S. f. en Géométrie, c'est une des lignes courbes formées par la section d'un cône. Voyez CONIQUE.

Si le cône A B C (Pl. con. fig. 27.) est coupé de telle sorte, que l'axe de la section D Q étant continué, rencontre le côté du cône A C, prolongé jusqu'en E, la courbe qui naitra de cette section sera une hyperbole.

Quelques auteurs définissent l'hyperbole une section du cône par un plan parallèle à son axe ; mais cette définition est défectueuse. Car bien qu'il soit vrai qu'une pareille section forme réellement une hyperbole, néanmoins il est vrai aussi qu'il peut s'en former une infinité d'autres, dont le plan ne sera point parallèle à l'axe, et qui ne sont point comprises dans la définition.

Les auteurs appellent quelquefois le plan terminé par cette courbe, une hyperbole, et la courbe même ligne hyperbolique.

On peut définir l'hyperbole une ligne courbe, dans laquelle le carré de la demi-ordonnée est au rectangle de l'abscisse, par une ligne droite composée de la même abscisse, et d'une ligne droite donnée, qu'on appelle l'axe transverse, comme une autre ligne droite donnée, appelée le paramètre de l'axe, est à l'axe transverse ; (ou bien en nommant y l'ordonnée, x l'abscisse à l'axe transverse, et b le parametre) c'est une ligne courbe dans laquelle a y 2 = a b x + b x x, c'est-à-dire, b : a : : y 2 : a x + x 2.

Dans l'hyperbole, une moyenne proportionelle entre l'axe transverse ou le paramètre, est appelée l'axe conjugué ; et si l'on coupe l'axe transverse A B (Pl. conic. fig. 27. n. 2.) en deux parties égales au point C, ce point est appelé le centre de l'hyperbole. Voyez AXE et CENTRE.

La ligne droite D E menée par le sommet A de l'hyperbole, parallèlement à l'ordonnée, Mm (figure 20.) est tangente à la courbe au point A. Voyez TANGENTE.

Si l'on mene, par le sommet A d'une hyperbole, une ligne droite D E, parallèle aux ordonnées M m, et égale à l'axe conjugué, c'est-à-dire dont les parties D A et D E soient égales au demi axe conjugué, et qu'on tire du centre C par D et E les lignes C F et C G, ces lignes seront les asymptotes de l'hyperbole. Voyez ASYMPTOTE.

Le carré double du triangle rectangle C I A, c'est-à-dire, le carré dont le côté serait C I ou I A, est appelé la puissance de l'hyperbole. Voyez PUISSANCE.

Propriétés de l'hyperbole. Dans l'hyperbole, les carrés des demi-ordonnées sont l'une à l'autre comme les rectangles de l'abscisse, par une ligne droite composée de l'abscisse et de l'axe transverse ; d'où il suit qu'à mesure que les abscisses x augmentent, les rectangles a x + x 2, et par conséquent les carrés des demi-ordonnées y 2, et les demi-ordonnées elles-mêmes augmentent à proportion : l'hyperbole s'éloigne donc continuellement de son axe.

2°. Le carré de l'axe conjugué, est au carré de l'axe transverse, comme le paramètre est au même axe transverse ; d'où il suit que, puisque b : a : : P M 2 : A P x P B, le carré de l'axe conjugué est au carré du transverse, comme le carré de la demi-ordonnée est au rectangle de l'abscisse, par une ligne composée de l'abscisse et de l'axe transverse.

3°. Décrire une hyperbole par un mouvement continu : plantez aux deux points F et Z (fig. 28.) qu'on appelle foyers, deux clous ou deux épingles, et attachez au point F un fil F O C, et l'autre extrémité C de ce fil à la règle C Z, en observant que le fil C F soit moindre que la longueur de la règle C Z ; ensuite fixant un style O au fil, faites mouvoir la règle autour de Z, ce style tracera une hyperbole. Sans avoir recours à cette description, on peut trouver autant de points que l'on voudra de l'hyperbole, et il ne s'agira plus que de les joindre. Par exemple, du foyer Z, avec un intervalle Z m plus grand que la ligne A B, laquelle on suppose être l'axe transverse de l'hyperbole, décrivez un arc, et faites Z b = A B : avec l'intervalle restant b m, décrivez du point F un autre arc qui coupe le premier au point m, et comme Z m - F m = A B, il s'ensuit que m est un des points de l'hyperbole, et ainsi du reste.

