S. f. terme de Géométrie ; manière de quarrer ou de réduire une figure en un carré, ou de trouver un carré égal à une figure proposée.

Ainsi la quadrature d'un cercle, d'une parabole, d'une ellipse, d'un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un carré égal en surface à l'une ou à l'autre de ces figures. Voyez CERCLE. etc.

La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s'agit que de trouver leurs aires ou superficie, et de la transformer en un parallelogramme rectangle.

Il est facile ensuite d'avoir un carré égal à ce rectangle, puisqu'il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez AIRE, QUARRE. Voyez aussi les méthodes particulières de trouver les superficies de ces figures aux mots TRIANGLE, PARALLELOGRAMME, TRAPESE, etc.

La quadrature des courbes, c'est-à-dire la manière de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matière d'une spéculation plus profonde, et qui fait partie de la Géométrie sublime. Archimède parait être le premier qui ait donné la quadrature d'un espace curviligne, en trouvant la quadrature de la parabole.

Quoique la quadrature des figures, surtout celle du cercle, ait été l'objet de l'application des plus fameux mathématiciens de l'antiquité, on peut dire qu'on n'a rien fait de considérable sur cette matière, que vers le milieu du dernier siècle ; savoir en 1657, que MM. Neil et Brounker, et après eux M. Christophle Wren, ont trouvé les moyens de démontrer géométriquement l'égalité de quelques espaces curvilignes courbes, avec des espaces rectilignes.

Quelques temps après, plusieurs géomètres, tant anglais que des autres nations, firent les mêmes tentatives sur d'autres courbes, et réduisirent le problême au calcul analytique. Mercator en publia pour la première fois l'essai en 1688, dans une démonstration de la quadrature de l'hyperbole de milord Brounker, dans laquelle il se servit de la méthode de Wallis pour réduire une fraction en une suite infinie par le moyen de la division.

Il parait cependant, pour le dire en passant, que M. Newton avait déjà découvert le moyen de trouver la quadrature des courbes par sa méthode des fluxions, avant l'année 1668. Voyez FLUXION.

Messieurs Christophe Wren et Huygens se disputent la gloire d'avoir découvert la quadrature d'une portion de la cycloïde. M. Leibnitz découvrit ensuite celle d'une autre portion ; et en 1699. M. Bernoulli découvrit celle d'une infinité de segments et de secteurs de cycloïde. Voyez les mém. de l'acad. de 1699.

QUADRATURE DU CERCLE, est la manière de trouver un carré égal à un cercle donné. Ce problême a occupé inutilement les mathématiciens de tous les siècles. Voyez CERCLE.

Il se réduit à déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ce qu'on n'a pu faire encore jusqu'ici avec précision.

Si ce rapport était connu, on aurait aisément la quadrature du cercle, puisqu'il est démontré que sa surface est égale à celle d'un triangle rectangle qui a pour hauteur le rayon du cercle, et pour base une ligne égale à sa circonférence. Il n'est donc besoin pour quarrer le cercle que de le rectifier. Voyez CIRCONFERENCE et RECTIFICATION.

Le problême de la quadrature du cercle consiste proprement dans l'alternative de trouver cette quadrature ou de la démontrer impossible. La plupart des géomètres n'entendent par quadrature du cercle que la première partie de cette alternative ; cependant la seconde resoudrait parfaitement le problême. M. Newton a déjà démontré dans le premier livre de ses principes mathématiques, sect. VI. tom. XXVIII. que la quadrature indéfinie du cercle, et en général de toute courbe ovale, était impossible, c'est-à-dire qu'on ne pouvait trouver une méthode pour quarrer à volonté une portion quelconque de l'aire du cercle ; mais il n'est pas encore prouvé qu'on ne puisse avoir la quadrature absolue du cercle entier. Si on avait le rapport du diamètre à la circonférence, on aurait, comme on l'a déjà dit, la quadrature du cercle, d'où il suit que pour quarrer le cercle il suffit de le rectifier, ou plutôt que l'un ne peut se faire sans l'autre. Il n'y a point de courbe qui réellement et en elle-même ne soit égale à quelque ligne droite, car il n'y en a point que l'on ne puisse concevoir exactement enveloppée d'un fil, et puis développée ; mais il faut pour les géomètres que ce qu'ils connaissent de la nature de la courbe puisse leur servir à trouver cette ligne droite, ou ce qui revient au même, il faut que cette ligne soit renfermée dans des rapports connus, de manière à pouvoir elle-même être exactement connue. Or quoiqu'elle y soit toujours renfermée, elle ne l'est pas toujours de la manière dont nous aurions besoin ; au-delà d'un certain point, qui n'est pas même fort éloigné, nos lumières nous abandonnent et aboutissent à des ténèbres.

