'une soient directement posés sous les termes de l'autre ; comme on le voit dans l'exemple suivant,

1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128.

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

en ce cas, les nombres de la progression inférieure, qui est arithmétique, sont ce que l'on appelle les logarithmes des termes de la progression géométrique qui est en-dessus ; c'est-à-dire que 0 est le logarithme de 1, 1 est le logarithme de 2, 2 est le logarithme de 4, et ainsi de suite.

Ces logarithmes ont été inventés pour rendre le calcul plus expéditif, comme on le verra plus bas.

Le mot logarithme est formé des mots grecs , raison, et , nombre ; c'est-à-dire raison de nombres.

Afin que l'on entende maintenant la doctrine et l'usage des logarithmes, il faut se rendre bien attentif aux propositions suivantes.

Proposition première. En supposant que le logarithme de l'unité soit 0, le logarithme du produit de deux nombres quelconques, tels que 4 et 8, sera toujours égal à la somme 5 des logarithmes des deux racines ou produisans ; ce qui est évident par les deux progressions que l'on a citées, car ajoutant 2 à 3, on a la somme 5, qui est le logarithme du produit 32, ce qui doit arriver effectivement, car puisque 4 x 8 = 32, l'on aura cette proportion géométrique : 1. 4 : : 8. 32, dont les logarithmes doivent une proportion arithmétique, ainsi l'on aura l 1. l. 4 : l 8. l 32 (la lettre l signifie le logarithme du nombre qu'elle précède) ; mais on sait que dans une proportion arithmétique, la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens ; ainsi l 1 + l 32 = l 4 + l 8 ; or le logarithme de 1 ou l 1 = 0 (par la supp.) ; donc l 32 = l 4 + l 8. C. Q. F. D.

Proposition seconde. Le logarithme du quotient 16 du nombre 64 divisé par 4, est égal à la différence qu'il y a entre le logarithme de 64 et le logarithme de 4 ; c'est-à-dire que l 16 = l 64 - l 4 ; car par la supposition 64/4 = 16 ; donc en multipliant par 4, 64 x 1 = 16 x 4, ainsi 1. 4 : : 16. 64 ; donc l 1 + l 64 = l 4 + l 16. Or l 1 = 0 ; par conséquent l 64 = l 4 + l 16 ; donc enfin l 64 - l 4 = l 16. C. Q. F. D.

Proposition troisième. Le logarithme d'un nombre n'est que la moitié du logarithme de son carré. Démonstration ; prenez 8, quarrez le, vous aurez 64. Il faut donc prouver que l 8 = l 64/2 : par la supposition 8 x 8 = 64 x 1 ; donc 1. 8 : : 8. 64 ; ainsi l 1. l 8 : l 8. l 64 ; donc l 1 + l 64 = l 8 + l 8 = 2 l 8, or l 1 = 0 ; donc l 64 = 2 l 8, et par conséquent en divisant l'un et l'autre nombre par 2, on aura l 64/2 = l 8. C. Q. F. D.

Proposition quatrième. Le logarithme d'un nombre n'est que le tiers du logarithme de son cube. Démonstration ; prenez le nombre 2 et faites son cube 8, je dis que l 2 = l 8/3, car puisque 4 x 2 = 8 x 1, on aura 1. 4 : : 2. 8 ; donc l 1. l 4 : l 2. l 8 ; or par la démonstration précédente, 4 étant le carré de 2, l 4 = 2 l 2 ; donc l 1. 2 l 2 : l 2. l 8 ; par conséquent l 1 + l 8 = 2 l 2 + l 2 = 3 l 2, et comme l 1 = 0, on aura l 8 = 3 l 2 ; donc l 8/3 = l 2. C. Q. F. D.

Les propriétés que nous venons de démontrer, ont servi de fondement à la construction des tables des logarithmes, moyennant lesquelles on fait par l'addition et la soustraction, les opérations que l'on serait obligé sans leur secours, d'exécuter avec la multiplication, la division et l'extraction des racines, comme on va le faire voir en reprenant les deux progressions précédentes :

1. 2. 4. 8. 16. 32. 64. 128. etc.