4°. Si l'on prolonge la demi-ordonnée P M (fig. 20.) d'une hyperbole, jusqu'à ce qu'elle rencontre l'asymptote en R, la différence des carrés de P M et P R, sera égale au carré du demi-axe conjugué C d, d'où il suit qu'à mesure que la demi-ordonnée P M augmente, la ligne droite M R diminue, et l'hyperbole s'approche toujours de plus en plus de l'asymptote, sans pouvoir jamais la rencontrer ; car, comme P R 2 - P M 2 = D A 2, il est impossible que P R 2 - P M 2 deviennent jamais = 0.

5°. Dans une hyperbole le rectangle de M R et de M r est égal à la différence des carrés P R 2 et P M 2, d'où il suit que le même rectangle est égal au carré du demi-axe conjugué C d, et que tous les rectangles, formés de la même manière, sont égaux.

6°. Lorsque Q M est parallèle à l'asymptote C G, le rectangle de Q M par C Q, est égal à la puissance de l'hyperbole ; d'où il suit 1°. qu'en faisant C I = A I = a, C Q = x, et Q M = y, on aura a2 = x y, qui est l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. 2°. Que les asymptotes étant données de position, aussi bien que le côté de la puissance C I ou A I, si l'on prend sur l'une des asymptotes tel nombre d'abscisses qu'on voudra, on aura autant de demi-ordonnées, et par leur moyen autant de points de l'hyperbole qu'on voudra, en trouvant des troisiemes proportionnelles aux abscisses, et au côté de la puissance C I. 3°. Si l'on ne prend point les abscisses du centre C, mais de quelqu'autre point L, et que l'on suppose C L = b, on aura C q = b + x, et par conséquent a 2 = b y + x y.

7°. Dans l'hyperbole, l'axe transverse est au paramètre comme la somme de la moitié de l'axe transverse et de l'abscisse est à la sousnormale ; et la somme du demi-axe transverse et de l'abscisse, est à l'abscisse, comme la somme de l'axe transverse entier et de l'abscisse à la sous-tangente. Voyez SOUSNORMALE, US-TANGENTEENTE.

8°. Si l'on tire au dedans des asymptotes d'une hyperbole, et d'un de ses points m (figure 29.) deux lignes droites H m et m K, deux autres L N et N O parallèles aux précédents ; on aura H m x m K = L N x O N.

9°. Si l'on tire une ligne droite H K, de telle manière qu'on voudra, entre les asymptotes d'une hyperbole, les segments H E et m K compris de chaque côté entre l'hyperbole et ses asymptotes, seront égaux. Il suit de-là, si E m = 0, que la ligne droite H K sera tangente à l'hyperbole ; par conséquent la tangente F D, comprise entre les asymptotes, est coupée en deux au point d'attouchement V. Enfin, le rectangle des segments H m et m K parallèles à la tangente D F, est égal au carré de la moitié de la tangente D V.

10°. Si par le centre C (fig. 30.) on tire une ligne droite quelconque C A, et par le point A une tangente E A D terminée aux asymptotes (on appelle la ligne C A demi-diamètre transverse), et une ligne égale et parallèle à EAD, menée par le centre C, est nommée diamètre conjugué. Or le carré de la demi-ordonnée P M, parallèle au diamètre conjugué, est au rectangle de l'abscisse par la somme du diamètre transverse quelconque A B, et de l'abscisse A P, comme le carré de la moitié du diamètre conjugué A D est au carré de la moitié du diamètre transverse C A. D'où il suit qu'en supposant A P = x, P M = y, A B = a, D E = c, on aura y 2 = (c 2 a x + c 2 x 2) : 1/4 a a = + ; et faisant 4 c 2 : a = b ; on aura y 2 = b x + b x 2 : a. Ainsi la propriété des ordonnées de l'hyperbole par rapport à son axe, a lieu de la même manière par rapport à ses diamètres.

11°. Si l'on tire d'un point quelconque A et d'un autre point quelconque de l'hyperbole M (fig. 20.) les lignes A I, M Q parallèles à l'asymptote C G : le rectangle de M Q par C Q sera égal au rectangle de C I par I A. Donc si Q C = x, Q M = y, C I = a, I A = b : l'équation qui exprime la nature de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, sera x y = ab.

12°. Si l'on prend une des asymptotes, qu'on la divise en parties égales, et que par chaque point de toutes ces divisions qui forment autant d'abscisses qui augmentent sans-cesse également, on mène des ordonnées à la courbe parallèlement à l'autre asymptote : les abscisses représenteront une suite infinie de nombres naturels, et les espaces hyperboliques ou asymptotiques correspondants, la suite des logarithmes des mêmes nombres. Voyez LOGARITHME et LOGARITHMIQUE.