Ceux qui désireront un plus grand détail sur la quadrature du cercle, peuvent avoir recours à l'ouvrage que M. Montucla a publié en 1754. sur ce sujet, sous le titre d'histoire des recherches sur la quadrature du cercle. Ils y trouveront un recit fidèle, savant et raisonné des travaux des plus grands géomètres sur cette matière, et ils y apprendront à se prémunir contre les promesses, les jactances et les inepties des quadrateurs. Une de leurs principales prétentions est de croire que le problême de la quadrature du cercle est fort important pour les longitudes ; en quoi ils se trompent grossièrement, ces deux problêmes n'ayant aucun rapport.

Plusieurs géomètres ont approché fort près de ce rapport. Archimède parait avoir été un des premiers qui ont tenté de le découvrir, et a trouvé par le moyen des polygones réguliers de 96 côtés inscrits et circonscrits au cercle, que ce rapport est comme 7 à 22. Voyez POLYGONE.

Quelques-uns des modernes ont approché beaucoup plus près, surtout Ludolphe de Ceulen qui a trouvé après des calculs infinis, qu'en supposant que ce diamètre soit 1, la circonférence est plus petite que 3. 14159265358979323846264338387950 ; mais plus grande que ce même nombre en mettant l'unité pour dernier chiffre.

Les géomètres ont encore eu recours à d'autres moyens, surtout à des espèces de courbes particulières qu'on appelle quadratrices ; mais comme ces courbes sont mécaniques ou transcendantes, et non point géométriques, elle ne satisfait point exactement à la solution du problême. Voyez TRANSCENDANT, MECHANISME et QUADRATRICE.

On a donc employé à l'analyse, et tenté de resoudre ce problême par plusieurs méthodes différentes, et principalement en employant certaines séries qui donnent la quadrature approchée du cercle par une progression de termes. Voyez SERIE ou SUITE.

En cherchant par exemple une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle, on trouve en supposant pour le diamètre, que la circonférence doit être 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 etc. qui forment une suite infinie de fractions dont le numérateur est toujours 4, et dont les dénominateurs sont dans la suite naturelle des nombres inégaux ; et tous ces termes sont alternativement trop grands et trop petits.

Si l'on pouvait trouver la somme de cette suite, on aurait la quadrature du cercle ; mais on ne l'a point encore trouvée, et il y a même apparence qu'on ne la découvrira de longtemps. On n'a point cependant démontré que la chose soit impossible, ni par conséquent que la quadrature du cercle le soit aussi.

D'ailleurs comme on peut exprimer la même grandeur par différentes séries, il peut se faire aussi que l'on puisse exprimer la circonférence d'un cercle par quelque autre série dont on puisse trouver la somme. Nous avons deux suites infinies qui expriment la raison de la circonférence au diamètre, quoique d'une manière indéfinie. La première a été découverte par M. Newton, qui a trouvé, en supposant pour le rayon, que le quart de la circonférence est 1 - 1/6 - 1/40 - 1/112, etc. La seconde est de M. Leibnitz, qui trouve de même que le rayon étant l'arc de 45 degrés, est la moitié de 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9, etc. Voici la manière de trouver chacune de ces séries par le calcul intégral ; on la doit à M. Newton.

