S. m. (Arithmétique) est dans la division le nombre qui divise, ou celui qui fait voir en combien de parties le dividende doit être divisé. Voyez DIVIDENDE et DIVISION.

On appelle commun diviseur une quantité ou un nombre, qui divise exactement deux ou plusieurs quantités ou nombres, sans aucun reste.

Ainsi 3 est commun diviseur de 12 et 18 ; le nombre 2 est aussi commun diviseur des mêmes nombres. Les mêmes nombres peuvent donc avoir plusieurs communs diviseurs : or celui de ces communs diviseurs, qui est le plus grand, s'appelle le plus grand commun diviseur.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités quelconques a, b ; on divisera le plus grand nombre a par le plus petit b ; et s'il y a un reste c, on divisera le plus petit b par ce reste c (en négligeant toujours les quotients) ; et s'il y a encore un reste d, on divisera le premier reste c par le second d, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait trouvé un reste m qui divise au juste celui qui le précède immédiatement ; ce dernier reste m sera le plus grand commun diviseur des deux quantités a, b.

Ainsi, pour trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres 54 et 18, je divise 54 par 18 ; et comme cette division se fait sans reste, je connais que 18 est le plus grand commun diviseur de 54 et 18.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de 387 et de 54, je divise 387 par 54, et trouvant un reste 9, je divise 54 par 9 ; et comme la division se fait exactement, je connais que 9 est le plus grand commun diviseur de 387 et 54.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de 438 et de 102, je divise 438 par 102, et trouvant le reste 30, je divise 102 par 30, et trouvant le reste 12, je divise 30 par 12, et trouvant le reste 6, je divise 12 par 6 ; et comme 6 divise 12 sans reste, je connais que 6 est le plus grand commun diviseur de 438 et 102, etc.

Pour trouver le plus grand commun diviseur de trois nombre quelconques A, B, C, je cherche d'abord, comme auparavant, le plus grand commun diviseur m des deux premiers A, B ; et je cherche ensuite le plus grand commun diviseur n de C et de m et n sera le plus grand commun diviseur des trois nombres A, B, C.

S'il fallait trouver le plus grand commun diviseur de quatre nombres, on chercherait d'abord le plus grand commun diviseur n des trois premiers ; et ensuite le plus grand commun diviseur p du quatrième et de n ; et ainsi de suite à l'infini.

Il est quelquefois utile de connaitre tous les diviseurs d'un nombre, surtout dans l'analyse, où il s'agit fort souvent de décomposer une quantité, ou d'en déterminer les facteurs, c'est-à-dire de savoir les quantités qui ont concouru à sa production.

Ainsi, pour trouver tous les diviseurs d'un nombre 2310, on prendra la suite 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. des nombres premiers (voyez NOMBRE PREMIER), et l'on trouvera par son moyen tous les diviseurs simples ou premiers 2, 3, 5, 7, 11, de 2310, et posant l'unité 1, on multipliera 1 par 2, et l'on aura pour diviseurs 1, 2, qu'on multipliera chacun par trois, pour avoir 3, 6, lesquels joints à 1, 2, donneront pour diviseurs 1, 2, 3, 6 que l'on multipliera chacun par 5 ; ce qui produira 5, 10, 15, 30, lesquels joints aux quatre diviseurs 1, 2, 3, 6, produiront les huit diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15. 30, que l'on multipliera chacun par 7 pour avoir 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, que l'on joindra aux huit premiers pour avoir les 16 diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, que l'on multipliera chacun par 11 pour avoir 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310, lesquels joints aux 16 précédents donneront les 32 diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310 du nombre 2310 et il n'en aura pas davantage. Voyez la science du calcul par Charles Reyneau, ou les leçons de Mathématique par M. l'abbé de Molieres. (E)

La règle pour trouver les communs diviseurs se trouve démontrée dans plusieurs ouvrages par différentes méthodes. En voici la raison en peu de mots. Qu'est-ce que trouver le plus grand commun diviseur, par exemple de 387 et 54 ? c'est trouver la plus petite expression de 387/54. Il faut donc d'abord diviser 387 par 54, je trouve que le quotient est un nombre entier + 9/54, il faut donc trouver le plus grand commun diviseur de 9 et de 54, ou réduire cette fraction à sa plus simple expression ; donc ce plus grand diviseur est 9. On fera le même raisonnement sur les exemples plus composés ; et l'on verra toujours que trouver le plus grand commun diviseur, se réduit à trouver la plus petite expression d'une fraction ; c'est-à-dire une fraction dont le numérateur et le dénominateur soient les plus petits qu'il est possible.

On peut aussi employer souvent une méthode abrégée pour trouver le plus grand commun diviseur.

Je suppose qu'on ait, par exemple, à trouver le plus grand commun diviseur de 176 et de 77, je remarque en prenant tous les diviseurs de 176, que 176 = 2 x 88 = 2 x 2 x 2 x 2 x 11, et que 77 = 7 x 11 ; donc 11 est le plus grand commun diviseur, et ainsi des autres. En général soient a, b, c, tous les diviseurs simples ou premiers d'un nombre a3 b2 c, et c, b, f, tous ceux d'un nombre b4 c2 f3, on aura pour diviseur commun b2 c.

Deux nombres premiers (voyez NOMBRE PREMIER) ou deux nombres, dont l'un est premier, ne sauraient avoir de commun diviseur plus grand que l'unité : cela est évident par la définition des nombres premiers, et par la règle des communs diviseurs. Donc une fraction composée de deux nombres premiers a/b, est réduite à sa plus simple expression. Donc le produit a c de deux nombres premiers différents de b ne peut se diviser exactement par b ; car si on avait ac/b = m, on aurait a/b = m/c ; ce qui ne se peut. En effet il faudrait pour cela que b et c eussent un commun diviseur, ce qui est contre l'hypothèse. On prouvera de même que (a c)/b ne saurait se reduire ; car on aurait (a c)/b = m/g, g ayant un diviseur commun avec b ; on prouvera de même encore que (a c)/(b d), d étant un nombre premier, ne saurait se réduire ; car on aurait (a c)/(b d) = (m h)/(g h) : donc b d produit de deux nombres premiers, serait égal au produit de deux autres nombres g, h, et par conséquent on aurait b/g = h/d, quoique b d'une part et d de l'autre soient des nombres premiers : ce qui ne se peut, car on vient de voir que toute fraction, dont un des termes est un nombre premier, est réduite à la plus simple expression. On prouvera de même que (a b c)/(b d), c étant nombre premier, ne peut se réduire ; et en général qu'un produit des nombres premiers quelconques, divisé par un produit d'autres nombres premiers quelconques, ne peut se réduire à une expression plus simple. Voyez les conséquences de cette proposition aux mots FRACTION et INCOMMENSURABLE.

A l'égard de la méthode par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun de deux quantités algébriques, elle est la même pour le fond que celle par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun de deux nombres. On la trouvera expliquée dans l'analyse démontrée et dans la science du calcul du P. Reyneau. Elle est utile surtout pour réduire différentes équations à une seule inconnue. Voyez EVANOUISSEMENT DES INCONNUES. (O)

* DIVISEUR, (Histoire ancienne) gens qui se chargeaient dans les élections de corrompre les tributs et d'acheter les suffrages. Le mépris public était la seule punition qu'ils eussent à supporter.