Il suit delà que différentes hyperboles donneront différentes suites de logarithmes aux mêmes nombres naturels, et que pour déterminer une suite particulière de logarithmes, il faut faire choix de quelque hyperbole particulière. La plus simple de toutes les hyperboles est l'équilatère, c'est-à-dire celle dont les asymptotes forment un angle droit. On appelle cette hyperbole équilatère, parce que les axes sont égaux ; car l'angle droit des asymptotes donne C A = A D (fig. 20.). Dans cette même hyperbole le paramètre est égal à l'axe, et son équation est en général y y = a x + x x.

Nous avons rapporté sans démonstration ces différentes propriétés de l'hyperbole, par les raisons qui ont été déjà dites au mot ELLIPSE. Sur la quadrature de l'hyperbole, voyez QUADRATURE.

Les hyperboles à l'infini, ou du plus haut genre, sont celles qui sont exprimées par l'équation ay(m + n) = b xm (a + x) n. Voyez HYPERBOLOÏDE.

L'hyperbole du premier genre a deux asymptotes ; celles du second peuvent en avoir trois ; celles du troisième, quatre, etc. Voyez ASYMPTOTE et COURBE. On trouvera dans ce dernier article les dénominations des différentes hyperboles du second genre, etc. L'hyperbole du premier genre est appelée hyperbole conique, ou d'Apollonius. Voyez APOLLONIEN. Elle a été appelée hyperbole d'un mot grec qui signifie surpasser ; parce que dans cette courbe le carré de l'ordonnée y 2 étant égal à b x + , surpasse le produit du paramètre b par l'abscisse x. Voyez CONIQUE et ELLIPSE.

Nous avons vu ci-dessus que l'équation x y = a b, ou x y = a a, marquait l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. De même on peut en général prendre l'équation xm yn = a(m + n) pour celle d'une infinité de courbes à asymptotes, que l'on nomme aussi hyperboles, quoiqu'elles soient différentes de celles dont la nature est exprimée par l'équation a y(m + n) = b xm (a + x) n ; et ces courbes peuvent avoir leurs branches disposées par rapport à leurs asymptotes, de trois manières : 1°. telles qu'on les voit dans la fig. 34. sect. coniq. ce qui arrivera si m et n sont deux nombres impairs, comme dans l'hyperbole ordinaire ou apollonienne : 2°. telles qu'on les voit dans la fig. 35. ce qui arrivera si n est un nombre pair et m un impair : 3°. enfin telles qu'on les voit dans la fig. 36. ce qui arrivera si m est pair et n impair. On trouvera une propriété des paraboles à-peu-près semblables dans l'article PARABOLE. (O)

HYPERBOLE, (Rhétor. Logiq. Poésie) exagération soit en augmentant, soit en diminuant. Ce mot est grec, , superlatio, du verbe , exsuperare, excéder, surpasser de beaucoup.

L'hyperbole est une figure de Rhétorique, qui selon Seneque, mène à la vérité par quelque chose de faux, d'outré, et affirme des choses incroyables, pour en persuader de croyables. L'hyperbole exprime au-delà de la vérité pour mener l'esprit à la mieux connaitre.

Il y a des hyperboles qui consistent dans la seule diction, comme quand on nomme géant un homme de haute taille ; pigmée, un petit homme ; mais elles sont souvent dans une pensée qui contient une ou plusieurs périodes ; et l'hyperbole de la pensée se trouve également dans la diminution, comme dans l'augmentation des choses qu'elle décrit, quoique cette figure se plaise plus ordinairement dans l'excès que dans le défaut. Le trait d'Agésilas à un homme qui relevait hyperboliquement de fort petites choses, est remarquable ; il lui dit " qu'il ne priserait jamais un cordonnier qui ferait les souliers plus grands que le pied ".