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. etc.

Voulez-vous multiplier 4 par 16, cherchez les logarithmes 2. 4. qui répondent à ces nombres, faites-en la somme 6, elle est le logarithme de leur produit 64.

Cherchez donc dans la table le nombre qui répond au logarithme 6, vous trouverez 64, qui est effectivement le produit de 4 par 16.

S'il s'agissait de diviser 128 par 8, on chercherait les logarithmes 7, 3. De ces nombres on ôterait 3 de 7, le reste 4 serait le logarithme de leur quotient, auquel répond le nombre 16.

Si on cherche la racine carrée de 64, on n'a qu'à prendre la moitié de son logarithme 6, c'est 3 auquel répond 8 ; ainsi 8 est la racine carrée de 64.

Il n'est pas plus difficile de trouver la racine cubique de 64, prenez le tiers de son logarithme 6, vous aurez 2, auquel répond 4.

Ainsi 4 est la racine cubique de 64. On ferait donc avec une extrême facilité, les opérations les plus laborieuses du calcul, si l'on avait les logarithmes d'une grande quantité de nombres ; et c'est a quoi l'on a tâché de parvenir dans la construction des tables des logarithmes.

La découverte des logarithmes est dûe au baron Neper, écossais, mort en 1618. Il faut avouer cependant que Stifelius, arithméticien allemand, avait remarqué avant lui la propriété fondamentale des logarithmes ; savoir que le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme de leurs logarithmes. Mais cette proposition resta stérile entre ses mains, et il n'en tira aucun usage pour abreger les opérations, ce qui fait l'essentiel de la découverte de Neper. Kepler dit aussi que Juste-Byrge, astronome du landgrave de Hesse, avait imaginé les logarithmes ; mais de l'aveu de Kepler même, l'ouvrage où Byrge en parlait, n'a jamais paru.

Neper publia en 1614, sa découverte dans un livre intitulé mirifici logarithmorum canonis descriptio. Les logarithmes des nombres qu'il donne dans cet ouvrage, diffèrent de ceux que nous employons aujourd'hui dans nos tables ; car dans les nôtres le logarithme de 10 est l'unité, ou ce qui est la même chose, 1,000000 ; et dans celles de Neper, le logarithme de 10 est 2,3025850. Nous verrons au mot LOGARITHMIQUE, la raison de cette différence. Mais cette supposition lui paraissant peu commode, il indiqua lui-même des tables de logarithmes, telles que nous les avons aujourd'hui. Elles furent construites après sa mort par Henri Briggs, dans son ouvrage intitulé Arithmetica logarithmica. Adrien Ulacq, mathématicien des Pays-bas, perfectionna le travail de Briggs ; et plusieurs autres ont travaillé depuis sur cette matière. Les tables de logarithmes, qui ont aujourd'hui le plus de réputation pour l'étendue et l'exactitude, sont celles de Gardiner, in-4°. Celles de M. Deparcieux, de l'académie des Sciences, méritent aussi d'être citées. Voyez l'histoire des Mathématiques de M. Montucla, tom. II. part. IV. liv. I.