Quadrature du cercle par M. Newton. Sait le rayon du cercle A C = 1 (Planch. d'anal. fig. 24.) C P = Xe y = (1 - x2), et (1 - x2) = 1 - 1/2 Xe - 1/8 Xe - 1/16 Xe - 5/128 Xe - 7/256 x10, etc. à l'infini. Voyez BINOME. Donc P p m M ou y d x = d x - 1/2 Xe d x - 1/8 Xe d x - 1/16 Xe d x - 5/128 - Xe d x - 7/256 - x10 d x - etc. à l'infini.

Et s y d x = x - 1/6 Xe - 2/40 Xe - 1/112 Xe - 5/1152 Xe - 3/2816 x11 à l'infini.

Lorsque x devient égal au rayon C A, l'espace D C P M se change en un quart de cercle. Substituant donc 1 à Xe le quart de cercle sera 1 - 1/6 - 1/40 - 1/112 - 5/1152 - 7/2816, etc. à l'infini. Cette même série peut servir à mesurer la surface entière du cercle, en supposant son diamètre = 1.

Quadrature du cercle par M. Leibnitz. Sait la tangente K B (Pl. d'analyse fig. 25.) = Xe B C = 1 ; la secante A C infiniment proche de C K ; décrivez avec le rayon C K le petit arc K L : vous aurez A K = d Xe K C = (1 + x2). Maintenant puisque les angles B et L sont droits, et l'angle B K C = K A C, à cause de la petitesse infinie de l'angle K C L, nous aurons

K C : B C : : K A K L, c'est-à-dire

(1 + x2) : 1 : : d x :

De plus, C K : K L : : C M : m M ; c'est-à-dire

(1 + x2) : : : 1 :

Donc le secteur C M m = 1/2 d x : (1 + x2) = 1/2 (d x - Xe d x + Xe d x - Xe d x + Xe d x - x10 &c.) et l'on trouve, par le calcul intégral, le secteur B C M (dont la tangente K B est Xe 1/2 + 1/6 Xe + 1/10 Xe - 1/14 Xe + 1/18 Xe - 1/22 x11 etc. et ainsi à l'infini. C'est pourquoi si B M est la huitième partie du cercle ou un arc de 45d. le secteur sera 1/2 - 6/1 + 1/10 - 1/14 etc. à l'infini. Donc le double de cette série 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/6 - 1/11 etc. à l'infini, est le quart de cercle.

Quadrature des lunules. Quoiqu'on n'ait point encore trouvé jusqu'ici la quadrature parfaite du cercle entier, on a cependant découvert les moyens de quarrer plusieurs de ses portions. Hippocrate de Chio est le premier qui ait carré une portion du cercle à qui sa figure a fait donner le nom de lunule. Voyez LUNULE.

Cette quadrature ne dépend point de celle du cercle ; mais aussi ne s'étend-elle que sur la lunule entière ou sur sa moitié.

Quelques géomètres modernes ont cependant trouvé la quadrature d'une portion de la lunule à volonté, indépendamment de celle du cercle ; mais elle est toujours sujette à certaine restriction, qui empêche que la quadrature ne soit parfaite, ou, pour me servir du langage des Géomètres, absolue et indéfinie.

M. le Marquis de l'Hôpital a donné en 1701 une nouvelle manière de quarrer les parties de la lunule prises en différentes manières et sous différentes conditions : mais elle est sujette aux mêmes imperfections que les autres.

Quadrature de l'ellipse. L'ellipse est une courbe dont on n'a point encore trouvé la quadrature exacte ; ce qui oblige d'avoir recours à une série.

Sait AC (Planc. anal. fig. 26.) = a, G C = C, P C = Xe on aura



mais (a2 - x2) = a - . à l'infini. Donc y d x = e d x - - - <5dx8cx/128a8> - <7cx10dx/256a10>, etc. à l'infini.

Si l'on substitue a au lieu de Xe le quart de l'ellipse sera a c - 1/6 a c - 1/40 a c - 5/112 a c - 5/1152 a c - 7/2816 a c, etc. à l'infini.