L'hyperbole n'a rien de vicieux pour être ultrà fidem, pourvu qu'elle ne soit pas ultrà modum, comme s'exprime Quintilien. Elle est même une beauté, ajoute-t-il, lorsque la chose dont il faut parler est extraordinaire, et qu'elle a passé les bornes de la nature ; car il est permis de dire plus, parce qu'il est difficile de dire autant ; et le discours doit plutôt aller au-delà, que de rester en-deçà. Ainsi Hérodote en parlant des Lacédémoniens qui combattirent au pas des Thermopyles, dit, " qu'ils se défendirent en ce lieu jusqu'à ce que les Barbares les eussent ensevelis sous leurs traits. "

L'on voit par cet exemple, que les belles hyperboles cachent ce qu'elles sont ; et c'est ce qui leur arrive, quand je ne sais quoi de grand dans les circonstances, les arrache à celui qui les emploie ; il faut donc qu'il paraisse, non que l'on ait amené les choses pour l'hyperbole, mais que l'hyperbole est née de la chose même. Les esprits vifs, pleins de feu, et que l'imagination emporte hors des règles et de la justesse, se laissent volontiers entrainer à l'hyperbole.

Cette figure appartient de droit aux passions véhémentes, parce que les actions et les mouvements qui en résultent, servent d'excuse, et pour ainsi dire, de remède à toutes les hardiesses de l'élocution. Cependant les hyperboles sont aussi permises dans le comique, pour émouvoir le public à rire ; c'est une passion qu'on veut alors produire. On ne trouva point mauvais à Athènes, ce trait de l'acteur, qui dit, en parlant d'un fanfaron pauvre et plein de vanité : " il possède une terre en province, qui n'est pas plus grande qu'une épitre de Lacédémonien ".

Mais dans les choses sérieuses, il faut très-rarement employer l'hyperbole, et l'on doit d'ordinaire la modifier quand on s'en sert ; car je croirais assez que c'est une figure défectueuse en elle-même, puisque par sa nature elle va toujours au-delà de la vérité : cependant je pourrais citer quelques exemples rares, où l'hyperbole sans aucune modification, frappe noblement l'esprit. Un particulier ayant annoncé dans Athènes la mort d'Alexandre, l'orateur Démades s'écria, " que si cette nouvelle était vraie, la terre entière aurait déjà senti l'odeur du mort. " Cette saillie hardie présente à la fois l'étendue de l'empire d'Alexandre, comme si l'univers lui était soumis ; et étonne l'imagination par la grandeur de la figure qu'elle met en usage : dans ce mot si fier, si fort et si court, se trouve l'emphase, l'allégorie et l'hyperbole.

Mais cette figure a encore plus de grâce en poésie qu'en prose, quand elle est accompagnée d'un brillant coloris et d'images représentées dans un beau jour. C'est ainsi que Virgile nous peint hyperboliquement la légèreté de Camille à la course.

Illa vel intactae segetis per summa volaret

Gramina, nec teneras cursu laesisset aristas,

Vel mare per medium fluctu suspensa tumente

Ferret iter, celeres nec tingeret aequore plantas.

C'est encore ainsi que Malherbe, pour peindre le temps heureux qu'il promet à Louis XIII. dans l'ode qu'il lui adresse, dit :

La terre en tous endroits produira toutes choses,

Tous métaux seront or, toutes fleurs seront roses ;

Tous arbres oliviers.

L'an n'aura plus d'hiver ; le jour n'aura plus d'ombre ;

Et les perles sans nombre

Germeront dans la Seine au milieu des graviers.

Il n'est pas besoin que j'entasse un plus grand nombre d'exemples, il vaut mieux que j'ajoute une réflexion générale sur les hyperboles.

Il y en a que l'usage a rendu si communes, qu'on en saisit la signification du premier coup, sans avoir besoin de penser qu'il faut les prendre au rabais. Quand on dit ; par exemple, qu'un homme meurt de faim, tout le monde entend que cela signifie qu'il fait mauvaise chère, ou qu'il a beaucoup de peine à gagner sa vie. On dit encore qu'un homme ne sait rien, quand il ne sait pas ce qu'il lui convient de savoir pour sa profession, ou pour son métier. Mais il n'est pas rare qu'on se trompe en fait d'expressions hyperboliques, quand elles tombent sur quelque sujet peu connu, ou qu'on les trouve dans une langue dont on ne connait pas assez le génie, et qu'on ne s'est pas rendu assez familière.

On dit, on écrit qu'il faut ignorer son propre mérite ; cette phrase bien prise, signifie qu'il faut être aussi éloigné de se vanter de son propre mérite, que si on l'ignorait. On dit qu'il faut oublier les biens qu'on a faits et les maux qu'on a reçus ; cela veut dire seulement, qu'il ne faut point oublier ceux-là, ni reprocher ceux-ci sans nécessité. Cependant, pour avoir pris ces sortes d'expressions trop à la lettre, on a fait de la morale un tas de paradoxes absurdes et de maximes outrées. (D.J.)