Théorie des logarithmes. Sait proposé de trouver le logarithme d'un nombre quelconque, et de construire un canon ou une table pour les logarithmes naturels. 1°. Comme 1, 10, 100, 1000, 10000, etc. constituent une progression géométrique, leurs logarithmes peuvent donc être pris dans une progression arithmétique à volonté ; or pour pouvoir exprimer par des fractions décimales les logarithmes de tous les nombres intermédiaires, nous prendrons la progression 0. 0000000, 1. 0000000, 2. 0000000, 3. 0000000, 4 0000000, etc. de manière que le premier de ces nombres ou zero, soit le logarithme de 1, que le second soit le logarithme de 10, le troisième celui de 100, et ainsi de suite. Voyez DECIMAL. 2°. Il est évident qu'on ne pourra point trouver des logarithmes exacts pour les nombres qui ne sont point compris dans la série géométrique ci-dessus, 1, 10, 100, etc. mais on pourra en avoir de si approchants de la vérité, que dans l'usage ils seront aussi bons que s'ils étaient exacts. Pour rendre ceci sensible, supposons qu'on demande le logarithme du nombre 9 ; j'introduirai entre 1. 0000000 et 10. 0000000, un moyen proportionnel géométrique, et cherchant entre leurs logarithmes 0. 00000000 et 1. 00000000, un moyen proportionnel arithmétique, celui-ci sera évidemment le logarithme de l'autre, c'est-à-dire d'un nombre qui surpassera 3 d'un peu plus que 1622777/100000000, et par conséquent qui sera encore fort éloigne de 9. Je chercherai donc entre 3 1622777/100000000 et 10, un autre moyen proportionnel géométrique, qui approchera par conséquent plus de 9 que le premier ; et entre 10 et ce nouveau moyen proportionnel, j'en chercherai encore un troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que j'en trouve deux consécutifs, dont l'un soit immédiatement au-dessus, et l'autre immédiatement au-dessous de 9, et cherchant un moyen proportionnel entre ces deux nombres là, et puis encore un autre entre celui-là et celui des deux derniers qui aura 9 entre lui et le précédent, on parviendra enfin à un moyen proportionnel qui sera égal 9 0 0000000/1 0000000, lequel n'étant pas éloigné de 9 d'une dix millionième partie d'unité, son logarithme peut, sans aucune erreur sensible, être pris pour le logarithme de 9 même. Je reviens donc à mes moyens proportionnels géométriques, et prenant l'un après l'autre, le logarithme de chacun d'eux par l'introduction d'autant de moyens proportionnels arithmétiques, je trouve enfin que 0. 9542425 est le logarithme du dernier moyen proportionnel géométrique ; et j'en conclus que ce nombre peut être pris sans erreur sensible, pour le logarithme de 9, ou qu'il en approche extrêmement.

3°. Si on trouve de même des moyens proportionnels entre 1. 0000000 et 3. 1622777, que nous avons vu plus haut être le moyen proportionnel entre 1. 0000000 et 10. 0000000, et qu'on cherche en même temps le logarithme de chacun d'eux, on parviendra à la fin à un logarithme très-approchant de celui de 2, et ainsi des autres. 4°. Il n'est cependant pas nécessaire de prendre tant de peine pour trouver les logarithmes de tous les nombres, puisque les nombres, qui sont le produit de deux nombres, ont pour logarithmes la somme des logarithmes de leurs produisans ; et réciproquement, si l'on a le logarithme du produit de deux nombres, et celui de l'un de ses produisans, on aura facilement le logarithme de l'autre produisant ; de même ayant le logarithme d'un carré, d'un cube, etc. on a celui de sa racine, ainsi qu'on l'a démontré dans les propositions précédentes ; par conséquent, si l'on prend la moitié du logarithme de 9 trouvé ci-dessus, l'on aura le logarithme de 3, savoir 0. 4771212.

Dans les logarithmes, les nombres qui précèdent le point expriment des entiers ; et ceux qui sont après le point expriment le numérateur d'une fraction, dont le dénominateur est l'unité, suivie d'autant de zéros que le numérateur a de figures. L'on donne à ces entiers le nom de caractéristiques, ou d'exposans, parce qu'ils marquent, en leur ajoutant 1, combien de caractères doit avait le nombre auquel le logarithme correspond ; ainsi 0 à la tête d'un logarithme, ou placé dans le logarithme avant le point, signifie que le nombre correspondant ne doit avoir que le seul caractère des unités, qu'une seule figure, parce que ajoutant 1 à 0 caractéristique, on aura le nombre 1, qui marque le nombre de figures qu'a le nombre auquel se rapporte le logarithme ; 1 caractéristique signifie que le nombre correspondant au logarithme, contient non-seulement des unités, mais encore des dixaines, et non pas des centaines ; qu'en un mot, il contient deux figures, et qu'il a sa place entre dix et cent, et ainsi des autres exposans ou caractéristiques. Il s'ensuit donc que tous les nombres, lesquels quoique différents, ont néanmoins autant de caractères ou de figures les uns que les autres ; par exemple, les nombres compris entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000, etc. doivent avait des logarithmes dont la caractéristique soit la même, mais qui diffèrent par les chiffres placés à droite du point.