Il suit de là 1°. que si on fait a c = 1, l'aire de l'ellipse sera = 1 - 1/6 - 1/40 - 1/112 - 5/1152 - 7/2816, etc. à l'infini. D'où il est évident qu'une ellipse est égale à un cercle dont le diamètre est moyen proportionnel entre les axes conjugués de cette même ellipse. 2°. Qu'une ellipse est à un cercle dont le diamètre est égal au grand axe, comme a c à a2 ; c'est-à-dire comme c à a, ou comme le petit axe est au grand. D'où il suit que la quadrature du cercle donne celle de l'ellipse ; et au contraire.

Quadrature de la parabole. Sait a x = y2 l'équation de la parabole, donc y = a x = a1/2 x 1/2 : donc y d x = a1 : 2 Xe : 2 d Xe Donc s y d x = 2/3 a1 : 2 Xe : 2 = 2/3 .

D'où il suit que l'espace parabolique est au rectangle de la demi-ordonnée par l'abscisse comme 2/3 x y à x y, c'est-à-dire comme 2 à 3.

Si la courbe n'était point décrite, et que l'on n'eut que son équation, en sorte que l'on ne sut point où l'on doit fixer l'origine de Xe on ferait x = 0 dans l'intégrale ; et effaçant tout ce qui est multiplié par Xe on ajouterait le restant, supposé qu'il y en eut, avec un signe contraire, et l'on aurait la quadrature cherchée. Mais cela demanderait un détail trop profond pour appartenir à cet ouvrage : on en verra un exemple à la fin de cet article.

Quadrature de l'hyperbole. Mercator de Holstein, l'inventeur des suites infinies, est le premier qui en ait donné la quadrature analytique : il trouvait sa suite par la division ; mais MM. Newton et Leibnitz ont perfectionné sa méthode.

Manière de quarrer l'hyperbole entre ses asymptotes, suivant la méthode de Mercator. Puisque dans une hyperbole entre ses asymptotes, a2 = b y + x y ; si a = b = 1, ce que l'on peut supposer, puisque la détermination de b est arbitraire, on aura

,

c'est-à-dire (en faisant actuellement la division)

à l'infini.

Quadrature de la cycloïde. On a dans cette courbe (Pl. anal. fig. 27.) A Q : Q P : : M S : m S.

Sait donc A Q = Xe A B = 1, on aura P Q = (x - x Xe et m S = d x (x - x Xe : Xe Mais il est démontré que (x - x Xe = Xe : 2 - 1/2 Xe : 2 - 1/8 Xe : 2 - 1/16 Xe : 9 etc. à l'infini. Donc d x (x - x Xe : x = les numérateurs des exposans étant diminués d'une unité dans la division par Xe x - 1 : 2 d x -1/2 : Xe : 2 d x - 1/8 Xe : 2 d x - 1/16 Xe : 2 d x etc. à l'infini. Donc la somme 2 Xe : 2 - 1/3 x 3 : 2 - 1/20 x 5 : 2 - 1/36 x 7 : 2 etc. à l'infini, est la demi-ordonnée de la cycloïde Q M comparée à l'axe A P. D'où il suit que A M Q ou l'élément Q M S q de l'espace cycloïdal A M Q = 2 Xe : 2 d x - 1/3 Xe : 2 d x - 1/20 Xe : 2 d x - 1/56 Xe : 2 d x etc. à l'infini. Donc la somme = 4/3 Xe : 2 - 2/15 Xe : 2 - 1/70 Xe : 2 - 1/252 Xe : 2 etc. à l'infini, exprime le segment de la cycloïde A M Q.

Si l'on multiplie m S = d x (x - x Xe : x par G M = A Q = Xe on aura l'élément de l'aire A M G = d x (x - x Xe qui étant le même que l'élément du segment de cercle A P Q, l'espace A M G sera égal au segment de cercle A P Q, et par conséquent l'aire A D C égale au demi-cercle A P B.

Puis donc que C B est égal à la moitié de la circonférence du cercle, si l'on suppose celle-ci = p et A B = a, le rectangle B C D A sera = a p ; et le demi-cercle A P B, et par conséquent l'espace cycloïdal externe A D C = 1/4 a p. Donc l'aire de la moitié de la cycloïde A C B = 3/4 a p, et A M C B P A = 1/2

a p. D'où il suit que l'aire de la cycloïde est triple du cercle générateur.