Si le nombre n'est nombre qu'improprement, mais qu'il soit en effet une fraction décimale exprimée numériquement, ce qui arrivera lorsqu'il n'aura de caractère réel qu'après le point, alors il devra évidemment avoir un logarithme négatif, et de plus la caractéristique de ce logarithme négatif marquera combien il y aura de 0 dans le nombre avant sa première figure réelle à gauche, y compris le 0, qui est toujours censé se trouver avant le point, ainsi le logarithme de la fraction décimale 0. 256 est 1. 40824 ; celui de la fraction décimale 0. 0256 est 2. 40824, etc.

Tout cela est une suite de la définition des logarithmes ; car puisque les nombres entiers 1, 10. 100, etc. ont pour logarithme 0, 1, 2, etc. les fractions 1/10, 1/100, etc. qui forment une progression géométrique avec les entiers 1, 10, 100, etc. doivent avoir pour logarithmes les nombres négatifs, 1, 2, etc. qui forment une progression arithmétique avec les nombres 0, 1, 2, etc. donc etc.

Sait proposé maintenant de trouver le logarithme d'un nombre plus grand que ceux qui sont dans les tables, mais moindre que 10000000. Retranchez au nombre proposé ses quatre premières figures vers la gauche, cherchez dans les tables le logarithme de ces quatre premières figures, ajoutez à la caractéristique de ce logarithme autant d'unités qu'il est resté de figures à droite dans le nombre proposé. Soustrayez ensuite le logarithme trouvé de celui qui le suit immédiatement dans les tables, et faites après cela cette proportion, comme la différence des nombres qui correspondent à ces deux logarithmes consécutifs est à la différence des logarithmes eux-mêmes, ainsi ce qui reste à droite dans le nombre proposé est à un quatrième terme, que nous pourrons nommer la différence logarithmique ; en effet, si vous l'ajoutez au logarithme d'abord trouvé, vous pourrez sans erreur sensible, prendre la somme pour le logarithme cherché. Si l'on demandait par exemple, le logarithme du nombre 92375, je commencerai par en retrancher les quatre premières figures à gauche, savoir 9237, et je prendrais dans les tables les logar. 3. 9655309 du nombre qu'elles forment à elles seules, dont j'augmenterais la caractéristique 3 d'une unité, ce qui me donnerait 4. 9655309, auquel il ne s'agirait plus que d'ajouter la différence logarithmique convenable : or pour la trouver, je prendrais dans les tables le logarithme du nombre immédiatement au-dessus

pour la valeur du logarithme cherché. La raison de cette opération est que les différences des trois nombres a, b, c, lorsque ces différences sont fort petites, sont entr'elles, à très-peu près, comme les différences de leurs logarithmes. Voyez LOGARITHMIQUE.

Si le nombre proposé était une fraction ou un entier plus une fraction, il faudrait d'abord réduire le tout à une seule fraction, et chercher séparément le logarithme du numérateur et celui du dénominateur par la méthode qu'on vient de donner, ensuite on retrancherait les deux logarithmes l'un de l'autre, et on aurait le logarithme de la fraction proposée.

Sait proposé de plus de trouver le nombre correspondant à un logarithme plus grand qu'aucun de ceux qui sont dans les tables. Soustrayez d'abord du logarithme donné le logarithme de 10, ou celui de 100, ou celui de 1000, ou celui de 10000, le premier en un mot, de cette espèce qui donnera un restant d'un nombre de caractères, tels qu'il s'en trouve dans les tables. Trouvez le nombre correspondant à ce restant considéré lui-même comme logarithme, et multipliez ce nombre trouvé par 100, par 1000, ou par 10000, etc. le produit sera le nombre cherché.

auquel correspond dans les tables le nombre 4285 71/100. la fraction cherchée sera donc 428571/1000000. On apercevra la raison de cette règle, en observant que toutes fractions étant le quotient de son numérateur par son dénominateur, l'unité doit être à la fraction comme le dénominateur est au numérateur ; mais comme l'unité est à la fraction qui doit correspondre au logarithme négatif donné, ainsi 10000 est au nombre correspondant au logarithme restant ; donc si l'on prend 10000 pour dénominateur, et le nombre correspondant pour numérateur, on aura la fraction requise.

Sait enfin proposé de trouver un quatrième proportionnel à trois nombres donnés. Vous ajouterez le logarithme du second à celui du troisième, et de la somme que cette addition vous aura fournie, vous ôterez le logarithme du premier, le restant sera le logarithme du quatrième nombre cherché. Par exemple, soit donné les nombres 4, 68 et 3.

qui doit être le logarithme du nombre cherché ; et comme le nombre correspondant dans les tables est 51, j'en conclus que 51 est le nombre cherché lui-même.

Ce problème est du plus grand usage dans la Trigonométrie. Voyez TRIANGLE et TRIGONOMETRIE.

Tous ces problèmes sur les logarithmes se déduisent évidemment de la théorie des logarithmes donnée ci-dessus, et ils peuvent se démontrer aussi par la théorie de la logarithmique qu'on trouvera à son article.

Nous terminerons celui-ci par une question qui a été fort agitée entre MM. Léibnitz et Bernoulli. Les logarithmes des quantités négatives sont-ils réels ou imaginaires ? M. Léibnitz tenait pour le second, M. Bernoulli pour le premier. On peut voir les lettres qu'ils s'écrivaient à ce sujet ; elles sont imprimées dans le commercium epistolicum de ces deux grands hommes, publié en 1745 à Lausanne. J'eus autrefois (en 1747 et 1748) une controverse par lettres avec le célèbre M. Euler sur le même sujet ; il soutenait l'opinion de M. Léibnitz, et moi celle de M. Bernoulli. Cette controverse a occasionné un savant mémoire de M. Euler, imprimé dans le volume de l'académie de Berlin pour l'année 1749. Depuis ce temps, M. de Foncenex a traité la même matière dans le premier volume des mémoires de l'académie de Turin, et se déclare pour le sentiment de M. Euler qu'il appuie de nouvelles preuves. J'ai composé sur ce sujet un écrit dans lequel je me déclare au contraire pour l'opinion de M. Bernoulli. Comme cet écrit aura probablement vu le jour avant la publication du présent article, je ne l'insererai point ici, et je me contenterai d'y renvoyer mes lecteurs, ainsi qu'aux écrits dont j'ai parlé ; ils y trouveront toutes les raisons qu'on peut apporter pour et contre les logarithmes imaginaires des quantités négatives. Je me bornerai à dire ici, 1°. Que si on prend entre deux nombres réels et positifs, par exemple 1 et 2, une moyenne proportionnelle, cette moyenne proportionnelle sera aussi-bien - 2 que + 2, et qu'ainsi le logarithme de - 2 et celui de 2 seront le même, savoir log. 2/2. 2°. Que si dans l'équation y = c x et le logarithmique (Voyez LOGARITHMIQUE et EXPONENTIEL) on fait x = 1/2, on aura y = c 1/2 = ± c, et qu'ainsi le logarithmique aura des ordonnées négatives et positives, en tel nombre qu'on voudra à l'infini ; d'où il s'ensuit que les logarithmes de ces ordonnées seront les mêmes, c'est-à dire des quantités réelles. 3°. A ces raisons ajoutez celle qui se tire de la quadrature de l'hyperbole entre ses asymptotes, que Bernoulli a donnée le premier, et que j'ai fortifiée par de nouvelles preuves ; ajoutez enfin beaucoup d'autres raisons que l'on peut lire dans mon mémoire, ainsi que mes réponses aux objections de MM. Euler et de Foncenex, et on sera, je crois, convaincu que les logarithmes des nombres négatifs peuvent être réels. Je dis peuvent être, et non pas sont ; c'est qu'en effet on peut prendre tel système de logarithmes qui rendra imaginaires les logarithmes des nombres négatifs. Par exemple, M. Euler prouve très-bien que si on exprime les logarithmes par des arcs de cercle imaginaires, le logarithme de - 1 sera imaginaire ; mais au fond tout système de logarithmes est arbitraire en soi ; tout dépend de la première supposition qu'on a faite. On dit, par exemple, que le logarithme de l'unité est = 0, et que les logarithmes des fractions sont négatifs. Tout cela n'est qu'une supposition ; car on pourrait prendre une telle progression arithmétique que le logarithme de l'unité ne fût pas égal à 0, et que les logarithmes des fractions fussent des quantités réelles et positives. Il y a bien lieu de craindre que toute cette dispute sur les logarithmes imaginaires, ne soit qu'une dispute de mots, et n'ait été si agitée que faute de s'entendre. Ce n'est pas le premier exemple de dispute de mots en Géométrie. Voyez CONTINGENCE et FORCES VIVES.