Quadrature de la logarithmique. Sait la soutangente P T (Pl. anal. fig. 28.) a, P M = Xe = P p = d Xe on aura

Donc l'espace indéterminé H P M I est égal au rectangle de P M par P T. Sait 1°. Q s = z pour-lors l'espace 1 S Q H = a z (& par conséquent S M P Q = a y - a z = a (y - z) ; c'est-à-dire que l'espace compris entre deux ordonnées est égal au rectangle de la soutangente, par la différence de ces ordonnées. 2°. Donc l'espace B A P M est à l'espace P M S Q comme la différence des ordonnées A B et P M est à celle des ordonnées P M et S Q.

Quadrature de la courbe de Descartes, exprimée par l'équation b2 : Xe : : b - x : y.

Quadrature de toutes les courbes comprises sous l'équation générale y m (x + a).

Pour rendre l'élément intégrable, supposons

s y d x = = (x + a) (x + a) soit x = 0 : le restant a a. Donc l'aire de la courbe (x + a) (x + a) - .

Cette dernière opération est fondée sur deux principes. 1°. que l'aire de la courbe doit être nulle quand x = 0.2°. Il faut que l'aire de la courbe soit telle que sa différence soit d Xe (x + a)1 : m. Or en ajoutant le constant - , avec un signe contraire, on satisfait à ces deux conditions, comme il est facile de s'en assurer.

Comme les méthodes pour la quadrature des courbes sont presque toutes fondées ou sur les suites, ou sur le calcul intégral, il s'ensuit que pour se mettre au fait de cette matière, il faut se rendre familier l'usage des suites et les méthodes du calcul intégral. Voyez SUITE et CALCUL INTEGRAL. (O).

QUADRATURE DE LA LUNE, en Astronomie, est l'aspect ou la situation de la lune, lorsque sa distance au soleil est de 90 degrés. Voyez LUNE.

La quadrature de la lune arrive lorsqu'elle est dans un point de son orbite également distant des points de conjonction et d'opposition ; ce qui arrive deux fois dans chacune de ses révolutions, savoir au premier et troisième quartier. Voyez ORBITE, OPPOSITION, NJONCTIONTION.

Quand la lune est en quadrature on ne voit que la moitié de son disque ; on dit alors qu'elle est dichotome, comme qui dirait coupée en deux. Voyez PHASE et DICHOTOMIE.

Lorsqu'elle avance des sysygies à la quadrature, sa gravitation vers la terre est d'abord diminuée par l'action du soleil, et son mouvement est retardé par la même raison, ensuite la gravitation de la lune est augmentée jusqu'à ce qu'elle arrive aux quadratures. Voyez GRAVITATION.

A mesure qu'elle s'éloigne de ses quadratures en avançant vers les sysygies, sa gravitation vers la terre est d'abord augmentée, puis diminuée. Voyez SYSYGIES.

C'est ce qui fait, selon M. Newton, que l'orbite de la lune est plus convexe, toutes choses d'ailleurs égales, à ses quadratures qu'à ses sysygies ; c'est aussi ce qui fait que la lune est moins distante de la terre aux sysygies, et l'est plus aux quadratures toutes choses égales. Voyez ORBITE.

Lorsque la lune est aux quadratures, ou qu'elle n'en est pas fort éloignée, les apsides de son orbite sont rétrogrades ; mais elles sont progressives aux sysygies. Voyez APSIDES.

L'orbite de la lune souffre plusieurs altérations pendant le cours de chacune de ses révolutions. Son excentricité est la plus grande quand la ligne des apsides est aux sysygies ; et la moindre lorsque cette ligne est aux quadratures. Voyez EXCENTRICITE.

Toutes ces inégalités viennent de l'action du soleil sur la lune, comme l'a fait voir M. Newton dans les coroll. de la prop. 66. du premier livre de ses principes de la philosophie naturelle. Voyez LUNE. (O)

QUADRATURE, terme d'Horlogerie, voyez CADRATURE.