MM. Gregori, Mercator, Newton, Halley, Cotes, Taylor, etc. ont donné différentes méthodes pour la construction des tables des logarithmes, que l'on peut voir dans les Transactions philosophiques. Voyez surtout un mémoire de M. Halley dans les Transact. philos. de 1695. n°. 216. Sans entrer ici dans ce détail, nous donnerons une méthode assez simple pour calculer les logarithmes.

Nous supposerons d'abord (voyez l'article LOGARITHMIQUE) que la soutangente de la logarithmique soit égale a l'ordonnée que l'on prend pour l'unité, nous prendrons une ordonnée 1 - u qui soit plus petite que l'unité, et nous aurons, en nommant l'abscisse d x, l'équation d x = - , comme il résulte de l'article cité ; d'où il s'ensuit encore que x est égal au logarith. de 1 - u, et qu'ainsi le logarithme de 1 - u est égal à l'intégrale de - . Or faisant la division suivant les règles ordinaires, ou supposant , = , on trouve (voyez DIVISION, BINOME, EXPOSANT, SERIE, SUITE, &c.) que - (d u) /(1 - u) = - d u - u d u - u2 d u - u d u, etc. dont l'intégrale est - u - u2/2 - u3/3 - u4/4, etc. à l'infini ; et cette série est convergente, parce que les numérateurs et les dénominateurs vont toujours en diminuant, car u est plus petit que l'unité. Voyez FRACTION. On aura donc, en prenant un certain nombre de termes de cette suite, la valeur approchée du logarithme de 1 - u ; or connaissant le logarithme de la fraction 1 - u, on connaitra le logarithme du nombre entier qui est troisième proportionnel à cette fraction et à l'unité ; car ce logarithme est le même, mais pris avec un signe positif. Par exemple, si on veut avoir le logarithme du nombre 10, on cherchera celui de la fraction 1/10 = 1 - 9/10, ainsi u = 19/10. Donc le logarithme de 19/10 est - 9/10 - 81/200 - 729/3000 etc. et ainsi de suite ; et cette quantité prise avec le signe +, est le logarithme de 10.

Tout cela est vrai dans l'hypothèse que la soutangente de la logarithmique soit = 1 ; mais si on voulait que le logarithme de 10 fût 1, par exemple, au lieu d'être égal à la série précédente, alors tous les logarithmes des autres nombres devraient être multipliés par le rapport de l'unité à cette série. Voyez LOGARITHMIQUE. (O)